数学建模教程及例题析课件

1、数学建模初步共享资源:密码：数学模型初步总论一、模型？模型是实物、过程的表示，可能是对实体的模仿、模拟，也可能是某些基本属性的抽象。二、数学模型？对所研究的对象进行模拟，是用数学思维方法将要解决的问题进行简化、抽象处理，用数学符号、公式、图表等刻画实物本质属性及内在规律。是联系实际问题与数学的一座桥梁。数学模型初步总论三、适用的范围？社会、经济、环境、生态、医学等等领域。要建立一个好的数学模型，不尽需要数学的知识，还必须了解其他领域内与之相关的内容。数学模型初步模型一车辆的停止距离正常的驾驶条件对车与车的跟随距离的要求是每十英里的速率可以允许一辆车的跟随距离，但是在不利的天气或道路条件下要有更

2、长的跟随距离。如何处理不利的情况？两秒钟法则不管车速多少，看着你前面的车子刚驶过你能确定的固定点，然后默数“一千零一，一千零二”，如果你刚数完就到了那个固定点，就表示你与前车靠的太近。数学模型初步模型一识别问题：该法则是否很好？太模糊！最好提出一个新的问题，该问题的解决和回答有助于我们进行更为精确地数学分析，并同时实现目标。问题陈述：预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止距离。问题假设：围绕一个很明显的原理进行假设：总的停止距离=反应距离+刹车距离数学模型初步模型一反应距离？司机从意识到要停车的时刻到真正刹车时刻期间车辆走过的距离刹车距离？刹车后使车辆完全停下来所滑行的距离。反应距离相关的子模

3、型：反应距离=f（反应时间，速率）相关影响因素：个体驾驶因素，系统时间（几乎可以忽略，原因是现代车辆比较安全）（子模型一）数学模型初步模型一个体驾驶因素的反应时间又由反射的本能、警觉程度、能见度等多重因素决定。但由于我们是研究一个一般的规律，所以只在研究中取以上几因素的平均值反应距离的影响因素考察完毕，一下是对影响刹车距离的因素考察。最最最最重要的是：车身总量，行驶速度。相关合理因素：刹车的效率，车胎类型和状态，道路表面的情况，天气条件等。为了研究方便，仍然取这些因素的平均值。数学模型初步模型一刹车距离=h（重量，速率）（子模型二）总结建模过程：1.识别问题；对现象做一般性观察2.做出假设；关

4、于现象的假设、研制检验假设方法、用数据检验假设3.求解模型；4.验证模型；数学模型初步模型二1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常 三只脚着地放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCODC B A 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和 g()两个距离

5、椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性数学模型初步模型二用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g()至少一个为0数学问题已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地数学模型初步模型二模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h

6、(0)0和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.评注和思考建模的关键 考察四脚呈长方形的椅子和 f(), g()的确定数学模型初步模型二 数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学

7、工具 数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践数学模型初步线性规划例1-1.某木匠制作桌子和书架出售，他希望确定每种家具每周制作多少，即希望制定制作桌子

8、和书架的周生产计划，使获得利润最大。制作桌子和书架的单位成本分别是5美元和7美元。每周收益可以分别用下面的表达式估计： 其中 是每周生产桌子数量； 数学模型初步线性规划线性规划问题中几个相关概念：目标函数：决策变量：约束条件：无约束数学模型初步线性规划例1-2假设木匠销售桌子和书架的单位净利润分别是25美元和30美元，他希望确定每种家具每周制作多少，他每周最多有600张木板可以使用，并且每周最多工作40小时。如果木板和劳动时间不用于生产桌子和书架，他能够将他们有效地使用在其他方面。据估计，生产一张桌子需要20张木板和5小时劳动时间，生产一个书架需要30张木板和4小时劳动时间。此外，他已经签订了

9、每周供应4张桌子和2个书架的交货合同。他希望确定桌子和书架的周生产计划，使获得的利润最大。数学模型初步线性规划目标函数：约束条件：木板约束：劳动时间约束：合同约束：数学模型初步LINGO的使用LINGO的界面LINGO软件的主窗口（用户界面），所有其他窗口都在这个窗口之内。 模型窗口（Model Window），用于输入LINGO优化模型（即LINGO程序）。 状态行（最左边显示“Ready”，表示 “准备就绪”）当前时间 当前光标的位置 数学模型初步一个简单的LINGO程序例 直接用LINGO来解如下二次规划问题：输入窗口如下：程序语句输入的备注：LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”

10、寻找目标函数，而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条件，因此语句的顺序并不重要 。限定变量取整数值的语句为“GIN(X1)”和“GIN(X2)”，不可以写成“GIN(2)”，否则LINGO将把这个模型看成没有整数变量。LINGO中函数一律需要以“”开头，其中整型变量函数（BIN、GIN）和上下界限定函数（FREE、SUB、SLB）与LINDO中的命令类似。而且0/1变量函数是BIN函数。输出结果：运行菜单命令“LINGO|Solve” 最优整数解X=(35，65)最大利润=11077.5 运行状态窗口Variables（变量数量）： 变量总数（Total）、 非线性变量数（Nonl

11、inear）、 整数变量数（Integer）。Constraints（约束数量）： 约束总数（Total）、 非线性约束个数(Nonlinear)。Nonzeros（非零系数数量）： 总数（Total）、 非线性项系数个数(Nonlinear)。Generator Memory Used (K) (内存使用量)Elapsed Runtime (hh:mm:ss)（求解花费的时间） 运行状态窗口求解器(求解程序)状态框当前模型的类型 :LP，QP，ILP，IQP，PILP， PIQP，NLP，INLP，PINLP （以I开头表示IP，以PI开头表示PIP） 当前解的状态 : Global Opt

12、imum, Local Optimum, Feasible, Infeasible“(不可行), Unbounded“(无界), Interrupted“(中断), Undetermined“(未确定) 解的目标函数值 当前约束不满足的总量(不是不满足的约束的个数):实数（即使该值=0，当前解也可能不可行，因为这个量中没有考虑用上下界命令形式给出的约束） 目前为止的迭代次数 数学模型初步线性规划1）每一问题都可用一组称之为决策变量的未知数 来表示相应的活动方案，由于实际问题的要求，这些决策变量通常是非负的。2）对决策变量 ，大都存在一定的限制条件（称为约束条件），且这些限制条件一般可用关于决策

13、变量 的一组线性不等式或等式来表示。3）有一个追求的目标函数，且目标函数一般可表示为决策变量 的线性函数，并由实际问题来决定目标函数应追求最大还是最小。用数学语言描述，线性规划问题的的数学模型为：目标函数 约束条件为：数学模型初步LINGO使用注意点LINGO的基本用法的几点注意事项 LINGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8个字符，但不能超过32个字符，且必须以字母开头。用LINGO解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量取值范围的函数free或sub或slb另行说明)。变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高LINGO求解时的效率，应尽可能采用

14、线性表达式定义目标和约束(如果可能的话)。语句是组成LINGO模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。以感叹号开始的是说明语句(说明语句也需要以分号结束)）。数学模型初步运输问题模型 产销平衡模型 某产品的生产有 个产地 ，其生产量分别为 ，而该产品的销售有 个销地 其需要量分别为 ，已知该产品从产地 到销地 的单位运价为 ，试建立该运输问题的线性规划模型。解：假设从产地 到销地 的运输量为 ，因从产地 到销地 的单位运价为 ，我们可把运输量 （ ）汇总于产销平衡表中，而把单位运价 汇总

15、于单位运价表中（见下表）。 产销平衡表 单位运价表 产地 销地12n产量12m销量 产地销地12n12m由以上的讨论，对产销平衡的情形，我们可给出其运输问题的数学模型如下：在实际问题的应用中，若出现产销不平衡的情形时，需要把产销不平衡问题转化为产销平衡问题来进行讨论。例当产量 大于销量 时，只需增加一个虚拟的销地 ，而该销地的需要量为 即可。销量 大于产量 的情形类同。 例1.生产时序的安排北方飞机公司为全球各航空公司制造商用飞机。其生产过程之最后阶段为生产喷射引擎，然后装置于（一极速工作）制妥的机体，该公司有若干近期必须交付使用的飞机的合同，现须安排今后四个月飞机喷射引擎的生产计划，并须于每

16、月末分别提供10、15、25、20台引擎。已知该公司各月的生产能力和生产每台引擎的成本如下表6所示（单位：百万元），又如果生产出来的引擎当月不能交货的，每台引擎每积压一个月需存储和维护费用0.015百万元，试在完成合约的情况下，制定一引擎数量的生产安排方案，以使该公司今后四个月的生产费用最小。 生产成本表月 份 合约数 生产能力 单位成本 存储和维护费 110251.080.015215351.110.015325301.100.015420101.13用运输问题模型求该问题最优解的关键在于怎样建立该问题的产销平衡表及元素 和单位运价表及元素 。 为此，我们假设 表示第 月生产并用于第 月交货

17、的引擎数，因公司必须完成合同，则 应满足：又每月生产的用于当月和以后各月交货的引擎数不可能超过该公司的实际生产能力，故 还应满足： 下面再构造“单位运价表”，它应等价于这里的“成本费用表”。因第 月生产并用于第 月交货的引擎数的实际成本 应该是其生产单位成本再加上存储、维护费用，从而我们可得其“成本费用表”如下：成本费用表 123411.081.0951.1101.12521.1101.1251.14031.1001.11541.130由于这是产销不平衡问题，故增加一虚拟的销地D，使之能构造为产销平衡模型，并把“产销平衡表和单位运价表”合二为一（见下表）：在该表中， 表示公司第 月的生产能力， 表示第 月的合同供应量， 表示相应的成本费用，因在实际问题中，当时 ， ，故令相应的 。1234D11.081.0951.1101.1250252M1.1101.1251.1400353MM1.1001.1150304MMM1.130010销量1015252030有了如上的讨论，我们可给出“生产时