张量与连续介质力学基本公式总结

1、 # 第一章：矢量和张量重要矢量等式：c(ab)=(b，c)a-(a，c)b指标记法：哑指标求和约定自由指标规则协变基底和逆变基底： # # # #g=pigiiigi=卩*giiVi=PiViV=PiVTij=PiPjPkPlTijiiii.klijkl.klv=Vig=VgiiiT=T.kigigjggijk度量张量G=gugg=gig=ggiijiiv，G=G，v=vT，G=G，T=TT.j=Tgkjiik张量的商法则T(i,j,k,l,m)=Tj.lmT(i,j,k,l,m)Sim=Uj置换符号 # # # #Alai1ai2ai3.1.2.3ain-ge.n-1.niiii123n

2、azai2ai3ain1ae-A|ejij2j3-jn*j1*j2*j3.jn-1*niH*i，n,i,i,irst,j，j,jeijkeijk=,ijkrstrstrstrst,k,k,krst,ijk-，j，k-，j，k，jkiststsst,ijk2,kijtt,ijk-6ijk置换张量ijk8gigjgkijkggj-gi(gjg丿-B再eijkijkijaxbabjgk-abijkg-(ab):8-8:(ab)ijkijk第二章：二阶张量重要性质：T.u-u.Tt主不变量匚-det(T)31匚-Tr(T)-Ti:=_,ijTTm1.i22lm*i*j(T-u)(vxw)+u(T-v)

3、xw)+u(vx(T-w)=u(vxw)1(Tu)(T-v)xw+u(T-v)x(T-w)+(T-u)(vx(T-w)-gu(vxw)2(T-u)(T-v)x(T-w)-det(T)u(vxw)标准形.特征值、特征向量T-v九v(TXG)v0九3-QX2+：九一-0TOC o 1-5 h z123.实对称二阶张量标准形N-NgigXgigX+ggX+ggi112233.正交张量(了解方法)R-(cos()e+sin()e)e+(sin()e+cos()e)e+ee121122334.反对称二阶张量的标准形Q=e，e-e，e=eG21123Qu=u1:m=-_:Q=eu23Q=-m5.正则张量极

4、分解T=RU=VR第三章张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数计算eTsin(T)重要定理：定理：九3-q九2+q九-g=0nT3-gT2+gT-gG=01231232对.称各向同性张量函数表示定理：H=f(N)=kG+kN+kN2;012其中H=Ht；N=Nt，而系数k是N的主不变量的函数。i张量函数的导数方向导数：T(A;C)=lim-T(A+hC)-T(A)是C的线性函数ht0h方向导数与导数之间的关系T(A;C)=T(A):C,TT导数T(A)=,(gi,gj,gk)=,(g,g,g)AijkAijkijk张量函数导数的链式法则：H(T)=G(F(T)，贝寸h(T)=G(F)*F(T

5、)n重要辅助知识tr(AB)=tr(A)tr(B)tr(A，B)=AiBj=A:Bt=At:B.j.itr(A，B，C)=AiBjCk=tr(B，C，A)=tr(C，A，B)k=gkmijij,m算子=gij,kkmijV=鬲V，T=gi，辽淹iTVT=gi-淹i张量的协变导数VTj+Tmji+Timjs.kls.klms.klmsTjmTjmTj.mlks.kmIs.kl;s重要性质：度量张量的协变导数为零置换张量的协变导数为零张量分量的缩并与求协变导数次序可交换V(AjBl)=(VAj)BlAj(VBl)s.k.ms.k.m.ks.m积分定理第四章：.j.k.i曲线坐标系张量分析基矢量的导

6、数da*T，dV*TAda-(VxT)，dsTSLRiemann-Christoffel张量欧氏空间特性：T*da，T*VdTds，一(TxV)daLS曲率张量等于零张量对曲线坐标的求导顺序可交换张量的物理分量掌握张量在标准基下分解时算子对张量的运算(会求极坐标系下线应变张量)第六章连续介质力学基础物质导数坐标基底矢量的物质导数：Dgi8giDgdg,Vk，Vkiigmj_，Vk，V4gDtdxkmkDtdxkikmL，vVg，gVvDtii物质(Langrange)坐标基底矢量的物质导数：i，gi-vV，Vv-giDt变形梯度张量：dr，FdrF，ggkf-1，ggkkkFg,gF-tgk，

7、gkkkF-1-g,gftgk，gkkk22 应变张量E，1+u)G+u)-G)=(u+u+u-u)22e，(G-(G-u)(G-u)=(U+uV-Vu-u)2一小变形、小位移假设下E沁2(w+u)在直角坐标系下dudu匚+j+kdxidxidxj丿线元、面元、体元dr，F-drda，JF-t-dadv，Jdv变形梯度的物质导数-d,dV，0gkV，0gkdgkdgk&F，vV-F，vVF-i，F-i-vV线元、面元、体元的物质导数dr，vV-drda，(v-V)dd-(Vv)-dadv，(v-V)dvJ，(v-V)J11E，Ft-(vV+vV)-F，Ft-D-F几种应力应力pn-oo=Ojggnij第一类应力PJFfoJijggij第二类应力S=jF-1.o-F-TJ,kmgQgkm面力Tda-oda-Pda-S-Ftn连续介质力学的基本定律质量守恒定律+e-V)0