衡水市中考数学几何综合压轴题模拟专题

1、衡水市中考数学几何综合压轴题模拟专题一、中考几何压轴题1如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC,垂足为点E,GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：AG的值为_；BE（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0a45)，如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若AB2EC4，正方形CEGF在绕点C旋转过程中，当A、E、G三点在一条直线上时，则BE2（1）如图1，在正ABC的外角CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F，G

2、则FEG_（2）类比探究：如图2，把上题中的“正ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，请求出FEG的度数；通过以上两例探索，请写出一个关于FEG与BAC的数量关系的正确结论：_；（3）拓展延伸：如图3，若以正方形AODC的顶点O为原点，顶点A，D分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(4,0)，设正方形AODC的中心为P，平面上一点F到P的距离为22直接写出OFA的度数；当SFAO6时，求点F的坐标；并探索SFAO是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由3如图：两个菱形ABCD与菱形BEFG的边AB，BE在同一条直线上，边长分别为a和b，点C在BG上，点M为CG的中点（1）观察猜想

3、：如图，线段BM与线段AE的数量关系是_（2）拓展探究：如图，ABC120，将图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转至图位置，其他条件不变，连接BM，猜想线段BM与线段AE的数量关系，并说明理由求出线段BM与AE所成的最小夹角（3）解决问题：如图，若将题目中的菱形改为矩形，且BCEF3，请直接写出线ABBE段BM与线段AE的数量关系4如图1，已知ABC和ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，CAED90（1）观察猜想：如图2，将ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，BD的值为_；CEBEC的度数为_度

4、；（2）类比探究：如图3，继续旋转ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：若AEDE2ACBC10，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出线段BD的长5问题发现：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图放置，AB4，AE2.5，则DGCF_问题探究：（2）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P在矩形的内部，BPC135，求AP长的最小值问题拓展：（3）如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB6，ACCD，ACD90，ACB45，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由6如图(1)，在矩形ABCD中，AD

5、nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且APnAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.（问题发现）（1）如图(2)，当n1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为.（类比探究）（2）如图(3)，当n2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的条件下，已知AD4，AP2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长7（问题情境）在ABC中，BABC，ABC（0180），点P为直线BC上一动

6、点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为，连接CQ（特例分析）（1）当90，点P在线段BC上时，过P作PFAC交直线AB于点F，如图，易得图中与APF全等的一个三角形是，ACQ（拓展探究）（2）当点P在BC延长线上，AB：ACm：n时，如图，试求线段BP与CQ的比值；（问题解决）（3）当点P在直线BC上，60，APB30，CP4时，请直接写出线段CQ的长8（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图，在矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交A

7、B、DC于点G、H，求证：EFABGHAD；（结论应用）（2）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB2，BC3求折痕EF的长；（拓展运用）（3）如图，将矩形ABCD沿EF折叠使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB2，BC3，EF2103，请求BP的长9（1）（问题发现）如图，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF填空：线段CF与DG的数量关系为_；直线CF与DG所夹锐角的度数为_（2）（拓展探究）如图，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说明（3）（解决问题）

8、如图，在正方形ADBC中，ADAC，点M为直线BC上异于B，C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，若AC4,CM2，直接写出CN的长10几何探究：（问题发现）（1）如图1所示，ABCeqoac(,和)ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，ABCeqoac(,和)ADE是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；（拓展延伸）（3）如图3所示，ADE和ABC是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将ADE绕点A自由旋转，若BC22

9、，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长11将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90,BE30（1）操作发现:如图2，固定ABC,使DEC绕点C旋转，设BDC的面积为S1,AEC的面积为S2,当点D恰好落在AB边上时，则S1与S2的数量关系是；（2）猜想论证:当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想1中S1与S2的数量关系为相等，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高DM、AN,请你证明小明的猜想，即证明:S1S2（3）拓展探究:已知ABC60，点D是角平分线上的一点，BDCD,BE4,DE/AB交BC于点E（如图4)若射线BA上存在点F，使SDCFS

10、BDE，请直接写出相应的BF的长12综合与实践问题情境：ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC于点D，点E是射线AD上的一个动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90得到线段AF，连接CF交线段AB于点G，交AD于点H、连接EG特例分析:(1)如图1，当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：求证：AF=CD；用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：_；拓展探究:(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG请你证明；(3)如图3，当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，EGCF的值为_；(4)当点E在射线AD上运动时，

11、AE推广应用:mEG，则的值为_用含m.n的式子表示)ADnCF13如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点（1）问题解决：如图，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_，位置关系是_；（2）问题探究：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB判断PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形，连接BO，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB若正方形ABCD的边长为1，求PQB的面积14（1）

12、问题情境：如图1，已知等腰直角ABC中，ABC90，AB6，E是AC上的一点，且CE2，过E作EDBC于D，取AE中点F，连接BF，则BF的长为_（请直接写出答案）小明采用如下的做法：延长AB到H，使ABBH，连接EH，B为AH中点，F为AE的中点，BF是AEH的中位线请你根据小明的思路完成上面填空；（2）迁移应用：将图1中的CDE绕点C作顺时针旋转，当CEAC时，试探究BF、AC、CE的数量关系，并证明你的结论（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当A、C、D三点共线时，直接写出线段BF的长15问题呈现：已知等边三角形ABC边BC的中点为点D，EDF120，EDF的两边分别交直线AB，AC于点E，

13、F，现要探究线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系（1）特例研究：如图1，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DEAB，DFAC时，请直接写出线段BE，CF与BC的数量关系：_；（2）问题解决：如图2，当点E落在射线BM上，点F落在线段AC上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若CD2，CDF45sinCFD62，请直接写出BE的长和此时DEF的面积416综合与实践：问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探

14、究线段间的变化关系”如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，点E为ACB的角平分线CD上一动点但不与点C重合，作点E关于直线BC的对称点为F，连接AE并延长交CB延长线于点H，连接FB并延长交直线AH于点G探究实践：（1）勤奋小组的同学发现AEBF，请写出证明；探究发现：（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG，EG与CE存在数量关系，请写出他们的发现并证明；探究拓展：（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC，得到三条线段GE，GC与GF存在一定的数量关系，请直接写出17如图1，在eqoac(,Rt)ABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上

15、，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值18定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM1，MN2，则BN（1）（类比探究）如图2，DEeqoac(,是)ABC的中位线，M、N是

16、AB边的勾股点（AMMNNB），连接CM、CN分别交DE于点G、H求证：G、H是线段DE的勾股点（2）（知识迁移）如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画O，P在O上，ACCP，连结PA，PB，若A2B，求B的度数（3）（拓展应用）如图4，点P（a，b）是反比例函数y2（x0）上的动点，直线xyx2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F证明：E、F是线段AB的勾股点19探究：如图和，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90，点E、F分别在BC、CD上，EAF=45（1）如图，若B、ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90至AD

17、G，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图，若B、D都不是直角，则当B与D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且DAE=45若BD=1，求DE的长20问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则ACN类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC中

18、，BABC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AMMN，连接CN添加一个条件，使得ABCACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1（1）证明见解析；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或【分析】（1）由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；（2解析：（1）证明见解析；2；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG2BE；（3）142或142【分析】（1）由GEBC、GFCD结合BCD90可得四边形CEGF是矩形，再由E

19、CG45即可得证；由正方形性质知CEGB90、ECG45，据此可得用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证ACGBCE即可得；CGCE2、GE/AB，利（3）由（2）证出ACGBCE就可得到BE22AG，再根据A、E、G三点在同一直线上分在CD左边和右边两种不同的情况求出AG的长度，即可求出BE的长度【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BCD90,BCA45GEBC,GFCD,CEGCFGECF90,四边形CEGF是矩形，CGEECG45,EGEC,四边形CEGF是正方形；解：由知四边形CEGF是正方形，CEG=B=90，ECG=45，CG2，GEAB，CEAGCG2BEC

20、E故答案为：2（2）如下图所示连接CG,由旋转性质知BCEACGa,CG在RtCEG和RtCBA中，CB2cos45,CA2CA2，CECBCE2cos45CG2ACGBCE,AGCA2,BECB线段AG与BE之间的数量关系为AG2BE；（3）解：当正方形CEGF在绕点C旋转到如下图所示时：当A、E、G三点在一条直线上时，AG由（2）可知ACGCA2，BECBBCE，BE22AGBE2CEG=CEA=ABC=90，AB2EC4，AC2AB2BC2424232AC42AE2AC2CE2(42)22228AE27AGAEEG2722AG(272)14222当正方形CEGF在绕点C旋转到如下图所示时

21、：当A、E、G三点在一条直线上时，AG由（2）可知ACGCA2，BECBBCE，BE22AGBE2CEA=ABC=90，AB2EC4，AC2AB2BC2424232AC42AE2AC2CE2(42)22228AE27AGAEEG2722AG(272)14222故答案为：142或142【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键2（1）；（2），理由见解析；（3）；有，【分析】（1）证明1=2，3=4，1+2+60+3+4=180得1+3=60，进一步可得结论；（2）连接，

22、证明，再进一步1解析：（1）30；（2）FEGBAC，理由见解析；（3）45；有，2F(2,222)【分析】（1）证明1=2，3=4，1+2+60+3+4=180得1+3=60，进一步可得结论；（2）连接CF,BC，证明AEBABE，再进一步证明2AFB90得GFEGEF45，故可得结论；（3）由题意可知P2,2，点F在以P为圆心，22为半径的圆上，由圆周角定理可得结论；设Fx,y，根据三角形面积公式求出y的值，在RtPBF中，PBx2,BF1，根据勾股定理得BP2BF2PF2，列出方程求出x的值即可得点F的坐标，当PF/y轴时，面积最大，求值即可【详解】解：（1）如图1中，点E是点C关于AM

23、的对称点，AGE=90，AE=AC，1=2正ABC中，BAC=60，AB=AC，AE=AB，得3=4eqoac(,在)ABE中，1+2+60+3+4=180，1+2+3+4=120，1+3=60eqoac(,在)AEG中，FEG+3+1=90，FEG=30故答案为：30；（2）连接CF,BCC，E关于AM对称AMCE,GCGEACAE,AGE90CAGEAG,AEBABE；在正方形ABDC中，ACAB,BAC90ABAE，AEBABE；在BAF中，AFBABFBAF180；即AFBAEB90EAG180AFBAEBEAG2AFB90GFEAFB45FEG451结论：FEGBAC2（3）由题意可

24、知P2,2，点F在以P为圆心，22为半径的圆上，如图，连接PO，PA，则APO90AFO1APO452故答案为：45设Fx,y则S即2|y|6，由题意得y0，y31OAy6FAO2由题意可知P2,2，点F在以P为圆心，22为半径的圆上；过点P作PB/x轴，过点F作FB/y轴，则PBF90在RtPBF中，PBx2,BF1，根据勾股定理得BP2BF2PF2即|x2|212(22)2解得x27,x2712故F(27,3)或F(27,3)SSFAOFAO1OA|y|，当PF/y轴时，面积最大，此时F(2,222)21OA|y|4422解析：（1）BM1【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性

25、质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题3（1）；（2），理由见解析；线段与所成的最小夹角为60；（3）【分析】（1）根据已知求得AE=a+b，CG=b-a，根据线段中点的定义求得CM=，通过计算即可求解；（2）延长BM1AE；（2）BMAE，理由见解析；线段BM与AE所成的最22小夹角为60；（3）BM32AE【分析】11（1）根据已知求得AE=a+b，CG=b-a，根据线段中点的定义求得CM=ba，通过计算22即可求解；（2）延长BM到H，使MH=BM，连接GH，利用SASeqoac(,证明)CMBGMH和ABEHG

26、B，即可得到结论；延长MB交AE于N，证明GBE=BNE=60，即可求解；（3）延长BM到H，使MH=BM，连接GH，同理证明CMBGMH，再证明ABEHGB，即可求解【详解】（1）BM12AE，理由如下：菱形ABCD与菱形BEFG的边长分别为a和b，AE=AB+BE=a+b，CG=BG-BC=b-a，点M为CG的中点，CM=1CG=1b1a，222BMBCCMa1b1a1a1b1ab，22222BM1AE；2（2）BM12AE，理由如下：延长BM到H，使MH=BM，连接GH，如图：点M为CG的中点，CM=MG，CMB=GMH，CMBGMH(SAS)，BCM=HGM，BC=HG，BCGH，BG

27、H+CBG=180，菱形ABCD与菱形BEFG中，ABC=120，GBE=60，ABE+CBG=180，ABE=BGH，AB=BC=HG，BE=BG，ABEHGB(SAS)，AE=HB1AE；2线段BM与AE所成的最小夹角为60，理由如下：ABEHGB，AEB=BHG，延长MB交AE于N，则MBE=BNE+AEB，即HBG+GBE=BNE+AEB，GBE=BNE=60，线段BM与AE所成的最小夹角为60；（3）BM3AE，理由如下：2延长BM到H，使MH=BM，连接GH，如图：同理可得：CMBGMH(SAS)，BCM=HGM，BC=HG，BCGH，BGH+CBG=180，矩形ABCD与矩形BE

28、FG中，ABC=GBE=90，ABE+CBG=180，ABE=BGH，BCEF3，ABBEHGBG3，ABBEABEHGB，BHBG3，AEBEBM1BH，2BM3AE2【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题4（1）；45；（2）成立，理由见解析；（3）或【分析】（1）如图，设AC交BE于点O证明DABEAC，推出=，ABD=ACE，再证明BAO=CEO=45，可得结论（解析：（1）2；45；（2）成立，理由见解析；（3）42或2

29、2【分析】（1）如图，设AC交BE于点O证明DABEAC，推出BDAD=2，ECAEABD=ACE，再证明BAO=CEO=45，可得结论（2）如图（3）中，设AC交BF于点O证明DABEAC，可得结论（3）分两种情形：如图，当CEAD于O时，如图（4）-2中，当ECAD时，延长CE交AD于O分别求出EC，可得结论【详解】解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点OAEDeqoac(,，)ABC都是等腰直角三角形，EAD=CAB=45，AD=2AE，AB=2AC，EAC=DAB，ABAD=2，ACAEDABEAC，BDAD=2；ECAEeqoac(,由)DABEAC，ABD=ACE，AOB=EOC

30、，BAO=CEO=45，CEB=45，故答案为：2，45；（2）如图（3）中，设AC交BF于点OAEDeqoac(,，)ABC都是等腰直角三角形，EAD=CAB=45，AD=2AE，AB=2AC，EAC=DAB，ABAD=2，ACAEDABEAC，BDAD=2，ABD=ACE，ECAEAOB=FOC，BAO=CFO=45，BD=2，BFC=45；EC（3）如图（4）-1中，当CEAD于O时，AE=DE=2，AC=BC=10，AED=ACB=90，AD=2AE=2，EOAD，OD=OA=OE=1，OC=AC2AO2101=3，EC=OE+OC=4，BD=2EC，BD=42；如图（4）-2中，当E

31、CAD时，延长CE交AD于O同法可得OD=OA=OE=1，OC=3，EC=3-1=2，BD=2EC=22，综上所述，BD的长为42或22【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题5（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CFeqoac(,，证)ADGACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）22；（2）AP的最小值为2922；（3）存在，BD的最大值为62+6【分析】（1）连接A

32、C、AF、DG、CFeqoac(,，证)ADGACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据DABCAE，得出BD=2CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值【详解】解：（1）如图，连接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，AC=2AB，AF=2AE，AG=A

33、E=2.5，AD=AB=4，ADAC，AGAF又DAG=DAC-GAC=45-GAC，CAF=GAF-GAC=45-GAC，DAG=CAF，DGACFA，DGAD42，CFAC422故答案为22；（2）如图，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则BPC作为圆周角刚好是135，P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，作OE垂直AB延长线于点E，BOC为等腰直角三角形，BC=4，OB=OC=2BC=24=22，OBC=45，22OBE=90-OBC=90-45=45，又OEAE，BEO为等腰直角三角形，BE=OE=2OB=222=2

34、，22又AB=3，AE=AB+BE=3+2=5，AOAE2OE2522229，OP=OB=22，AP=AO-OP=29-22，即AP的最小值为29-22；（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，则EAB=45，ABAE2，AC=AD，ACD=90，DAC=45，AD2，ACABAD，DAB=CAE=45，AEACDABCAE，BDAD2，CEACBD=2CE，当CE最大时，BD取最大值，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，AOB=90，ACB=45，点C在优弧AB上，由图知当C在OE延长线C位置时CE有最大值，此时CE=OE+OC，A

35、B=6eqoac(,，)AOBeqoac(,和)AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，四边形AOBE为正方形，OE=AB=6，OC=OA=2AB=32，2CE的最大值为6+32，BD=2CE，BD的最大值为2（6+32）=62+6【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等BM=PD，再根据PN/DC得出AN知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键6（1）BMPD；（2）见解析（3）或【分析】（1）当n1时四边形ABCD和四边形AMNP均为正方形，所以AM=AP,AB=AD，从而得出BM=PD，再根据得出，从而得出结论；（解析：（1）BMPD

36、；CN2PD（2）见解析（3）192或192【分析】（1）当n1时四边形ABCD和四边形AMNP均为正方形，所以AM=AP,AB=AD，从而得出CN，从而得出结论；APPD（2）连接AC，证明ANCAPD,即可求解；（3）分两种情况考虑：通过证CQBAQM得出对应边数量关系，设QM=x，则BQ4x,AQ24x解直角三角形AQM，从而计算出QM的长度，从而求算CN【详解】（1）解：当n1时四边形ABCD和四边形AMNP均为正方形AM=AP,AB=ADBMPD又PN/DCANCN=2APPDCN2PD（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，CN理由：连接AC，如图：52PD.在矩形ABCD和矩形A

37、MNP中，.AD=2AB，AP=2AM，AC5AD，AN5AP22.ACAN5ADAP2易得NACPADANCAPDCNAC5PDAD2CN5PD2（3）分两种情况考虑：如图：已知AD4，AP2,n2AB=2,AM=PN=1由图知：CQBAQMCQQBCB4AQQMAM设QM=x，则BQ4x,AQ24x，在直角三角形AQM中：24x2x21解得：x819151512,x819（舍）AQ24x4192，NQ2x=22+191515CQ4AQ1619815CNCQNQ192如图：由可得：CQ16198，MQ，MN=28191515CNCQ+QMMN192【点睛】本题考查矩形与旋转、相似等综合，有一

38、定的难度，转化相关的线段与角度是解题关键7（1eqoac(,）)PQC，90；（2）；（3）线段CQ的长为2或8【分析】（1eqoac(,）)ABC是等腰直角三角形，PFAC，得到BPF是等腰直角三角形，证明AFCP，利用旋转的旋转证明APPQ，PAF；（3）线段CQ的长为2或8解析：（1eqoac(,）)PQC，90；（2）BPmCQn【分析】（1）ABC是等腰直角三角形，PFAC，得到BPF是等腰直角三角形，证明AFCP，利用旋转的旋转证明APPQ，PAFQPC，从而可得结论，（2）过P作PFAC，交BA的延长线于F，则BABC，再证明AFPPCQ，利用AFCPABCFBP的性质可得答案，

39、（3）分情况讨论：当P在CB的延长线上时，证明APCQPC，利用等边三角形的性质可得答案，当P在BC的延长线上时，连接AQ，利用等边三角形的性质，证明ACQPCQ，从而可得答案【详解】解：（1）如图，ABC90，ABCB，ABC是等腰直角三角形，PFAC，BPFBFP45，BPF是等腰直角三角形，BFBP，AFCP，由旋转可得，APPQ，APQ90，而BPF45，QPC45APF，又PAFPFBAPF45APF，PAFQPC，APFPQC，PCQAFP135，又ACB45，ACQ90，故答案为：PQC，90；（2）如图，过P作PFAC，交BA的延长线于F，则又ABBC，AFCP，BABC，AF

40、CP又FAPABC+APB+APB，CPQAPQ+APB+APB，FAPCPQ，由旋转可得，PAPQ，AFPPCQ，FPCQ，PFAC，ABCFBP，BPFP，BCACBPBC,FPACBPBPBCABm.CQFPACACn（3）如图，当P在CB的延长线上时，CPQAPQAPB603030，APCQPC，又APQP，PCPC，APCQPC，CQAC，又BABC，ABC60，ABC是等边三角形，ABC60，BAPABCAPB30，BPABBC1PC2，2QCACBC2；如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，由旋转可得，APQP，APQABC60，APQ是等边三角形，AQPQ，APQ60AQP，

41、又APB30，ACB60，CAP30，CPQ90，CAPAPA，ACPC，ACQPCQ，AQCPQC1AQP30，2eqoac(,Rt)PCQ中，CQ2CP8综上所述，线段CQ的长为2或8【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算8（1）见解析；（2）EF；（3）BP【分析】（1）过点A作APEF，交BC于P，过点B作BQGH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQeqoac(,，)ABPBCQ

42、，然后运用相似三角形；（3）BP解析：（1）见解析；（2）EF2133535【分析】（1）过点A作APEF，交BC于P，过点B作BQGH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQeqoac(,，)ABPBCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；(2)连接BD，根据矩形的性质得出BD的长，再根据结论（1）得出EFABBDAD，进而可求出EF的长.（3）过点F作FHEG于H，过点P作PJBF于J根据矩形的性质得到AD、CD的长，由结论（1）可得出DG的长，再由勾股定理得出AG的长，然后根据翻折的性质结合勾股定理得出四边形HGPF是矩形，进而得出FH的长度，最后根据相似三角形得出BJ、PJ

43、的长度就可以得出BP的长度.【详解】（1）如图，过点A作APEF，交BC于P，过点B作BQGH，交CD于Q，BQ交AP于T四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，APEF，GHBQ又GHEF，APBQ，BAT+ABT90四边形ABCD是矩形，ABPC90，ADBC，ABT+CBQ90，BAPCBQ，ABPBCQ，,APABBQBCEFAB.GHAD（2）如图中，连接BD四边形ABCD是矩形，C90，ABCD2，BDBC2CD2322213,D，B关于EF对称，BDEF，EFAB,BDADEF2,133EF213.3（3）如图中，过点F作FHEG于H

44、，过点P作PJBF于J四边形ABCD是矩形，ABCD2，ADBC3，A90，2103=,DG23EHFF2FH2210222，33DG10，AGDG2AD21091，由翻折可知：EDEG，设EDEGx，在eqoac(,Rt)AEG中，EG2AE2+AG2，x2AG2+AE2，x2（3x）2+1，x5，3DEEG5，3FHEG，FHGHGPGPF90，四边形HGPF是矩形，FHPGCD2，2GHFPCFEGEH521，33PFEG，EAFB，AEGJPF，AFJP90，AEGJFP，3AEAGEG，FJPJFP4513，FJPJ1FJ4，PJ3，55BJBCFJCF3416，55eqoac(,R

45、t)BJP中，BPBJ2PJ2在3262553552，可得ABMCAN，从而得到CN=BM，根据AC4,CM2，可【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题9（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或【分析】（1）【问题发现】连接易证，三点共线易知，推出，从而得出与所夹锐角的度数；（2）【拓展探究】连接，延长交的延长线于点，交于点解析：（1）CF2DG；45；（2）仍然成立，证明见解析；（3）2或32【分析】（1）【问题发现】连接AF易证A，

46、F，C三点共线易知AF2AGAC2AD，推出CFACAF2(ADAG)2DG，从而得出CF与DG所夹锐角的度数；（2）【拓展探究】连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O，根据四边形的性质得到CADFAG45，根据AC2AD,AF2AG得到CAFDAG，根据相似三角形的性质即可解决问题；（3）【解决问题】需分两种情况讨论：当点M在线段BC上时，连接AB，AN，根据正方形的性质得到ABC=BAC=45，MAN=45，可得BAM=CAN，根据ABAM2ACAN2得到BM=AC-CM=2，从而可求出CN的值；当点M在线段BC的延长线上时，连接AB，AN，根据正方形的性质得到AB

47、C=BAC=45，MAN=45，可得BAM=CAN，根据ABAM2，可得ACANABMCAN，从而得到CN=2BM，根据AC4,CM2，可得到BM=AC+CM=6，从2而可求出CN的值【详解】解：（1）【问题发现】如图中，线段CF与DG的数量关系为CF2DG；直线CF与DG所夹锐角的度数为45理由：如图中，连接AF易证A，F，C三点共线AF2AGAC2AD，CFACAF2(ADAG)2DG故答案为CF2DG，45（2）【拓展探究】结论不变CF2,AFCAGD，理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点OCADFAG45，CAFDAG，AC2AD,AF2AG，ACAF2，

48、ADAGCAFDAG，ACDGADCF2DG,AFOOGK，AOFGOK，KFAO45（3）【解决问题】当点M在线段BC上时，如图，连接AB，AN，四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=45，BAC-MAC=MAN-MAC，即BAM=CAN，ABAM2，ACANABMCAN，BMAB2，CNACCN=2BM，2AC4,CM2，BM=AC-CM=2，CN=2BM=2；2当点M在线段BC的延长线上时，如图，连接AB，AN，四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=45，BAC+MAC=MAN+MAC，即BAM=CAN,ABAM2,ACAN

49、ABMCAN，BMAB2，CNACCN=2BM，2AC4,CM2，BM=AC+CM=2=6，CN=2BM=322【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题10（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）或【分析】（1）证明ABDACE（SAS），即可得出；（2）当在RtADE和RtABC中，证明ABDACE，求出BD与CE的比例或BD解析：（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）BD21414222BADCAEABAC【分析】（1）证明ABDACE（SAS），即可得出BDCE；（2）当在eqoac(,Rt)ADE和eqoac(,Rt)ABC

50、中，DAEBAC30，证明ABDACE，求出BD与CE的比例；（3）分两种情况求出BD的长即可【详解】（1）相等;提示：如图4所示ADEeqoac(,和)ABC均为等边三角形，ADAE,ABACDAE=BAC=60DAEBAEBACBAEBADCAEeqoac(,在)ABDeqoac(,和)ACE中，ADAEABDACE（SAS）BDCE（2）不成立；理由如下：如图5所示在eqoac(,Rt)ADE和eqoac(,Rt)ABC中，DAEBAC30DAEBAEBACBAEAEDACB60BADCAEADABsin603AEAC2ABDACEBDAB3CEAC2BD3CE2故（1）中的结论不成立；

51、（3）BD214或BD14222提示:分为两种情况：如图6所示易证：ABDACE（SAS）BDCE,ADBAEC45DEC454590CEBDx2x222由题意可知：DE1BC22设BDCEx,则BEx2在eqoac(,Rt)BCE中,由勾股定理得：CE2BE2BC222解之得:x2142（x2142舍去）BD214；2x2x222如图7所示易证：ABDACE（SAS），CEBD设BDCEx，则BEx2在eqoac(,Rt)BCE中，由勾股定理得：CE2BE2BC222（x舍去）解之得：x14221422或BDBD142.2综上所述，BD21414222【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全

52、等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题11（1）；（2）详见解析；（3）或【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求解析：（1）S1S；（2）详见解析；（3）4或82CDF=CDF，利用“边角边”eqoac(,证明)CDF和CDF全等，根据全等三角形的面积相等【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求

53、出AC=1AB，然后2求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边”证明ACNeqoac(,和)DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3)过点D作DF/BE，求出四边形BEDF是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF，然111后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD，求出FDF=60，从而得到DFF是等边三角形，然后求出DFDF，再求出121212

54、1212可得点F2也是所求的点，根据菱形和等边三角形的性质可得结论【详解】解:（1）DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，B=30，C=90，CD=AC=1AB，BD=AD=AC，2根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，CMDN90ACCDBDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S12如图3DEC是由ABC绕点C旋转得到，BECE,ACCDACNBCN90,DCMBCN1809090ACNDCM,在ACN和DCM中ACHDCMACNDCM（AAS)ANDM,S；2BDC的面积和AEC的面积

55、相等(等底等高的三角形的面积相等)即S1（3）如图4，过点D作DF1/BE，S2DCF1S2BD平分ABC，ABD=DBC，DF/BE，DE/BF，11四边形BEDF是平行四边形，ABD=BDE，1DBC=BDE，BE=DE，四边形BEDF是菱形，1BE=DF，且BE、DF上的高相等，11此时S；BDE过点D作DF2BD，ABC=60，FD/BE，1FFD=ABC=60，21BF=DF，FBD=1ABC=30，FDB=90，1112FDF=ABC=60，12DFF是等边三角形，12DF=DF，12BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=160=30，2CDF=180BC

56、D=18030=150，CDF=36015060=150，12CDF=CDF12在CDF和CDF中，DF=DF，CDF=CDF，CD=CD，121212CDFCDF(SAS)，点F也是所求的点，12211又BE=4=BF=DFeqoac(,，)DF1F2是等边三角形，BF=4=FF，112BF=8，2综上所述：当BF=4或8时，SDCFSBDE【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积、等边三角形的判定与性质、直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，还要注意(3)中符合条件的点F有两个12(1)见解

57、析；CG=2EG；(2)见解析；(3)；(4)【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质证得AD=CD，再证明AFGADG，即可证明结论；根据得到BC=2AF，FG=GD，解析：(1)见解析；CG=2EG；(2)见解析；(3)21；(4)mm2n【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质证得AD=CD，再证明AFGADG，即可证明结论；根据得到BC=2AF，FG=GD，再证明AFGBCG，即可得到CG=2EG；(2)先证得四边形ABEC为正方形，同理得AFGAEGeqoac(,和)AFGBCG，即可得证；(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC2AF，证得AFGBCG，即可求解；eqoac(,，由)AF

58、GBCG，即可GAFGAD，(4)根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AD，继而得到求解【详解】(1)ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC于点D，AD=BD=CD=1BC，BAD=CAD=45，2根据旋转的性质得：AF=AD，DAF=90，GAF=GAD=45，eqoac(,在)AFGeqoac(,和)ADG中，AFADAFmBC2nAGAGAFGADG，AF=AD，AF=CD；CG=2EG，理由如下：由得：GAF=B=45，AF=1BC，2AFBC，2AF=BC，AFGBCG，AFFG，BCGCCG=2FG，AFGADG，FG=DG，即FG=EG，CG=2EG；(2)连接EB、EC，

59、GAFGAE，BAC=90，AB=AC，ADBC于点D，DE=AD，DE=ADBD=CD，且AEBC，BAC=90，四边形ABEC为正方形，BC=AE，根据旋转的性质得：AF=AE，EAF=90，GAF=GAE=45，eqoac(,在)AFGeqoac(,和)AEG中，AFAEAGAGGAFGBC45，AFGAEG，AF=AE=BC，FG=EG，eqoac(,在)AFGeqoac(,和)BCG中，FGACGBAFBCAFGBCG，FG=CG，FG=CG=EG，CF=2EG；(3)同理得：FG=EG，ABC中，BAC=90，AB=AC，CFEGGC12EG12，BC2AB，即BC2AF，同理得：

60、AFGBCG，AFFG，BCGCGC2FG2EG，EGEGEGEG121；CF12CFEGGC1EG(4)同理可得：FG=EG，BC=2AD，AF=AE，AEm，ADnAFm，BC2n同理可得：AFGBCG，AFFGm，BCGC2nGC2nFG2nEG，mm2nmm2n，EGEGEGmEGmCFm2n；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键13（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）【分析】（1）根据题意可得PQeqoac