2023届高考数学一轮保基卷：正弦定理（Word版含答案）

1、第 页）2023届高考数学一轮保基卷：正弦定理 一、选择题（共19小题）1. 在 ABC 中，一定成立的等式是 A. asinA=bsinBB. acosA=bcosBC. asinB=bsinAD. acosB=bcosA 2. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 c=2，b=6，B=120，则 a 等于 A. 6B. 2C. 3D. 2 3. 已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是 A. a=20，b=28，A=40B. a=18，b=20，A=150C. b=20，c=34，B=70D. b=60，c=50，A=45 4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长

2、BA 至点 E，使 AE=1，连接 EC，ED，则 sinCED 等于 A. 31010B. 1010C. 510D. 515 5. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin2A+sin2Csin2B=3sinAsinC，则角 B 为 A. 6B. 3C. 2D. 4 6. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2+c2a2ab=2sinBsinAsinA，则角 C 等于 A. 6B. 3C. 4D. 23 7. 在 ABC 中，AB=2，AC=3，B=60，则 cosC 等于 A. 33B. 63C. 32D. 62 8. 在 ABC 中

3、，若 sinCsinA=2，b2a2=32ac，则 cosB= A. 12B. 13C. 14D. 15 9. 如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者与 A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点 C，测出 A，C 的距离为 50m，ACB=45，CAB=105 后，可以计算出 A，B 两点的距离为 A. 502mB. 503mC. 252mD. 2522m 10. 在 ABC 中，已知 a=4，b=52，5cosB+C+3=0，则角 B 的大小为 A. 6B. 4C. 3D. 56 11. 在 ABC 中，若 sinAsinB，则 A 与 B 的大小关系为 A. ABB. Ab，则 B

4、= A. 56B. 3C. 23D. 6 19. 在 ABC 中，若 a=2，b=23，A=30，则 B= A. 60B. 60 或 120C. 30D. 30 或 150 二、填空题（共5小题）20. 判断正误正弦定理对任意的三角形都成立 21. 三角形 ABC 的三边 a，b，c 之间有关系 a2b+c=0，3a+b2c=0，则 sinA:sinB:sinC 等于 22. 在 ABC 中，若 b=2，B=30，C=45，则 SABC= 23. 在 ABC 中，A=120，AB=5，BC=7，则 SABC= 24. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a+bsinA

5、sinB=acsinC，b=2，则 ABC 的外接圆面积为 三、解答题（共6小题）25. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinAsinC=55sinB，b=5c（1）求 sinA 的值；（2）求 cos2A6 的值 26. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB=3，BC=5，CD=7，ABC=120，ACB=ACD=（1）求 sin 的值；（2）求 AD 的长度 27. 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 acosB+bcosA=2ccosB，b=7（1）求 B；（2）若 ac=2，求 AC 边上的高 28. 如图，在 A

6、BC 中，ABC=90，AB=4，BC=3，点 D 在线段 AC 上，且 AD=4DC（1）求 BD 的长；（2）求 sinBDC 的值 29. 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=2bsinA（1）求角 B 的大小（2）若角 B 为钝角，且 b=27，a=3c，求 c 和 sin2C 的值 30. 如图，已知隧道的截面是矩形加半圆，设底宽为 2x（1）若截面周长为定值 l，问 2x 取何值时，截面面积最大?（2）若截面面积为定值 S，问 2x 取何值时，截面周长最小?答案1. C【解析】由正弦定理 asinA=bsinB，得 asinB=bsinA2. D【

7、解析】由正弦定理得 6sin120=2sinC，所以 sinC=12又因为角 C 为锐角，则 C=30，所以 A=30，ABC 为等腰三角形，a=c=23. D4. B5. A【解析】由题意得 a2+c2b2=3ac，所以 cosB=a2+c2b22ac=32，所以 B=66. B7. B【解析】由正弦定理，得 ABsinC=ACsinB，即 2sinC=3sin60，解得 sinC=33，因为 ABAC，所以 CB，所以 cosC=1sin2C=638. C【解析】因为 sinCsinA=2，所以由正弦定理得 ca=2，故 c=2a，因为由余弦定理得 b2=a2+c22accosB，所以 b

8、2=5a24a2cosB，因为 b2a2=32ac，所以 b2=a2+32ac=4a2，所以 4a2=5a24a2cosB，所以 cosB=149. A【解析】ABC=18045105=30，在 ABC 中，由 ABsin45=50sin30，得 AB=10022=502m10. A【解析】由 5cosB+C+3=0，得 cosA=35，所以 sinA=45由正弦定理，得 sinB=bsinAa=52454=12，又因为 bsinB，所以 2RsinA2RsinB（R 为 ABC 外接圆的半径），即 ab，故 AB12. A【解析】因为 A=60，b=1，SABC=3，所以 12bcsinA=

9、121c32=3，所以 c=4所以 a2=b2+c22bccosA=1+1621412=13. 所以 a=13由正弦定理得，a2b+csinA2sinB+sinC=asinA=1332=239313. B【解析】由正弦定理知 sinAa=sinCc，所以 sinCc=cosCc，所以 cosC=sinC，所以 tanC=1，又因为 0Cb，所以 B 为锐角，所以 B=619. B【解析】由 asinA=bsinB，得 sinB=bsinAa=23sin302=32因为 ba，所以 BA，所以 B=60 或 B=12020. 21. 3:5:722. 3+123. 153424. 4325. （

10、1） 因为 sinAsinC=55sinB，所以由正弦定理，得 ac=55b，又因为 b=5c，所以 a=2c，所以由余弦定理可得：cosA=b2+c2a22bc=2c225c2=55，因为 A0,，所以 sinA=1cos2A=255（2） 由（）可得：sin2A=2sinAcosA=225555=45，所以 cos2A=2cos2A1=2151=35，所以 cos2A6=cos2Acos6+sin2Asin6=3532+4512=43310.26. （1） 在 ABC 中，因为 AB=3，BC=5，ABC=120，所以 AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=49，所以 AC=7由正

11、弦定理得 ABsin=ACsin120，所以 sin=3314（2） 由（1）可得 cos=1314，在 ACD 中，CD=7，AC=7，根据余弦定理得 AD2=AC2+CD22ACCDcos=7，所以 AD=727. （1） 3；（2） 3211428. （1） 在 ABC 中，ABC=90，AB=4，BC=3，则 AC=32+42=5，所以 cosC=35，由 AD=4DC，则 AD=4，DC=1，在 BCD 中，BD2=BC2+CD22BCCDcosC=9+123135=325，所以 BD=4105（2） 由 sinC=45，BD=4105，BC=3，在 BCD 中，BDsinC=BCs

12、inBDC，即 410545=3sinBDC，解得 sinBDC=3101029. （1） 由题设及正弦定理 asinA=bsinB，得 sinA=2sinBsinA因为在 ABC 中，sinA0，所以 2sinB=1所以 sinB=12因为 B0,，所以 B=6 或 B=56（2） 由题设及（1），得 B=56在 ABC 中，因为，a=3c，b=27，B=56，则由余弦定理 b2=a2+c22accosB，得 28=3c2+c223c2cos56，所以 7c2=28，所以 c=2在 ABC 中，由正弦定理，得 sinC=csinBb=2sin5627=714，因为 ABC 中 B 为钝角，所以 C 为锐角，所以 cosC=1sin2C=17142=32114，所以 sin2C=2sinCcosC=271432114=331430. （1） 设隧道截面矩形部分的高为 h，则由半圆周长为 x，求得 h=l2xx2于是隧道截面面积：Sx=12x2+2xh=12x2+lx2x2x2=lx2+2x2.由 2x+x0，得定义域为 0,l2+由 Sx=l4+x，令 Sx=0 得 x=l4+0,l2+函数 Sx 在 0,l4+ 单调递增，在 l4+,l2+ 单调递减故当底宽 2x=2l4+ 时，截面面积最大（2） 设矩形的高为