投资学之因子模型和套利定价理论课件

1、 投资学 第八讲因子模型和套利定价理论组合选择理论的一个缺陷 马科维茨的Portfolio Selection理论说明了如何在给定风险水平下获得最大的资产组合收益。但是在有效边界的确立上，需要做大量的变量估计，对计算能力的要求非常高。 假定分析人员需要分析n种股票，则按照均值方差模型的要求需要估计：n个期望收益n个方差 (n2-n)/2个协方差若n50，总共为1325个 若n100，总共为 5150个 若n3000，总共要估计超过450万个变量8.1 因子模型 （Factor model）定义：因子模型是假设资产的收益是由某个收益生成过程所决定的（而不是根据Markowitz方法），而这个生成

2、过程则可以通过某个收益率统计公式线性地表述出来。依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。8.1.1 单因子模型若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。假设：（1）证券的回报率主要取决于该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险例如，GDP增长率是影响证券回报率的主要因素。 因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.04%图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。通过线性回

3、归，我们得到一条符合这些点的直线为 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列 其中：rit在时期 t 证券 i 的回报ai零因子ft是t 时期公共因子的取值bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷（factor loading）eit在时期t证券i的特有回报 （8.1） 如果只考虑在某个特定的时间的因子模型，可以省掉角标t，从而（8.1）式变为并且假设（8.2） 假设(1)：因子f具体取什么值对e没有影响，即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是回报率的惟一因素。 假设(2)：一种证券的e对其余任何证券的e没有影响，两种

4、证券之所以相关，仅是由于它们具有共同因子f所致。 如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差因子风险非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为（8.3）用因子模型简化组合选择过程单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差 ，一个因子f方差 ，共3n1个估计值若n50，之前1325个，现在151若n100，之前 5150个，现在301若n3000，之前450万 ，现在9001一个特殊的因子模型 证券收益可以用预期到的收益和未预期到的收益两个部分来解释，构成了未预期到的因子变化包含已知信息的预期回

5、报f是证券i的因子变化，它是不可预测的。若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向公平赌局（Fair game）价格（收益）的不可预测，本质上是信息的不可预测。 单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产收益简单地认为仅与一个因子相关。因而难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。例：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。8.1.2 多因子模型双因素、三因素与五因素模型双因素模型：经济周期GDP和利率IR是两个最重要的系统因素. 三因素模型： Fama and French 除市场收益外,考

6、察了公司规模大小SIZE、托宾Q值比HML这两个因素.五因素模型： 把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比IP 、预期通胀变动百分比EI、非预期通胀变动百分比UI 、长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG、长期政府债券对短期国库券的超额收益GB.两因子模型若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券i ，其收益率的均值 其收益率的方差对于证券i和j，其协方差为证券i对因子1的敏感度多因子模型对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的收益可以表示为 CAPM：市场均衡条件下的最优投资组合理论 APT：无套利均衡下因子模型 8.2 套利定价理论（

7、APT） 套利（Arbitrage）是利用证券定价之间的不一致，同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而在不承担风险的情况下锁定一个正收益。 三要点： -零投入 -无风险 -正收益.套利机会套利机会-如果可以持有自融资的投资组合并获得确定的正收益arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit. 如果市场是有效的,套利机会将立即消失. 因为任何投资者,不考虑风险厌恶与财富状况,均愿意尽可能多地拥有套利组合的头寸,大量头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至套利机会完全消除. 两种套利

8、方法：当前时刻净支出为0，将来获得正收入（收入净现值为正）当前时刻一系列能带来正收入的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），

9、并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还半年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。这是哪一种套利？ 套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产（组合）构成的近似套利机会。无套利原则（Non-arbitrage principle)：根据一价定律，两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。8.2.1 APT的基本假设1、市场是充分竞争的、无摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；2、投资者是非满足的：只要有套利机会就会不断套利，

10、直到无利可图为止。 不必对投资者风险偏好作假设3、资产的回报可以用因子模型表示。 APT的基本原理：由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性（b）的资产（或组合）应提供相同的期望收益率。 8.2.2 构建套利组合 Arbitrage portfolio1、零投资：套利组合中购买证券的资金由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）。2、无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。3、正收益：套利组合的期望收益大于零。用数学表示就是Well Diversified PortfolioRecall the return on

11、a portfolioremainscan approach 0 with diversificationRisk associated with f is systematic or non-diversifiableRisk associated with the eis is diversifiable.We say that a portfolio is well diversified if The Effect of DiversificationAssume(i.e. all errors have the same var)LetThe error is reduced by

12、a factor of n. As Lets take a look at the error term8.2.3 套利定价模型假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0根据条件（2），一般形式的证明见附录APT的意义若bi0，则上式退化为无风险资产，则意味着若bi0，则期望回报 随着 的增加而增大风险因子载荷APT的意义若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价线。在均衡时，所有的证

13、券都落在套利定价线上，只要证券偏离APT定价线就会有套利机会。APT定价线8.2.4 APT的另一种表达 则称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合)在两因子模型下，我们有即第1因子的风险价格第2因子的风险价格这样可将APT的表达式可以改写为8.3 APT与CAPM的比较APT与CAPM的一致性若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，则当APT与CAPM均成立时有1、CAPM是一种理论上非常完美的模型，但假设条件太多、太严格。其中关键的假设是同质性假设和一般均衡。 APT假设少得多。基本假设是：个体是非满足，不需要风险规避的假设！只要一个人套利，市场就会出现均衡CAPM与APT的区

14、别2、在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解）。 APT并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合：纯因子组合3、若纯因子组合不是市场组合，则APT与CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与APT等价。CAPM与APT的区别注意二者并不一致由于市场组合在实际中不是总能得到，因此，在实际应用中，只要投资基金等组合，即可满足APT。所以APT的适用性更强！4、APT的推导以无套利均衡为核心，CAPM则以一般均衡 General Equlibrium 核心。5、 CAPM属于单一时期模型，但APT并不受到单一时期

15、的限制。6、在CAPM中，证券的风险只与市场组合相关。APT承认有多种因素影响证券价格，为识别证券风险的来源提供了分析工具。 1976 年罗斯(Stephen. A. Ross, 1944) 的套利定价理论 (APT, Arbitrage Pricing Theory) 。命题 ：假设n种资产其收益率m个因子决定（mn），即其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，则附录：APT的严格证明证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险的组合，即wi满足下列条件零投资无风险（2）（1）即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从

16、而只要（1）和（2）成立，则蕴含(followed)这等价于，只要对于任意的W，必然有又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则 必定落在由1,b1,b2,bm张成的向量空间Rm+1中，也就是存在一组不全为零的数 使得证毕。理解： 必须落在Rm+1空间中，才能必然成立 1和bj是该空间的一组基abC在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d可以由a、b线性表示.0示意图：向量空间生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热爱。8月-228月-22Sunday, August 21, 2022人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。00:08:4800:08

17、:4800:088/21/2022 12:08:48 AM做一枚螺丝钉，那里需要那里上。8月-2200:08:4800:08Aug-2221-Aug-22日复一日的努力只为成就美好的明天。00:08:4800:08:4800:08Sunday, August 21, 2022安全放在第一位，防微杜渐。8月-228月-2200:08:4800:08:48August 21, 2022加强自身建设，增强个人的休养。2022年8月21日12:08 上午8月-228月-22精益求精，追求卓越，因为相信而伟大。21 八月 202212:08:48 上午00:08:488月-22让自己更加强大，更加专业，这才能让自己更好。八月 2212:08 上午8月-2200:08August 21, 2022