二元函数极限的求法

1、 二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002引言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二

2、元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.二元函数极限的定义定义1设E是R2的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y),通过规律f,在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数,它在点(x,y)的函数值是u,并记此值为/(x,y),即uf(x,y).有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数xR2-x2-y2就是一个上半球面,球心在原点,半径为R，此函数定义域为满足关系式x2+y2,R2的x,y全体，即D(x,y)Ix2+y2，R2.又如，Z=xy是马鞍面.知道多元函数的定义之后,在我

3、们求多元函数极限之前我们必须知道多元函数极限的定义.定义2设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数f(M)，f(x,y)在点M(x,y)eE附近有定义.如果Vs0,360，当0r(M,M)5时,0000有|f(M)-A|s,就称A是二元函数在M点的极限记为limf(M)，A或0MM0f(M)A(MM)0定义的等价叙述1：设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数f(M)，f(x,y)在点M(x,y)eE附近有定义.如果Vs0,360,当0000”(xx匕+(yy匕6时，有|f(x,y)A|s,就称A是一兀函数在M点的极限。记为limf(M)，A或f(M)A(MM)M0,当0006,0|y

4、yo6且(x,yAG。,y)时，有|f(x,y)-A|s,就称A是二元函数在M点的极限.记为limf(M)，A或0MM0f(M)A(MM).0注：(1)和一元函数的情形一样，如果limf(M)，A，则当M以任何MM0点列及任何方式趋于M时，f(M)的极限是A；反之，M以任何方式及任何0点列趋于M时，f(M)的极限是A.但若M在某一点列或沿某一曲线M00时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M的极限是A0二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.二元函数极限的计算方法例1求lim(x,y)T(0,0)y2二元函数极限是在一元函数极限的基础

5、上推广得来的,两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的,但随着变量的增加,二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法，对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础.3.1利用二元函数极限的定义求解 # #所以y2lim(x+(x,y)T(0,0)y2，1二0.解：当(x,y)鼻(0,0)时，(x+y)sinx2+y2，1-0卜+y|X+|y|.任意地给定一个正数,取=三,则当|x|6,|y|2xy|可得而所以x+yx+yx+y110,+x2-xy+y2x2+y2-xy2xy-xyxyrii11lim+lim+lim0,(x,y)T(，)xy

6、丿xTxyTylimx+y0.(x,y)T(，)x2-xy+y23.6利用重要极限公式求解有时我们可以利用一元函数的重要极限lim沁1和lim1+-Je直xTOxxTx丿接求解二元函数的极限.sinC3+3)例6求lim(x,y)t(o,o)x+y解：令tx3+y3，则(x,y)T(O,O)时tT0，从而sinC3+y3)limsinC+y3)(x,y),(0,0)x+y=lim.lim(x,y),(0,0)x+y(x,y),(o,o)x3+y3limC2-xy+y2lim(x,y),(o,o)=0.例7求lim(x,y),d0)xsiny/11xsi1+解：lim(x,y),(8,8)xy丿

7、xsinylim(x,y),(8,8)xy丿sinyxy.y令txy，则 # # # #11xy(11lim1+lim1+-(x,y),(8,8)xy丿t,8t丿siny:e,lim竺limni0.(x,y),(8,8)yy,8y # # # lim(x,y),(a0)+(tsinaJ2limv2sin2acos2a=0.t0从而.(x一3)2(y一2)2(x,壮,2)6一3乃+G-2,0-3.8利用换元法例9sinx2y+xy2求lim(x,y)(0,0)xy解：sinx2y+xy2limlim(x+y,SinE(x川(x,y)(0,0)XAx+ylim(x+y,lim泗琴匕四(x,y)(0

8、,0)(x,y)(0,0)E(x+y丿令txy(x+y),因为(x,y)(0,0)所以t0,则sinxy(x+y)sint4limlim=1.(x,y)(o,o)xy(x+y丿t0tlim(x+y,lim?(=0.(x,y)(o,o)(x,y)(0,0)厂(x+y丿 5=,所以 #smx2y+xy2/lim0.(x,y),(o,o)xy例10求lim(x+y)ln(x2+y2)(x,y),(o,o)解：令xrcos,yrsin,贝U(x+y2)2r(cos+sin)Inr|4|rlnr|.其中limrlnrlim洛必达法则lim(-r)=0.故由两边夹法则知：r,0r,0_r,0rlim(x+

9、y)lnC2+y2)=0.(x,y),(0,0)在求某个具体极限时,往往是多种方法的综合运用.如在上面的“重要极限”中的两个例子,实际上也运用到了换元法,在“换元法”的例子中用到了两边夹法则以及洛必达法则.但要注意在使用洛必达法则时,必须把原极限转化为相应的一元函数的不定式极限.4.综合运用由上我们知道二元函数的求法有很多种,同一个题目可以有多种做法也可能是几种方法的综合.因此,我们要灵活运用二元函数极限的计算方法.例1试应用w-5定义证明lim上二(x,y),(0,0)x2+y2方法1证明：因为(x,y)鼻(0,0)时，x2y0 x2+y2从而0,取5w,贝y当06,0|y6时, 5=,所以

10、 所以x2y,x2,y2x2ylim=0.(x,y)T(0,0)X2+y2方法1的证明中用的是方形邻域.如果用圆形邻域,则证明如方法2.方法2证明：因为x2x2,y2,|y|Jx2+y2，所以x2yx2y(x2,y22=0,取5=,则当0 x2,y25时,x2y,x2,y2x2ylim=0.(x,y)T(0,0)x2+y2所以方法3证明：令x=rcos,y=rsin,则(x,y)t(0,0)时,x2y=x2,y2r2cos2.rsincos2sin #5=,所以 # #0,取5=,当0|r|5时,有x2yx2+y2 #5=,所以 limx2y #5=,所以 #x,y),(0,0)X2y2例1主

11、要是运用二元函数极限的定义来解决问题.例2求lim(x2y2)2y2.(x,y),(o,o)解：因为 #5=,所以 # #5=,所以 #0 x2y2InCx2y2(x2y24)2ln #5=,所以 # #5=,所以 #InCy2)C+y2)lim(x,y),(0,0)=lim12Intt,+04所以lim(x2y2(x,y),(0,0) #5=,所以 # #5=,所以 #=lime(x,y),(0,0)x2y2lnx2y2 #5=,所以 # 5=,所以 #解法1:设p=,x=pcos0,y=psin0,贝U=1.例2中用到的是两边夹法则以及换元法的综合.例3lim(厂x)x.0y,0 x2+y

12、2(y-x)xlim0y,0所以=0. #所以=0. =limp2(sin0cos0)cos0p0=lim,(sin0-cos0)cos0,00.所以=0. #所以=0. #所以=0. #所以=0. #解法2：0=2X2y2.所以=0. #所以=0. #所以=0. 所以=0. #又所以例4x2y2X2y2丿而limxyAx2Iim2x2+y2二0,x0y0(y一x)xlim=0.x0y0求limx+wy+w解：因为0 xy1x2y22/1x2lim二0,x+82丿y8所以=0. #所以=0. #x8y8 # TOC o 1-5 h z(1、壬例5求lim1+xy.XT，X丿yTa解：(1lim

13、1+x+yXT，X丿X+yyTalimXT，yTa(1X1+_IX丿e从上述中的几个例题中可以看出,求解二元函数极限的方法不外乎那么几种因此,总结出二元函数极限的计算方法是很有必要的至于三元以至更多元的函数,其极限理论一般地都可由二元函数类推而出多元函数理论是一元函数理论的发展,但从一元函数转到二元函数,会出现某些原则上是新的东西比如,二元函数会出现累次极限和重极限的问题在这里就不一一叙述了结束语本文通过对比一元函数极限的性质和求法,总结出二元函数极限计算的一些常用方法,并给出了相应的例题加以说明求极限的方法有很多,通过总结出常用的计算方法,让我们做题时知道如何下手 #致谢经过半年的忙碌和工作

14、，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的导师柴国庆老师.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导.我的论文刚开始写得不尽如意，但是柴老师仍然细心地纠正其中的错误.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励.此次毕业论文才会顺利完成.最后感谢我的母校湖北师范学院大学四年来对我的大力栽培. # 参考文献同济大学数学教研室高等数学(第五版)M