二次求导数经典题目

1、0。【理2010全国卷一第20题】已知函数f(x)(x+l)lnx一x+1.若xf(x)x2+ax+1，求a的取值范围;证明：(x1)f(x)0先看第一问，首先由f(x)(x+1)lnxx+1可知函数f(x)的定义域为(0,+x),易得f，(x)=Inx+(x+1)一1Inx+xx(1)贝9由xf(x)x2+ax+1可知xInx+x2+ax+1，化简得Ix丿xInxx2+ax,这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x,而x又大于零,所以两边同乘丄可得lnx0,g(x)在区间(0,1)上为增函数；当x=1x时，g(x)0；当1Vx时，g(x)V0，g(x)在区间(1,+8)上为减函数。所以

2、g(x)在x=1时有最大值，即g(x)=lnx一xg(1)=一1。又因为alnxx,所以a，1。应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证(x一1)f(x)0，只须证当0Vx1时，f(x)0即可。由上知f(x)=lnx+，但用f(x)去分析f(x)的单调性受阻。我们可以尝试再对x广(x)=lnx+-求导，可得f显然当0Vx1时，f(x)0。时，f(x)0，即f，(x)=Inx1在区间(1,)上为减函数，所以有当0Vxf(1)=1，我们通过二次求导分析f，(x)的单调性，得出当0Vx1，则f(x)在区间(0,1上为增函数，即f(x)0成立。下面我们在接着分析当1Vx时的情

3、况，同理，当10,即f,(x)在区间(1,十)上为增函数，则f(x)f(1)=1，此时，f(x)为增函数，所以f(x)f(1)=0，易得(x-1)f(x)0也成立。综上，(x-1)f(x)0得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解：(I)f，(x)=Inx1，则f(x)=xlnx1x题设xf(x)x2+ax+1等价于lnx-xa。令g(x)=lnx-x，则g，(x)=1-1。x当0 x0；当x1时，g，(x)0，x=1是g(x)的最大值点，所以g(x)g(1)=一1。综上，a的取值范围是-1,+)。1)xlnx+-1Ix丿(II)由(I)知，g(x)g(1)=一1,即lnx-x10。当0 x1

4、时，f(x)=lnx+(xlnx一x+1)=lnx+=lnx-x(ln1-1+10Vxx丿因为x-10。当x1时,f(x)=lnx+(xlnx一x+1)=lnx一xln二一所以(x-1)f(x)0比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！【理2010安徽卷第17题】设a为实数，函数f(x)=ex2x2a,xR。求f(x)的单调区间与极值；求证：当aln21且x0时，exx22ax1。第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数g(x)=exx22ax1,如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。g(x)，ex2x2a,继续对g(x)求导得g(x)，ex2(0,ln2)ln2(ln2,w)g(x)0g(x)减极小值增由上表可知g(x)g(ln2),而g(ln2)=ein22ln22a，22ln22a，2(aln21),由aln21知g(ln2)0,所以g(x)0,即g(