九年级复习因式分解讲

1、 龙文教育教务管理部Q龙文教育龙:文教育学科教师辅导讲义 龙文教育教务管理部教学内容知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。因式分解的对象是多项式；因式分解的结果一定是整式乘积的形式；分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；结果如有相同因式，应写成幕的形式；题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解的一般步骤是：()通常采用一“提”二“公”三“分”四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次

2、看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；()若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。方法介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：()土土土土)下面再补充两个常用的公式：例已知a，b，c是ABC的三边，且a2+b2+c2，ab+be+ca，则ABC的形状是()直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形解：a2+b2+

3、e2，ab+be+can2a2+2b2+2e2，2ab+2be+2ca 龙文教育教务管理部,(b-c)2,(c-a)2=三、分组分解法分组后能直接提公因式例1分解因式：am,an,bm,bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有，后两项都含有，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式(am+an)+(bm+bn)a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！(m+n)(a+b)例、分解因式：2ax-10ay+5by-解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式(2ax

4、-10ay)+(5by-bx)2a(x-5y)一b(x一5y)(x-5y)(2a一b)练习：分解因式、a2-ab+ac-bbx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式(2ax-bx)+(-10ay+5by)x(2a-b)-5y(2a-b)(2a-b)(x-5=)、xy-x-y+1 #龙文教育教务管理部 #龙文教育教务管理部分组后能直接运用公式例、分解因式：x2-y2,ax,ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式(x2一y2),(ax,ay)(x+y)(x-y)+a(x+y)(x+y)(x-y+a)例、分解

5、因式：a2-2ab+b2-c2解：原式(a22ab,b2)c2(ab)2c2(abc)(ab+c)练习：分解因式3x2x9y23y、2y2z22yz #龙文教育教务管理部 #龙文教育教务管理部综合练习：()x3+x2y-xy2-y3()x2,6xy，9y216a2,8a1()a42a3+a29()x22xyxz,yz，y2()ax2-bx2+bx-ax+a-b()a2-6ab+12b+9b2-4a()4a2x4a2yb2x,b2y()a22a+b22b+2ab+1 #龙文教育教务管理部 龙文教育教务管理部(0(ab)2abc+c)(a一c)+b(b一2a)a3+b3+c3一3abc #龙文教育

6、教务管理部 #龙文教育教务管理部四、十字相乘法(一)二次项系数为的二次三项式直接利用公式x2(pq)xpq，(xp)(xq)进彳丁分解。特点：()二次项系数是；()常数项是两个数的乘积；()一次项系数是常数项的两因数的和。例、分解因式：x2-7x6解：原式x2(一1)(一6)x(一1)(一6)(x一1)(x一6)x34x一5(2-10 x一24练习、分解因式x)14x24a2-15a36练习、分解因式x2x一2(2-2y一15(二)二次项系数不为的二次三项式ax2bxc条件：()()()分解结果:a，aaa(c121JXc，cca(f(c1222b，acacb，acac12211221ax2b

7、xc(axc)(axc)1122例、分解因式：3x2-11x10分析：x(解:3x211x10(x2)(3x5)练习、分解因式：()5x27x6()3x2一7x2()10 x2-17x3()一6y211y10二次项系数为的齐次多项式例、分解因式：a2-8ab-128b2中小学1对1课外辅导专家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 龙文教育教务管理部分析Mb看成常数，把原多项:看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。解:a28ab128b2a2+8b+(16b)a+8bx(16b)(a,8b)(a16b)练习、分解因式x)一3xy+2y2m2一6mn,8n2a2一ab一6

8、b2（四）二次项系数不为的齐次多项式例82x2一7xy+6y2X把xy例9x2y2-3xy+2看作一个整体I/”解：原式（x一2y）（2x一3y）练习、分解因式：（）15x2+7xy-4y2解：原式(xy-1)(xy-2)()a2x2一6ax,8中小学1对1课外辅导专家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龙文教育教务管理部综合练习（）8x67x3-1()(x+y)2一3(x+y)一10()12x2一11xy一15y2()(a+b)2一4a一4b+3中小学1对1课外辅导专家()(

9、a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龙文教育教务管理部()5(a+b)2+23(a2b2)10(ab)2(012(x+y)2+11(x2一y2)+2(x一y)2()x2y2一5x2y一6x2()x2+4xy+4y2一2x一4y一3()4x2一4xy一6x+3y+y2一10m2一4mn,4n2一3m,6n,2中小学1对1课外辅导专家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 #龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家()(a2+1)2+(a2+5)2一4(a2+3)2 龙文

10、教育教务管理部思考：分解因式：abcx2+(a2b2+c2)x+abc五、换元法。例、分解因式()2005x2(200521)x2005()(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2解：()设a,则原式ax2(a21)x-a(ax,1)(x-a)(2005x,1)(x2005)()型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2设x2,5x,6=A，贝Ix2,7x,6=A,2x原式(A+2x)A+x2A2,2Ax,x2(A,=)2(x2+6x+6)2练习、分解因式()(x2+xy+y2)2一4xy(x2+y2)()(x2+3x+

11、2)(4x2+8x+3)+90中小学1对1课外辅导专家，（X1）（X2）2 龙文教育教务管理部Q龙文教育中小学1对1课外辅导专家(x31)(x6x31x311) 龙文教育教务管理部教师1对1例、分解因式()2x4x36x2x2观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少，并且系数成“轴对称”这种多项式属于“等距离多项式”方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式x2(2x2一x一6一一)x2b(x2)一(x)-6xx2x2设x+丄t，则x2t22,xx22(t22)t6x2212t10 x2(215)C2)(x1)2(2x1)(x2)解：原式x2(x2

12、一4x1+)xx2设x丄y，贝Ix2y2xx2原式x2(y2一4y3)x2(y1)(y3)11(x2(x_一1)(x3)xx练习、()6x47x3一36x2一7x+6()x42x3x212(xx2)x2x1六、添项、拆项、配方法。例、分解因式()x33x24解法拆项。，原式x313x23添项。解法原式x3一3x2一4x4x4中小学1对1课外辅导专家，（X1）（X2）2 #龙文教育教务管理部Q龙文教育中小学1对1课外辅导专家(x31)(x6x31x311) #龙文教育教务管理部(x1)(x2x1)3(x1)(x1)(x1)(x2x13x3)x(x1)(x一4)4(x1)x(x23x4)(4x4)

13、(x1)(x24x4)中小学1对1课外辅导专家，（X1）（X2）2 #龙文教育教务管理部Q龙文教育中小学1对1课外辅导专家(x31)(x6x31x311) #龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家，（X1）（X2）2 龙文教育教务管理部Q龙文教育中小学1对1课外辅导专家(x31)(x6x31x311) #龙文教育教务管理部(x1)(x24x4)(x1)(x2)2(x1)(x2)2x9x6x3一3解：原式(x91)(x61)(x31)(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x31)2x33）练习、分解因式（）x3一9x+8（）（Xl）4（X2一l）2（X一l）4（）X4一7X21（）X

14、4y4（xy）4（4x4x22ax1一a2（）2a2b22a2c22b2c2一a4一b4一c4因式分解思想升级通过基本思路达到分解多项式的目的例分解因式X5x4X3x2x1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4X3和一x2X1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把X5X4，x3X2，X-1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式,（X5-X4X3）-（X2-X1），X3（X2一X1）一（X2一X1），（X3一1）（X2一X1），（X一1）（X2一X1）（X2X1）解二：原式（X5-X4）（X3-X2）（X-1）

15、，X4（X1）X2（X1）（X1），（X1）（X4X21），（X1）（X42X21）X2，（X一1）（X2一X1）（X2X1）通过变形达到分解的目的例分解因式X33x24解一：将3x2拆成2x2X2，则有原式，X32x2（x2-4），X2（X2）（X2）（x2），（X2）（x2X2）中小学1对1课外辅导专家 龙文教育教务管理部Q龙文教育中小学1对1课外辅导专家(x31)(x6x31x311) #龙文教育教务管理部解二：将常数4拆成13原式=X31,(3x23)=(x1)(x2,x,1),(x1)(3x,3)=(x1)(x2,4x,4)=(x1)(x,2)2在证明题中的应用例：求证：多项式(x24)(x210 x,21),100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x24)(x210 x,21),100=(x,2)(x2)(x3)(x7),100=(x,2)(x7)(x2)(x3),100=(x25x14)(x25x,6),100设y=x2-5x则原式=(y14)(y,6),100=y28y,16=(y4)2无论y取何值都有(y4)20(x24)(x210 x,21),100