2022届湖北省鄂东南三校高三下学期5月适应性训练数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 16 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 页2022届湖北省鄂东南三校高三下学期5月适应性训练数学试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】化简集合，然后利用补集，交集的定义运算即得.【详解】，.故选：C.2已知，则（）ABCD【答案】B【分析】根据可知，从而求出的值，进而可的.【详解】解：由题意得：，解得故故选：B3下列函数与的图象关于原点对称的函数是（）ABCD【答案】C【分析】令与关于原点对称，根据即可求对称函数解析式.【详解】令，与关于

2、原点对称，则，所以.故选：C4已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（）ABCD【答案】C【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为，由此可求得，得到解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，解得：，令，解得：，此时，的对称中心为，当时，的一个对称中心为.故选：C.5已知首项为1的等差数列的前项和为，满足，则（）ABCD【答案】B【分析】先得到为等差数列，公差为，首项为1，从而得到，进而得到，求出前2020项和.【详解】由可得：为等差数列，公差为，首项为，所以，则，所以故选：B6将编号

3、为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（）ABCD【答案】A【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】解：由题得任意放球共有种方法，如果有一个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设选的是1号球，则再对后面的2,3,4,5进行排列，且四个小球的编号与盒子的编号一个都不相同，假设2号盒子里放3号球，则有三种，所以 后面的小球的排列共有种方法. 所以剩下的四个球共有种方法.由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所

4、在盒子编号相同的概率为故选：A7已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（）ABC1D2【答案】D【分析】由题意写出，由向量夹角公式计算可得然后由不等式可得最值.【详解】正方体的棱长为,可得，,点，则，由动点满足直线与所成夹角为可得，整理得由，可得，当时取等号，即最大值为2，故选：D8下列大小比较中，错误的是（）ABCD【答案】D【分析】对于选项D,构造函数，得到.令，得到，所以选项D错误；对于选项A， 在中，令，得到 .所以选项A正确；对于选项B,在中，令，则，所以选项B正确；对于选项C, 所以，所以选项C正

5、确.【详解】解：对于选项D,构造函数，所以，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 所以.（当且仅当时取等）则令，则，化简得，故，故，故，所以选项D错误；对于选项A，在中，令，则，化简得，故，所以. 所以，所以选项A正确；对于选项B,在中，令，则，所以，所以选项B正确；对于选项C, 所以，所以选项C正确.故选：D二、多选题9下列关于复数（其中为虚数单位）的说法中，正确的是（）AB的虚部为C为纯虚数D【答案】ACD【分析】由题知，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：，所以，的虚部为，为纯虚数，.故ACD正确，B错误.故选：ACD10给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（）A1B

6、2C3D4【答案】AB【分析】命题的否定：，是真命题. 再把选项取值代入检验即得解.【详解】解：由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题.当时，则，令，所以选项A正确；当时，则，令，所以选项B正确；当时，则，不成立，所以选项C错误；当时，则，不成立，所以选项D错误.故选：AB11设公比为的等比数列的前项和为，则下列说法中一定正确的是（）A数列：，成等比数列B当时，数列是等比数列C是等比数列D是等比数列【答案】BD【分析】利用等比数列的定义及求和公式，结合，等特殊情况，分析数据，即可判断选项正误.【详解】解：A选项中，当时，数列，为等比数列，但，所以，就不能构成等比数列，故A错误；B选项中，

7、当时，则，所以为常数，所以数列是等比数列，故B正确；C选项中，当时，则，即，所以不能构成等比数列，故C错误；D选项中，则为常数，所以是等比数列，故D正确.故选：BD.12若关于的方程有两个实数根，则的取值可以是（）ABCD【答案】ABD【分析】原题等价于，相当于用和这两条水平的直线去截函数的图像一共要有两个交点.作出函数的图象即得解.【详解】相当于用和这两条水平的直线去截函数的图像一共要有两个交点.，所以当时，；当时，；所以函数的增区间为减区间为.且当取时，当取时，. 所以函数图象如图所示，当时，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；当时，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点

8、，满足题意；当时，和和函数的图象各有两个交点，共有四个交点，不满足题意；当时，和和函数的图象各有两个交点和零个交点，共有两个交点，满足题意.故选：ABD三、填空题13已知随机变量，且，则_.【答案】0.7【分析】利用正态曲线关于直线对称，结合对立事件的概率计算公式求解.【详解】由正态曲线的对称性知，所以.故答案为：0.714有一组数据满足线性相关关系，且样本中心点为，用最小二乘法求出，则当解释变量时，预报变量为_.【答案】【分析】利用样本中心点可求得，代入即可求得结果.【详解】由题意得：，所求预报变量.故答案为：.15的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为_.【答案】【分析】利用正弦定理可得

9、，进而可得，即得.【详解】，则，由正弦定理，得故，展开化简得：，故，即，外接圆直径，故外接圆半径为.故答案为：.16已知为函数图象上第一象限内的一个动点，为坐标原点，则四边形的面积最大值为_.【答案】【分析】利用三角代换可得，然后利用辅助角公式及三角函数的性质即得.【详解】由可得，易得在椭圆的第一象限内动点，可设，,又，则，其中，当时，即四边形的面积最大值为.故答案为：.四、解答题17已知函数(1)求的单调递增区间；(2)锐角的内角的对边分别为，且为的零点.求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据整体法，利用正弦函数的单调性求解；（2）由正弦定理边角互化以及三角函数最值的性质求解.

10、【详解】(1)令，则故的单调递增区间为(2)为的零点，又，则，即.由正弦定理：则又，所以，则，即的取值范围为.【点睛】求解三角形中与边有关的范围问题，一般利用正弦定理将边化为角，再转化为求解同名三角函数的值域.18已知数列的前项和为.对于任意的正整数，都有.(1)证明：是等比数列；(2)设，求的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由结合等比数列定义即可证明；（2）求出，利用裂项相消法即可求出.【详解】(1)因为，而，故是首项为2，公比为2的等比数列.(2)由（1）知，当时，而时，不满足，故，所以， 当时，当时，当时，亦满足.故.19已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据

11、市场分析，和的分布列如下：(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？【答案】(1)=24，=36；(2).【分析】（1）由已知写出和对应分布列，并求出它们的期望，进而由方差公式求和；（2）由题设、项目所获利润分别为、，应用方差的性质求出关于x的表达式，即可知结果.【详解】(1)依题意得：102041624，.(2)设投资项目所获利润为，投资项目所获利润为.，故当时，取得最小值.20已知是锐角三角形，分别以为直径作三个球.这三个球交于一

12、点.(1)若，求到平面的距离；(2)记直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）依题意得，建立空间直角坐标系，根据已知条件求得，利用空间向量求解平面的法向量，进而求解点到面的距离.（2）建立空间直角坐标系，设三点坐标，利用空间向量求解平面的法向量，进而求解三个夹角的正弦值，根据三个夹角正弦值的关系式求解即可.【详解】(1)依题意得，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.而，故，故，则，设平面的法向量为则，故，设到平面的距离为d，则.(2)按（1）方式建系，设，则，故，设平面的法向量为，同（1）可得：，故故为定值

13、.21已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.(1)求抛物线的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解.【详解】(1)在曲线上，则，则，而，故抛物线C的方程为.(2)易知直线的斜率不为0，故设联立：，故.，因为，则则或（舍），故.因为都在轴上，要使得，则轴为的角平分线，若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，则直线的方程为，此时，而相异，故

14、，同理故与的斜率互为相反数，即为定值.故当时，有恒成立.【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系22函数.(1)求函数在的值域；(2)记分别是的导函数，记表示实数的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）对函数进行求导，得到在单调递减，在单调递增，即可得到答案；（2）由时，得到，则在上没有零点.从而将问题转化为只研究在上的零点个数，利用参变分离即可得到答案；【详解】(1)（1），则，当时，单调递减，当时，单调递增，.则在的值域为.(2)（2）当