高中数学选修2-1配北师版-课后习题Word版-第二章　空间向量与立体几何§6　距离的计算

1、6距离的计算课后篇巩固提升A组1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为() A.32B.22C.2D.322答案B2.已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则点P(-2,1,4)到的距离为()A.10B.3C.83D.103答案D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.62aB.aC.2aD.a2答案A4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是(

2、)A.12B.22C.13D.32答案D5.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为.答案3226. 如图,已知ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.答案637.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有A(0,0,0),C(3,1,0),D(

3、0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1.所以AC=(3,1,0),AP=(0,0,2).因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则NE=-x,12,1-z.由NE平面PAC,可得NEAP=0,NEAC=0,即-x,12,1-z(0,0,2)=0,-x,12,1-z(3,1,0)=0.化简,得z-1=0,-3x+12=0.所以x=36,z=1,即点N的坐标为36,0,1,从而点N到AB和AP的距离分别为1,36.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.解(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连

4、接DM,则DM平面AA1B1B,所以A1BDM.又A1BAB1=(ABAA1)(AB+AA1)=|AB|2-|AA1|2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即A1B是平面AB1D的一个法向量.故点C到平面AB1D的距离d=|ACA1B|A1B|=|AC(A1A+AB)|2a=|ACAB|2a=12a22a=24a.(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A32a,a2,0,A132a,a2,a,B1(0,0,a),D0,a,a2,C(0,a,0).可知AB1=-32a,-a2,a,AC=

5、-32a,a2,0,A1B=-32a,-a2,-a.取AB1的中点M,则M34a,a4,a2.DM=34a,-34a,0,DMA1B=34a-32a+-34a-a2+0(-a)=0.DMA1B.又A1BAB1=-32a,-a2,-a-32a,-a2,a=34a2+a24-a2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即A1B是平面AB1D的一个法向量,故点C到平面AB1D的距离d=|ACA1B|A1B|=-32a,a2,0-32a,-a2,-a2a=24a.B组1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AE,则点P到AB的距离为()A.5

6、6B.18112C.10306D.56答案A2.定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离是()A.55B.77C.66D.67答案D3.如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=23,则点A到平面MBC的距离为.答案21554.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.答案235.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,

7、M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,求:(1)点M到直线PQ的距离;(2)点M到平面AB1P的距离.解如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)QM=(-2,-3,2),QP=(-4,-2,-2),QM在QP上的投影为|QMQP|QP|=|8+6-4|16+4+4=566,点M到直线PQ的距离为|QM|2-(566)2=17-256=4626.(2)设平面AB1P的法向量n=(x,y,z),则nAB1,nAP,AB1=(-4,0,4),AP=(-4,4,0),nAB1=-4x+

8、4z=0,nAP=-4x+4y=0,令x=1,解得y=1,z=1,n=(1,1,1),又MA=(2,-3,-4),点M到平面AB1P的距离d=|MAn|n|=|2-3-4|3=533.6.如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为45?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.令CQ=m(0m2),则DQ=2-m.点Q的坐标为(2-m,2,0),EQ=(2-m,2,-1).而EF=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则nEF=0,nEQ=0,y=0,(2-m)x+2y-z=0,令x=1,则n=(1