高中数学选修2-2配人教A版-课后习题word-第一章　导数及其应用1.5.3　定积分的概念

1、1.5.3定积分的概念课后篇巩固提升基础巩固1.定积分ab f(x)dx的大小() A.与f(x)和积分区间a,b有关,与i的取法无关B.与f(x)有关,与区间a,b以及i的取法无关C.与f(x)以及i的取法有关,与区间a,b无关D.与f(x)、区间a,b和i的取法都有关解析由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确.答案A2.设f(x)是a,b上的连续函数,则ab f(x)dx-ab f(t)dt的值()A.大于零B.等于零C.小于零D.不能确定解析定积分的值只与被积函数和积分区间有关,与积分变量用什么字母表示无关.ab f(x)dx和ab f(t)dt都表示曲线y=f(x)与x=a,x

2、=b及y=0所围成的曲边梯形的面积,它们的值相等,故选B.答案B3.设f(x)=x2,x0,2x,x0,则-11 f(x)dx的值是()A.-11 x2dxB.-11 2xdxC.-10 x2dx+01 2xdxD.-10 2xdx+01 x2dx解析-11 f(x)dx=-10 f(x)dx+01 f(x)dx=-10 2xdx+01 x2dx.答案D4.由函数y=-x的图象,直线x=1,x=0,y=0所围成的图形的面积可表示为()A.01 (-x)dxB.01 |-x|dxC.-10 xdxD.-01 xdx解析围成图形如图,由定积分的几何意义可知,所求图形面积S=-01 (-x)dx=0

3、1 |-x|dx,故选B.答案B5.已知定义在R上的函数f(x)与g(x),若函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,且0a f(x)dx=6,则-aa f(x)+2g(x)dx=.解析函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,函数f(x)的图象关于y轴对称,函数g(x)的图象关于原点对称.-aa f(x)dx=20a f(x)dx=12,-aa g(x)dx=0,-aa f(x)+2g(x)dx=-aa f(x)dx+2-aa g(x)dx=12.答案126.已知ab f(x)+g(x)dx=3,ab f(x)-g(x)dx=1,则ac 2f(x)dx+cb 2f(x)dx=(其中ac

4、1,x+1,0 x1,求02 f(x)dx.解f(x)=-2x+4,x1,x+1,0 x1,02 f(x)dx=01 (x+1)dx+12 (-2x+4)dx.由定积分的几何意义得01 (x+1)dx=12(1+2)1=32,12 (-2x+4)dx=1212=1,故02 f(x)dx=32+1=52.9.求证:1201 xdx1.证明如图,01 xdx表示图中阴影部分面积,OAB的面积是12,正方形OABC的面积是1,显然,OAB的面积阴影部分面积正方形OABC的面积,即1201 xdx0D.若f(x)在a,b上连续且ab f(x)dx0,则f(x)在a,b上恒正解析A项,因为f(x)是奇函

5、数,图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A项正确;B项,因为f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等,故B项正确;由定积分的几何意义知,C项显然正确;D项,f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且 f(x)0的曲线围成的面积比f(x)01 x2dx.答案01 xdx01 x2dx5.02 4-(x-2)2-xdx=.解析02 4-(x-2)2dx表示圆心在(2,0),半径等于2的圆的面积的14,即02 4-(x-2)2dx=1422=.02 xdx表示底和高都为2的直角三角形的面积.即02 xdx=1222=2

6、.原式=02 4-(x-2)2dx-02 xdx=-2.答案-26.将limn+1n+1+1n+2+12n表示为定积分为.解析由定积分的定义limn+1n+1+1n+2+12n=limn+i=1n1in+11n=limn+i=1nnn+i1n=01 11+xdx.答案01 11+xdx7.利用定积分的定义,计算01 (x2+2)dx.解把区间0,1分成n等份,分别为0,1n,1n,2n,i-1n,in,n-1n,1,小区间的长度为x=1n,取i=in(i=1,2,n),作和i=1nf(i)x=i=1n(i2+2)x=i=1nin2+21n=1n3i=1ni2+2=161+1n2+1n+2.因为x=1n,当x0时,n,所以01 (x2+2)dx=limx0i=1nf(i)x=limn161+1n2+1n+2=13+2=73.8.利用定积分的几何意义求-3232 1-x2dx.解由y=1-x2可知,x2+y2=1(y0)的图象为如图所示的半圆,由定积分的几何意义知-3232 1-x2dx