高中数学选修2-2配人教A版-课后习题word-第一章　导数及其应用习题课-导数的综合应用

1、习题课导数的综合应用课后篇巩固提升1.已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则不正确的选项是() A.f(x)在x=-1处取得极大值B.f(x)在R上有两个极值点C.f(x)在x=2处取得极小值D.函数f(x)在R上有三个不同的零点解析因为f(x)=(x2-3x+1)ex,所以f(x)=(x2-x-2)ex,令f(x)=0,得x=-1或x=2,当x0,函数单调递增;当-1x2时,f(x)2时,f(x)0,函数单调递增.故函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-1处取得极大值.f(x)=(x2-3x+1)ex=0,x2-3x+1=0.=(-3)2-411=50,方程有两个不相等的实根,故函

2、数f(x)在R上有两个不同的零点.根据以上得出的结论可以判断选项D说法不正确,故本题选D.答案D2.若不等式ax2ln x恒成立,则实数a的取值范围是()A.12e,+B.12e,+C.-,12eD.-,12e解析由ax2ln x得alnxx2,令g(x)=lnxx2,则g(x)=1-2lnxx3,由g(x)=0,得x=e,且g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,于是g(x)在x=e处取得极大值即最大值g(e)=12e,因此要使alnxx2成立,应有a12e.答案A3.若函数f(x)=13x3+x2-ax在区间(1,+)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范

3、围是()A.43,3B.43,103C.43,3D.(-,3解析f(x)=x2+2x-a,依题意有f(x)=x2+2x-a0在(1,+)上恒成立,所以ax2+2x,而y=x2+2x在(1,+)满足y3,所以a3;又因为f(x)在区间(1,2)上有零点,所以f(1)0,即f(1)=43-a0,解得43a103,综上可得,实数a的取值范围是43,3.答案C4.已知函数f(x)=ex-aln x在1,2上单调递增,则a的取值范围是.解析f(x)=ex-ax0在1,2上恒成立,则a(xex)min,令g(x)=xex,g(x)=(x+1)ex,知g(x)在1,2上单调递增,故ae.故答案为(-,e.答

4、案(-,e5.函数y=ln x+x2的图象与函数y=3x-b的图象有3个不同的交点,则实数b的取值范围是.解析依题意方程ln x+x2-3x+b=0有3个实数根,即b=-ln x-x2+3x,令f(x)=-ln x-x2+3x,则f(x)=-1x-2x+3=-2x2+3x-1x=-(2x-1)(x-1)x,因此f(x)在x=12取得极小值f12=54+ln 2,在x=1取得极大值f(1)=2,故实数b的取值范围是54+ln 2,2.答案54+ln 2,26.已知x(0,+),不等式ax+eaxln x+x恒成立,则实数a的最小值为.解析设f(x)=x+ex,显然f(x)是增函数,不等式ax+e

5、axln x+x变形为ax+eaxln x+eln x,即f(ax)f(ln x),所以axln x,所以alnxx.令g(x)=lnxx,则g(x)=1-lnxx2,当0 x0,g(x)单调递增,当xe时,g(x)0,求实数a取值范围;(2)如果当x1时,不等式f(x)kx+1恒成立,求实数k的取值范围.解(1)因为f(x)=1+lnxx,所以f(x)=-lnxx2.当0 x0,f(x)单调递增;且x1时,f(x)0,f(x)单调递减.依题意有a1且a0,解得12a0.因此g(x)0,所以g(x)在1,+)上单调递增,故g(x)min=g(1)=2.即k2.故k的取值范围为(-,2.8.已知

6、函数f(x)=x3-43x2ex的定义域为-1,+).(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论函数g(x)=f(x)-a在-1,2上的零点个数.解(1)f(x)=x3+53x2-83xex=x3(3x+8)(x-1)ex.因为x-1,+),所以f(x)的零点为0和1,令f(x)0,得0 x0,得x1或-1x0.所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(-1,0),(1,+).(2)由(1)知,f(x)在-1,2上的极大值为f(0)=0,极小值为f(1)=-e3.因为f(-1)=-73e,f(-1)f(1)=7e272.721,所以f(1)f(-1)0.f(2)=8e23,由g(x)

7、=0,得f(x)=a.当a8e23时,g(x)的零点个数为0;当a=-e3或0a8e23时,g(x)的零点个数为1;当-e3a-73e或a=0时,g(x)的零点个数为2;当-73ea0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)-12x2+ax+b恒成立,求a12,1时,实数b的最大值.解(1)f(x)=-aln x+(a+1)x-12x2(a0),定义域为(0,+),f(x)=-ax+a+1-x=-(x-a)(x-1)x,x0.令f(x)=0,则x1=a,x2=1.当0a0,则ax1;令f(x)0,则0 x1.f(x)在(0,a)和(1,+)内单调递减;在(a,1)内单调递增;当a=1时,f(x)0,且仅在x=1时,f(x)=0,f(x)在(0,+)内单调递减;当a1时,令f(x)0,则1xa;令f(x)0,则0 xa,在(0,1)和(a,+)内单调递减;在(1,a)内单调递增.综上所述,当0a1时,f(x)在(0,1)和(a,+)内单调递减,(1,a)内单调递增.(2)f(x)=-aln x+(a+1)x-12x2(a0),若f(x)-12x2+ax+b恒成立,则b-aln x+x恒成立.令g(x)=-aln x+x,x0,即bg(x)min.g(x)=1-ax=x-ax(a0),g(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+)内单调递增;g(x)min=g(a)=-