2022年人教A版必修5：12余弦定理的证明方法大全

1、人教 A 版必修 5： 1.2 余弦定理的证明方法大全 共十法 一、余弦定理余弦定理的证明方法大全 共十法 余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍 , 即在ABC 中, 已知 ABc , BCa , CAb, 就有a2b2c22 bccosA, b2c2a22 cacosB, c2a2b22abcosC . 二、定理证明为了表达的便利与统一 , 我们证明以下问题即可 : 在ABC中, 已知 ABc , ACb , 及角 A, 求证 :a2b2c22 bccosA. 证法一 : 如图 1, 在ABC 中, 由 CBABAC 可得 : CCB C

2、B AB AC AB AC 2 2AB AC 2 AB AC2 2b c 2 bc cos AA B即, a 2b 2c 22 bc cos A. 图1证法二 : 本方法要留意对 A 进行争论 .2 2 2 2 2 2 21 当 A 是直角时 , 由 b c 2 bc cos A b c 2 bc cos90 b c a 知结论成立 .2 当 A 是锐角时 , 如图 2-1, 过点 C 作 CD AB , 交 AB 于点 D , 就在 Rt ACD 中, AD b cos A , CD b sin A . 从而, BD AB AD c b cos A . C在 Rt BCD 中, 由勾股定理可

3、得 : 2 2 2BC BD CD2 2 c b cos A sin A c 22 cb cos A b 2 A D B图2-12 2 2即, a b c 2 bc cos A. 说明 : 图 2-1 中只对 B 是锐角时符合 , 而 B 仍可以是直角或钝角 . 如 B是直角 , 图中的1 / 4 人教 A 版必修 5： 1.2 余弦定理的证明方法大全 共十法 点 D 就与点 B 重合；如 B 是钝角 , 图中的点 D 就在 AB 的延长线上 . 3 当 A 是钝角时 , 如图 2-2, 过点 C 作 CD AB , 交 BA 延长线于点 D , 就在 Rt ACD 中, AD b cos A

4、 b cos A, CD b sin A b sin A. 从而 , BD AB AD c b cos A . 在 Rt BCD 中, 由勾股定理可得 : BC2BD2CD2CBBcbcosA2 sinA2c22cbcosAb2DA即,a2b2c22 bccosA. 图 2-2综上 1,2,3可知 , 均有a2b2c22 bccosA成立 . 证法三 : 过点 A 作 ADBC , 交 BC 于点 D , 就在 Rt ABD 中, sinBD, cosAD. CDcc在 Rt ACD 中, sinCD, cosAD. bb由 cosAcoscoscossinsin可得 : cosAADADBD

5、CDAD2BD CDA图 3cbcbbc2AD22BD CDc2BD2b2CD22BD CD2 bc2bcb2c2BDCD2b2c2a22 bc2bc整理可得a2b2c22 bccosA. 证法四 : 在ABC 中, 由正弦定理可得aAbBcCsincB. sinsinsinA从而有bsinAasinB , csinAasinABasinAcosBacosAsinB . 将带入 , 整理可得acosBcbcosA . 将 , 平方相加可得a2cbcosA2 sinA 2b2c22bccosA . 2 / 4 人教 A 版必修 5： 1.2 余弦定理的证明方法大全共十法 C . Bx即,a2b2

6、c22 bccosA. 证法五 : 建立平面直角坐标系 如图 4, 就由题意可得y点A0,0,B c ,0,C b cos , A bsinA , 再由两点间距离公式C可得a2cbcosA2 sinA2c22 cbcosAb . 2即,a2b2c22 bccosA. AO图4证法六 : 在ABC 中, 由正弦定理可得a2RsinA ,b2 RsinB ,c2Rsin于是 ,a24R2sin2A42 R2 sin BC4R2sin2B2 cosC2 cosBsin2C2sinBsinCcosBcosC4R2sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC4R2sin2

7、Bsin2C2sinBsinCcosBC4R2sin2Bsin2C2sinBsinCcosA2RsinB22RsinC222RsinB2RsinBcosAb2c22bccosA即, 结论成立 . 证法七 : 在ABC 中, 由正弦定理可得a2RsinA ,b2 RsinB ,c2RsinC . 于是 ,a2b2c22 bccosA4 R2sin2A4R2sin2B4R2sin2C8R2sinBsinCcosA2sin2A2sin2B2sin2C4sinBsinCcosA2sin2A2cos2Bcos2C4sinBsinCcosA22cos2A22cosBCcosBC4sinBsinCcosA由

8、于 cosBCcosA cosA, 因此2 cosAcosBCcosBC2sinBsinCcosAcosAcosBC2sinBsinCcosAcosBcosCsinBsinCcosBC . 这, 明显成立 . 3 / 4 人教 A 版必修 5： 1.2 余弦定理的证明方法大全 共十法 即, 结论成立 . 证法八 : 如图 5, 以点 C 为圆心 , 以 CA b为半径作 C , 直线 BC 与 C 交于点 D E , 延长FAB 交 C 于 F , 延长 AC 交 C 于 G . E2bcosA-c就由作图过程知 AF 2 cos A , B b-aa c故 BF 2 cos A c . G

9、b C b A由相交弦定理可得 : BA BF BD BE , b即, c 2 cos A c b a b a , D图 5整理可得 : a 2b 2c 22 bc cos A. 证法九 : 如图 6, 过 C 作 CD AB , 交 ABC 的外接圆于 D , 就 AD BC a , BD AC b.分别过 C D 作 AB 的垂线 , 垂足分别为 E F , 就 AE BF b cos A, 故 CD c 2 cos A. 由托勒密定理可得 AD BC AB CD AC BD , C D即, a a c c 2 cos A b b . b a a2 2 2整理可得 : a b c 2 bc cos A. 2 2 2证法十 : 由图 7-1 和图 7-2 可得 a c b cos A sin A , A E c F B整理可得 : a 2b 2c 22