2022年人教A版数学必修四23《平面向量的正交分解及坐标表示》Word教案

1、名师精编 优秀教案2.3 平面对量的基本定理及坐标表示教学设计【教学目标】1明白平面对量基本定理；2懂得平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步把握应用向量解决 实际问题的重要思想方法；3能够在详细问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达 . 【导入新课】复习引入：1 实数与向量的积实数 与向量 a 的积是一个向量,记作： a .（1）| a |=| | a | ；（2） 0 时, a 与a方向相同； 0 时, a 与 a 方向相反； =0 时, a =0. 2运算定律结合律： a = a；安排律： + a = a + a , a +b = a + b . 3. 向量

2、共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 新授课阶段 ,使 b = a . 一、平面对量基本定理：假如 1e,e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 1, 2 使 a = 1 1e + 2 e . 探究：1 我们把不共线向量 、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；2 基底不惟一,关键是不共线；3 由定理可将任一向量 a 在给出基底 、的条件下进行分解；4 基底给定时,分解形式惟一 . 1, 2 是被 a,1e,e 唯独确定的数量 . 二、平面对量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相

3、同的两个单位向量、j 作为基底 .任作一个向量 a ,由平面对量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得axiyj 11名师精编优秀教案我们把x,y 叫做向量 a 的（直角）坐标,记作ax,y 22其中x叫做a在x轴上的坐标, y 叫做a在 y 轴上的坐标, 22式叫做向量的坐标表示. 与a 相等的向量的坐标也为x,y. y也特殊地,i 0,1,j0 1, ,00 ,0. 如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作OAa,就点 A的位置由 a 唯独确定 . 设OAxiyj,就向量 OA 的坐标x,y就是点 A 的坐标；反过来,点A的坐标x,就是向量 OA 的坐标 . 因此,在平面直角坐标

4、系内,每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示 . 三、平面对量的坐标运算（1）如 a x 1y 1 ,b x 2y 2 ,就 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,a b x 1 x 2 , y 1 y 2 . 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 . 设基底为、j ,就 a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2 j x 1 x 2 i y 1 y 2 j,即a b x 1 x 2 , y 1 y 2 ,同理可得 a b x 1 x 2 , y 1 y 2 .（2）如 A x 1y 1 ,B x 2y 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 .

5、 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 . AB =OB OA = x 2,y 2 -x 1,y 1= x 2 x 1, y2 y 1. （3）如 a x , y 和实数,就 a x , y . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原先向量的相应坐标 . 设基底为、j ,就 a xi yj xi yj,即 a x , y . 例 1 已知 Ax 1, y1 ,Bx 2,y 2 ,求 AB 的坐标 . 例 2 已知 a =2 ,1 , b =-3 ,4 ,求 a +b , a - b ,3a+4 b 的坐标 . 名师精编 优秀教案例 3 已知平面上三点的坐标分别为 点构

6、成平行四边形四个顶点 . A 2, 1 ,B 1,3 , C3 ,4 ,求点 D的坐标使这四解：当平行四边形为 ABCD时,由 AB DC,得 D1=2 ,2. 当平行四边形为 ACDB时,得 D2=4 ,6 ,当平行四边形为 DACB时,得 D3= 6,0. 例 4 已知三个力 F 3 ,4 ,F 2 , 5 ,F x ,y 的合力 F + F + F =0,求 F 的坐标 . 解：由题设 F + F + F =0 ,得： 3 , 4+ 2 , 5+x ,y=0 ,0 ,3 2 x 0, x 5,即：F 5,1. 4 5 y 0, y 1.例 5 已知 a=2,1, b = 3,4, 求 a

7、 b , a b ,3a 4b 的坐标 . 解： a b （ 2,1 ）+（-3,4 ）= 1,5 ,a b （ 2,1 ）- （-3,4 ）=5 , 3 ,3a4b 3（2,1 ）+4（-3,4 ）=（6,3 ）+（ -12,16 ）=6,19. 点评：利用平面对量的坐标运算法就直接求解 . 例 6 已知平行四边形 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为（-2 ,1）、（-1 ,3）（3,4）,求顶点 D的坐标 . 解：设点 D的坐标为（ x,y ）, AB 1,3 2,11,2,y,DC3,4 , 3x ,4且ABDC,1,23x,4y.即 3- x=1,4-y=2. 解得 x=2,y

8、=2. 所以顶点 D的坐标为（ 2, 2）. 另解：由平行四边形法就可得BDBABC33 1,43 2 1,13, 1,ODOBBD名师精编优秀教案 1,3 3, 12, 2.例 7 经过点M 2,3的直线分别交x 轴、 y 轴于点A B ,且 |AB| 3|AM|,求点A B 的坐标. 解：由题设知,A B M 三点共线,且 | AB | 3| AM |,设 A x ,0, B 0, y ,点 M 在 A B 之间,就有 AB 3 AM , x y 3 2 x ,3 . 解之得：x 3, y 3,点 A B 的坐标分别为 3,0,0,3 . 点 M 不在 A B 之间,就有 AB 3 AM

9、,同理,可求得点 A B 的坐标分别为 3,0,20, 9 . 综上,点 A B 的坐标分别为 3,0,0,3 或 3,0, 0, 9 . 2例 8. 已知三点 A 2,3, B 5,4, C 7,10,如 AM AB AC,试求实数 的取值范畴, 使 M落在第四象限 . 解：设点 M x y , ,由题设得 x 2, y 3 3 , 5,7 3 5, 7,x 3 3, y 4,要使 M 落在第四象限,就 x 3 3 0, y 4 0,解之得 1 4. 例 8 已知向量 a 8, 2, b 3,3, c 6,12, p 6,4,问是否存在实数 x y z 同时满意两个条件： 1 p xa yb

10、 zc ;2 x y z 1？假如存在, 求出 x y z 的值； 假如不存在, 请说明理由 . 解：假设满意条件的实数x y z存在,就有8x3 y6z6,解之得：x1 , 21 , 32x3y12 z4,yxyz1.z1 . 6满意条件的实数x1,y1,名师精编优秀教案z1. 236课堂小结（1）懂得平面对量的坐标的概念；（2）把握平面对量的坐标运算；（3）会依据向量的坐标,判定向量是否共线 . 作业见同步练习拓展提升1. 设 1e , e是同一平面内两个不共线的向量,不能以下各组向量中作为基底的是（）A. 1e ,e B. 1e + e,e C. e, 2 e D. 1e ,1e + e

11、 22. 设 1e , e 是同一平面内全部向量的一组基底,就以下各组向量中,不能作为基底的是（）A. 1e + e 和 e -e B. 3 1e -2 e 和 4 1e -6 e 2C. 1e +2 e 和 2 e + e D. 1e + e 和 e 23. 已知 1e , 2e 不共线, a = 1 e+ e,b=4 1e +2 e,并且a,b共线,就以下各式正确的是（）A. 1=1, B. 1=2, C. 1=3, D. 1=4 4. 设 AB = a+5 b , BC =-2 a +8b , CD =3 a -3 b ,那么以下各组的点中三点肯定共线的是（）A,C, D C. A,B,

12、D D. ,A. A ,B,C B. 以下说法中,正确选项（）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底；一个平面内有很多多对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底；零向量不行作为基底中的向量 . 已知 1e , 2e 是同一平面内两个不共线的向量,那么以下两个结论中正确选项（）1e+2e（1,名师精编优秀教案2为实数）可以表示该平面内全部向量；如有实数 1,2使 1 1e + 2 e0,就 12 . 以上都不对已知 的边上的中线,如 AB a , AC b ,就 AM （）1 （ a b ）1 （ a b ）2 21 （ a b ）1 （ a b ）2 2已知是正六边形,AB a , AE b ,就 BC （）1 （ a b ）1 （ a b ）2 2 a 1 b 1 （ a b ）2 2假如 1e + ea, e+ eb,其中a,b为