2016-2017学年北京市东城区高二下学期期末考试数学(理)试题

1、北京市东城区2016-2017学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分。考试时长120分钟。第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z=1+2i，则z在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x2.直线y=3丄t,2=1+-12（t为参数）的斜率为A.B.C.D.3.在（x-2）10的展开式中，x6的系数为A.16C410B.32C14OC.-8C610D.-16C16o4.一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为A.4

2、种B.12种C.24种D.120种兀5.在极坐标系中，点（2,亍）到直线pcos0=2的距离为A.B.1C.2D.36.袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A.12B.25D.7.函数y二e出cosx的图象大致为&甲、乙两人约好一同去看变形金刚5两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影,此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表:1排4号1排5号1排8号2排4号3排1号3排5号4排1号4排2号4排8号丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙。下面是甲、乙关于丙所

3、选电影票的具体座位信息的一段对话甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定。”乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了。”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A.4排8号B.3排1号C.1排4号D.1排5号第二部分(非选择题共76分)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分。请把答案填在相应题中横线上)、1-3iTOC o 1-5 h zi是虚数单位，复数一r=。1-i定积分11(2x+sinx)dx的值为。-1在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+

4、6.5t+10,贝y该运动员在t=0.5s时的瞬时速度为v=m/s。若(2x+1)5=a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5，则a-a+a-a+aa012345012345的值为。13.随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起。佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束，客服为佳佳提供了两个系列，如下表粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、梔子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在这两个系列中选择一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成TOC o

5、 1-5 h z混合花束。请问佳佳可定制的混合花束一共有种。14.已知平面向量a=(m,n)，平面向量b=(p,q)(其中m,n,p,qeZ)。定义：ab=(mp一nq,mq+np)，若a=(1,2),b=(2,1)，则ab=若ab=(5,0)，且Ial5,1blk)00.500.400.250.150.100.050.020.010.000.001505k00.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.825832614598附：n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)(本题满分8分)TOC o 1-5 h z已知数列a的前n项和为S，且满足

6、S二2a-n，求数列a的通项公式。nnnnn勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种，并将其补充完整思路1：设“的值为1,根据已知条件，计算出：a1=，a2=，a3=猜想：a=。n用数学归纳法证明，证明过程如下：当n=1时，猜想成立。假设n二k(kgN*)时，猜想成立，即a=。k那么，当n二k+1时，由已知S二2a一n，得S=。nnk+1又S二2a-k，两式相减并化简，得a=(用含k的代数式表示)。kkk+1所以，当n二k+1时，猜想也成立。根据和，可知猜想对任何kgn*都成立。思路2：设n的值为1,根据已知，计算出a=。由已知S二2a一n，写出S与a的关系式：S=。nnn+1n

7、+1n+1两式相减，得a与a的递推关系式：a=。n+1nn+1整理：a+1=。n+1发现：数列a+1是首项为，公比为的等比数列。n得出：数列a+1的通项公式a+1=，进而得到a=nnn(本题满分9分)为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行。根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6，乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元，记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的。求

8、X的分布列和数学期望E(X)；已知王老师在2017年6月的所有工作日(按22个工作日计)中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由。D(X)原则：设a表示王老师某月平均每个工作日出行的费用，若Ia-E(X)15，则有95%以上的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化。(注：D(X)二工(x-E(X)2p)iii=1(本题满分9分)已知函数f(x)=Inx+a(1-x),aeR求f(x)的单调区间；若对任意的xe(0,+s)，都有f(x)2a2，求实数a的取值范围。(本题满分9分)已知随机变量g的取值为不大于n的非负整数

9、值，它的分布列为g012nPp0p1p2pn其中6.635.有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关。8分（本题满分8分）解：思路1：a=111分a=3，22分a=7，33分a=2n1n4分a=211=1，15分a=2k1，k6分S=2a(k+1)k+1k+17分a=2k+11k+18分思路2：a=1，11分S=2a(n+1)，n+1n+12分a=2a+1，n+1n3分a+1=2(a+1)，n+1n4分2，5分2，6分a+1=2n，n7分a=2n1。n8分.（本题满分9分）解:（I）依题意，X可能的取值是2,4,6,因此X的分布列为X246P0.360.480.16由此可知，X的数学期望为E(

10、X)=2x0.36+4x0.48+6x0.16=3.6。5分（II）判断：有95%以上的把握认为王老师该月的出行规律与35月的出行规律相比有明显变化。6分理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，平均每天出行的费用a=110十22=5（元）7分；1.92又D(X)二(2-3.6)2x0.36+(4-3.6)2x0.48+(6-3.6)2x0.16二1.92。8分则丨aE(X)1=153.61=1.4则有95%以上的把握认为王老师该月的出行规律与35月的出行规律相比有明显变TOC o 1-5 h z化。9分(本题满分9分)解：(I)f(x)=一a=aX(x0),1分xx当a0恒成立

11、，则f(x)在(0,+s)上单调递增；2分当a0时，令f(x)0，则0 x丄a则/(x)在区间(0,)上单调递增，在区间(，+x*)上单调递减。4分aa(II)方法1：当a2a2所以不会有Vxe(0,+s),f(x)0时，由(I)知，f(x)在(0,+s)上的最大值为6分所以Vxe(0,+x),f(x)2a一2等价于f(丄)=一Ina+a一10的解为a1，8分故Vxe(0,+s),f(x)2a2时，实数a的取值范围是1,+Q。9分方法2：Vxe(0,+a),f(x)T+T5分lnx1lnx+2x令g(x)=，则g(x)=x+1(x+1)26分令h(x)=lnx1，贝yh(x)=丄=x-(x+1

12、)x2因为当xe(0,+s),h(x)g(x)等价于ag(1)=1TOC o 1-5 h z故Vxe(O,+s),f(x)2a-2时，实数a的取值范围是1,+Q。9分(本题满分9分)解：(I)P(g=2)=2。2分(II)由于E忆)=0-p+1-p+2-p+n-p012ng(x)=f(x)=p+2px+npxn-112n所以E(E)=g(1)。4分由E的方差定义可知D(E)=工(i-E(E)2-pii=0=工i2-p+ii=0=工i(i-1)-p+工i-p+工E2(E)-p工E2(e)-p-2E(E忆i-piii=0i=0-2E(E)工i-piiiii=2i=0i=0i=0=i(i-1)p+E

13、(E)+E2(E)-2E2(E)ii=2=Yi(i-1)p+E(E)-E2(E)ii=2=工i(i-1)-p+g(1)-g2(1)ii=2由于g(x)=p+2px+npxn-1TOC o 1-5 h z12ng(x)=2p+3x2p-x+n(n-1)p-xn-2=工i(i-1)pii=26分23ng(1)=2p+3x2p+n(n-1)p23n所以D(E)=g(1)+g(1)-(g(1)2方法1：投掷一枚骰子一次，随机变量E的生成的函数为3697分f(x)=(x+x2+x3+x4+x5+X6)6TOC o 1-5 h z投掷骰子两次生成的函数为h(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6)2,8分69分所以h(2)=212=441方法2：g的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,