2022年人教九级数上册期末知识点归纳总结自会

1、人教版九年级数学上册学问点总结 其次十一章 二次根式 21.1 二次根式 学问点一 二次根式的概念 1 一般地 , 我们把形如 a a0 的式子叫做二次根式；二次根式 a 的实质是一个非负数 a 的算术平方根；其中“ ”叫做二次根号； 2 正确懂得二次根式的概念,要把握以下几点： 二次根式是在形式上定义的,必需含有二次根号“ ；如 4 是二次根式,虽然 4 =2 ,但 2 不是二次根式； 被开方数 a 必需是非负数,即 a 0.如 3 就不是二次根式,但式子 3 2 是二次根式； “ ”的根指数为 2 ,即“2,一般省略根指数 2 ,写作“ ,留意,不行误认为根指数是“ 1”或0“”； 提示：

2、判定是不是二次根式,一看形式,二看数值,即形式上要有二次根号,被开方数要是非负数； 学问点二 二次根式的性质 （ 1） a（ a0 ）既是二次根式,又是非负数的算术平方根,所以它确定是非负数,即 a（a 0）,我们把这个性质叫做二次根 式的非负性； （2）（ a） 2 = a（ a0）,这个性质可以正用,也可以逆用,正用常常用于二次根式的化简和运算,可以去掉根号；逆用时可以把一 个非负数写成完整平方数的形式,常用于多项式的因式分解； （3 ） a 2 = a a 0 ,这个性质可以正用,也可以逆用,正用时用于二次根式的化简,即当被开方数能化为完全平方数（式）时,就可 以利用该性质去掉根号；逆用

3、时可以把一个非负数化为一个二次根式； 学问点三 代数式 定义：用基本运算符号（基本运算包括加,减,乘,除,乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式； 21.2 二次根式的乘除 学问点一 二次根式的乘法法就 一般地,对二次根式的乘法规定： a b = ab a 0,b 0 ,即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变； 学问点二 积的算术平方根的性质 -可编辑修改 - 第 1 页,共 16 页ab = a b（a0, b0）,积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积； 学问点三 二次根式的除法法就 一般地,对二次根式的除法规定： a = a（ a0,b0）,即两个二次根式相

4、除,把被开方数相除,根指数不变； b b学问点四 商的算术平方根的性质 a a = （ a0,b 0）,即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根； b b 学问点五 最简二次根式 必需中意以下两个条件： （ 1） 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 21.3 二次根式的加减 学问点一 二次根式的加减 二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并,二次根式加减法的实质是将被开方数相同 的二次根式合并,合并时只把系数相加减,根指数和被开方数不变； 学问点二 二次根式的混合运算 （1 ） 二次根式的混合运算次序与整式的混合

5、运算次序相同：先乘方开方,再乘除,最终加减,有括号的先算括号里面的； （2 ） 在二次根式的运算中乘法法就和乘法公式仍然适用； 一元二次方程 学问点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元） ,并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程； 留意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程； 学问点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax 2 + bx + c = 0a 0.其中, ax2是二次项, a 是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项； -可编辑修改 - 第 2 页,共 16 页学问点三 一元二次

6、方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的 依据； 22.2 降次解一元二次方程 22.2.1 配方法 学问点一 直接开平方法解一元二次方程 （1 ） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方；一般地,对于形如 x2 =aa 0 的方程, 依据平方根的定义可解得 x 1= a ,x2= a . （2 ） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或mx+a 2=pm 0 形式的方程,假如 p0,就可以利用直接开平方法； （3 ） 用直接开平方法求一元二次方程的根, 要正确运用平

7、方根的性质, 即正数的平方根有两个, 它们互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根； （4 ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平 方,使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根； 学问点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫做配方法, 配方的目的是降次, 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方法的一般步骤可以总结为：一移,二除,三配,四开； （1 ） 把常数项移到等号的右边； 方程两边都除以二次项系数； 如等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解；

8、 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式； 公式法 学问点一 公式法解一元二次方程 （1 ） 一般地,对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0a 0,假如 b2-4ac0,那么方程的两个根为 x= bb24ac ,这个公 2a 式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数 方法叫做公式法； -可编辑修改 - a,b,c 的值直接求得方程的解,这种解方程的 第 3 页,共 16 页（2 ） 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2+bx+c=0a 0 的过程； （3 ） 公式法解一元二次方程的详细步骤： 方程化为一

9、般形式： ax 2 +bx+c=0a 0 ,一般 a 化为正值 确定公式中 a,b,c 的值,留意符号； 求出 b2 -4ac 的值； 如 b2 -4ac 0 ,就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解,如 b2-4ac 0 ,就方程无实数根； 学问点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2 -4ac 叫做方程 ax 2+bx+c=0a 0根的判别式,通常用希腊字母表示它,即 =b 2 -4ac. 0,方程 ax2+bx+c=0a 0有两个不相等的实数根一元二次方程 =0 ,方程 ax 2 +bx+c=0a 0 有两个相等的实数根 根的判别式 0,方程 ax2+bx+c=0a 0无

10、实数根 3 因式分解法 学问点一 因式分解法解一元二次方程 （1 ） 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方 法叫做因式分解法； （2 ） 因式分解法的详细步骤： 移项,将全部的项都移到左边,右边化为 0 ； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式,平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解； -可编辑修改 - 第 4 页,共 16 页学问点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范畴 直接开平方法 平方根的意义 形如 x2 =p

11、或（ mx+n ）2 =pp 0 配方法 完全平方公式 全部一元二次方程 公式法 配方法 全部一元二次方程 因式分解法 当 ab=0 ,就 a=0 或 b=0 一边为 0,另一边易于分解成两个一次因 式的积的一元二次方程； 一元二次方程的根与系数的关系 如一元二次方程 x 2+px+q=0 的两个根为 x1 ,x2 ,就有 x 1+x 2=-p,x 1x 2=q. 如一元二次方程 a 2x+bx+c=0a 0 有两个实数根 x 1,x 2, 就有 x1+x 2=, b,x 1x2 = c aa实际问题与一元二次方程 学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1 ） 审：是指读懂题目,弄清

12、题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系； （2 ） 设：是指设元,也就是设出未知数； （3 ） 列：就是列方程,这是关键步骤 ,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各 个量,就得到含有未知数的等式,即方程； （4 ） 解：就是解方程,求出未知数的值； （5 ） 验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义,符合题意； （6 ） 答：写出答案； 学问点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1 ） 数字问题 x,就另两个数分别为 x-1 ,x+1 ； 三个连续整数：如设中间的一个数为 -可编辑修改 - 第 5 页,共 16 页三个

13、连续偶数（奇数） ：如中间的一个数为 x,就另两个数分别为 x-2,x+2 ； a （ 1 x ）2 =b ； 三位数的表示方法：设百位,十位,个位上的数字分别为 a,b,c ,就这个三位数是 100a+10b+c. （2 ） 增长率问题 设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为 x,就经过两次的增长或降低后的等量关系为 （3 ）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润 = 总销售价 -总成本；总利润 =单位利润总销售量；利润 =成本利润率 （4 ）图形的面积问题 依据图形的面积与图形的边,高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程； 其次

14、十三章 旋转 23.1 图形的旋转 学问点一 旋转的定义 在平面内,把一个平面图形围着平面内某一点 O 转动一个角度,就叫做图形的旋转,点 O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角； 我们把旋转中心,旋转角度,旋转方向称为旋转的三要素； 学问点二 旋转的性质 旋转的特点： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （ 3 ）旋转前后的图形全等； 懂得以下几点： （1 ） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度； （2 ）对应点到旋转中心的距离相等, 对应线段相等, 对应角相等；（ 3） 图形的大小和形状都没有发生转变,只转变了图形的位置； 学问

15、点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质： （ 1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 的性质作图的关键；步骤可分为： （ 2 ）对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； 转：即把直线按要求绕旋转中心转过确定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点； 接：即连接到所连接的各点； -可编辑修改 - 第 6 页,共 16 页中心对称 学问点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形围着某一个点旋转 180 ,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个 点叫做对称中心

16、； 留意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 学问点二 作一个图形关于某点对称的图形 180 两个图形能够完全重合； 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点；最终将对称点依据原图形的形状 连接起来,即可得出成中心对称图形； 学问点三 中心对称的性质 有以下几点： （1 ） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分； （2 ） 关于中心对称的两个图形能够相互重合,是全等形； （3 ） 关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或共线）且相等； 学问点四 中心对称图形的定义 把

17、一个图形围着某一个点旋转 180,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合, 那么这个图形叫做中心对称图形, 这个点就是它的对称 中心； 学问点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中,假如两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点 其次十四章 圆 24.1 圆 24.1.1 圆 学问点一 圆的定义 p （x,y ）关于原点对称点为（ -x,-y ）； -可编辑修改 - 第 7 页,共 16 页圆的定义：第一种：在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫作圆；固定的端点 O 叫 作圆心,线段 OA 叫作半径；其次种：圆心为 O ,半径为 r

18、的圆可以看成是全部到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合； 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的,其次种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长, 也就确定了圆； 学问点二 圆的相关概念 （1 ） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径； （2 ） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆； （3 ） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆； （4 ） 等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧； 弦是线段,弧是曲线,判定等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等

19、弧,而不是长度相等的弧； 24.1.2 垂直于弦的直径 学问点一 圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴； 学问点二 垂径定理 （1 ）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；如以下图,直径为 CMA B AM=BM 垂足为 M AC =BC DAD=BD 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如上图所示,直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M, CD AB -可编辑修改 - CD, AB 是弦,且 CD AB , 第 8 页,共 16 页AM=BM AC=BC AD=BD 留意：由于圆的两条直径必需相互平分,所以

20、垂径定理的推论中,被平分的弦必需不是直径,否就结论不成立； 24.1.3 弧,弦,圆心角 学问点 弦,弧,圆心角的关系 （ 1） 弦,弧,圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等； （ 2） 在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等； （ 3） 留意不能忽视同圆或等圆这个前提条件,假如丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧,弦也不愿定相等,比如两个同 心圆中,两个圆心角相同,但此时弧,弦不愿定相等； 24.1.4 圆周角 学问点一 圆周角定理 （1 ） 圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周

21、角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半； （2 ） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角, 90 的圆周角所对弦是直径； （3 ） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系； “同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否就就不成立了, 由于一条弦所对的圆周角有两类； 学问点二 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆； 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 24.2 点,直线,圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 学问点一 点与圆的位置关系 （ 1） 点

22、与圆的位置关系有：点在圆外,点在圆上,点在圆内三种； （ 2） 用数量关系表示：如设 O 的半径是 r ,点 P 到圆的距离 OP=d ,就有： -可编辑修改 - 第 9 页,共 16 页点 P 在圆外 d r；点 p 在圆上 d=r ；点 p 在圆内 d r； 学问点二 过已知点作圆 （1 ） 经过一个点的圆（如点 A） 以点 A 外的任意一点（如点 O）为圆心,以 OA 为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作许多个； O 1A O2O3（2 ） 经过两点的圆（如点 A, B） 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心,以 OA（或 OB）为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作许

23、多个； A B （3 ） 经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆,且只能作一个圆；如经过不在同一条直线上 的三个点 A,B, C 作圆,作法：连接 AB ,BC （或 AB , AC 或 BC ,AC ）并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点 O, 以点 O 为圆心,以 OA（或 OB , OC）的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一个； A -可编辑修改 - 第 10 页,共 16 页O B C学问点三 三角形的外接圆与外心 （1 ） 经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆； （

24、2 ） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心； 学问点四 反证法 （1 ） 反证法：假设命题的结论不成立,经过推理得出冲突,由冲突确定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方 法叫做反证法； （2 ） 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从假设动身,经过规律推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相冲突的结论； 由冲突判定假设不正确,从而得出原命题正确； 24.2.2 直线和圆的位置关系 学问点一 直线与圆的位置关系 （1 ） 直线与圆的位置关系有：相交,相切,相离三种； （2 ） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 如设O 的半径

25、是 r,直线 l 与圆心 0 的距离为 d,就有： 直线 l 和O 相交 d r； 直线 l 和O 相切 d = r ； 直线 l 和O 相离 d r； 学问点二 切线的判定和性质 （1 ） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； -可编辑修改 - 第 11 页,共 16 页（2 ） （3 ） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点 且垂直于切线的直线必经过圆心； 学问点三 切线长定理 （1 ） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线,这点和切点之间的

26、线段的长,叫做这点到圆的切线长； （2 ） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角； （3 ） 留意：切线和切线长是两个完全不同的概念,必需弄清楚切线是直线,是不能度量的；切线长是一条线段的长,这条线段的两 个端点一个是在圆外一点,另一个是切点； 学问点四 三角形的内切圆和内心 1 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做圆的外切三角形； 2 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心； 3 留意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,必平

27、分三角形的 内角； 24.2.3 圆和圆的位置关系 学问点一 圆与圆的位置关系 （1 ） 圆与圆的位置关系有五种： 假如两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种； 假如两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种； 假如两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交； （2 ） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示： 两圆内切 d=r 2-r 1两圆内含 dr 2-r 1如设两圆圆心之间的距离为 d ,两圆的半径分别是 r1 r2 ,且 r1 r2,就有 两圆外离 d r1 +r2两圆外切 d=r 1 +r2两圆相交 r2-r 1d r1 +r224.3 正多边形和圆 -可编

28、辑修改 - 第 12 页,共 16 页学问点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系特殊亲热,把圆分成 n （n 是大于 2 的自然数）等份,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这 个圆就是这个正多边形的外接圆； 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距； 学问点二 正多边形的性质 （1 ） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角

29、形； n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶 （2 ） 全部的正多边形都是轴对称图形,每个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都经过正 （3 ） 数时,这个正 n 边形也是中心对称图形,正 n 边形的中心就是对称中心； 正 n 边形的每一个内角等于 n 2 180 ,中心角和外角相等,等于 360 ； nn弧长和扇形面积 学问点一 弧长公式 l= n R 180 C=2 R ,所以 n的圆心角所对的弧长的运算公式 l= n2R= 360 n R ； 180 在半径为 R 的圆中, 360 的圆心角所对的弧长就是圆的周长 学问点二 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中, 360 的圆心角所

30、对的扇形面积就是圆的面积 S= R 2,所以圆心角为 n的扇形的面积为 S 扇形= 2 n R ； 360 比较扇形的弧长公式和面积公式发觉： S 扇形 = n R 2 360 n R 1R1lR,所以s扇1lR 180 222形 学问点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面,沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面开放,简洁得到圆锥的侧面开放图是一个扇形；设圆锥的母线长为 l,底面圆 的半径为 r,那么这个扇形的半径为 l,扇形的弧长为 2 r,因此圆锥的侧面积 s 圆锥12 r lrl ；圆锥的全面积为 2侧 -可编辑修改 - 第 13 页,共 16 页s 圆锥全 s 圆锥侧 s 底 rl r 2 ； 25.1 随机大事与概率 25.1.1 随机大事 学问点一 必定大事,不行能大事,随机大事 在确定条件下,有些大事必定会发生,这样的大事称为必定大事；相反地,有些大事必定不会发生,这样的大事称为不行能大事；在一 定条件下,可能发生也可能不会发生的大事称为随机大事； 必定大事和不行能大事是否会发生,是可以事先确定的,所以它们统称为确定性大事； 学问点二 大事发生的可能性的大小 必定