人教A版高中数学必修一第一章函数的奇偶性课件

1、函数的奇偶性生活中我们可以看到以下这些精美的图案这些图形在初中我们称之为 图形，这种图形有什么特点？沿着某一条直线折叠，直线两侧的图形能够完全重合轴对称再看下面几个图形这些图形在初中我们称之为 图形，这种图形有什么特点？绕着某一点旋转180能够与原图形完全重合中心对称对称美: 对称是指图形或物体相对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。相对我们而言对称美在生活中早已不是新鲜事物了，它是无处不在，无处不有的。对称的物体我们在数学课上也有一定程度上的接触。古希腊哲学家曾说过：“美的线条和其他一切美的形体都必须有对称的形式。”可能在我们睁开第一眼的时候，我们就已经发现对称美

2、了。我们在婴儿时代所钟爱的五颜六色的玩具，无不显示对称美的张力。我们的孩童时代，开始学会感知的同时，我们相信，我们第一次欣赏的真正意义上的美，就是潜意识里认识的简单的对称美。对称美赋予了世界更加美丽的事物，我们生活在对称美的世界里，尽情享受着美的熏陶。而人类对对称美也有很深刻的认识和研究。数学里也有对称美吗？ 观察：x-3-2-10123f(x)=x29410149x-3-2-10123f(x)=2-x-101210-1 我们看到，这两个函数的图象都关于y轴对称，那么，如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同。例如，对于

3、函数f(x)=x2有： f(-3)=9=f(3); f(-2)=4=f(2); f(-1)=1=f(1). f(-x)=(-x)2=x2=f(x).实际上，对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).这时我们称函数f(x)=x2为偶函数。偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数图象特征：偶函数图象关于y轴对称观察：观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？x-3-2-10123f(x)=xX-3-2-10123f(x)=-3 -2 -1

4、 0 1 2 3我们看到，两个函数的图象都关于原点对称，函数图象的这个特征，反映在函数解析式上就是：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数。例如，对于函数f(x)=x有：f(-3)=-3=-f(3);f(-2)=-2=-f(2);f(-1)=-1=-f(1). f(-x)=-x=-f(x)实际上，对于函数f(x)=x定义域R内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),这时我们称函数f(x)=x为奇函数。奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称判断函数奇偶性注

5、意事项：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质因此，判断函数f(x)的奇偶性的步骤：（1）先判断定

6、义域是否关于原点对称（2）再求f(-x),若f(-x)=f(x),则为偶函数； 若f(-x)=-f(x),则为奇函数典型例题分析演练解析：（1）f(x)的定义域为xx-1,不关于原点对称f(x)既不是奇函数，也不是偶函数（2） f(x)的定义域为R，关于原点对称f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x)f(x) 是奇函数(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称f(-x)=f(x)f(x) 是偶函数解析：（1）非奇非偶函数（2）偶函数（3）既是奇函数又是偶函数点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域

7、都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称解析：f(x)为偶函数，偶函数图象关于y轴对称解析：由于奇函数图象关于原点对称，在图象上我们可以画出f(x)在区间-5,0)的图象，如图所示结合图象可知：f(x)0的x的取值集合为x|-5x-2或2x0时，则-x0,代入x0时的解析式得：f(-x)=-x(1+x),因为f(x)是R上的奇函数,有f(-x)=-f(x),所以f(x)

8、=x(1+x)。而f(0)=0所以f(x)的解析式为：解析：当x(-,0)时，则-x (0,+),f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,因为f(x)为偶函数，f(-x)=f(x)所以，当x(-,0)时， f(x) =x2-x-1点评：(1)若f(x)是奇函数，f(0)=0；（2）已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可。小结与反思：本节课学习了函数的奇偶性的定义偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如