1第一节 线性变换的定义

1、高等代数1第一节 线性变换的定义第二节 线性变换的运算第三节 线性变换的矩阵第四节 特征值与特征向量第五节 对角矩阵第六节 线性变换的值域与核第七节 不变子空间第八节 若当(Jordan)标准形介绍第九节 最小多项式 线性变换 小结第七章 线性变换返回2第一节 线性变换的定义 上页下页返回 线性空间V到自身的映射称为V的一个变换. 上一章我们看到，数域P上任意一个n维线性空间都与Pn同构，因此，有限维线性空间的结构可以认为是完全清楚了. 线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象. 我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是要研究它们之间的各种各样的联系. 在线性空间中，

2、事物之间的联系就反映为线性空间的映射.3上页下页返回 这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是线性代数的一个主要研究对象. 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定数域P上的线性空间.4上页下页返回一、线性变换的定义定义1 线性空间V的一个变换A 称为线性变换，如果对于V中任意的元素, 和数域P中任意数k，都有 A(+)=A()+A() A(k)=kA(). (1) 以后我们一般用黑体大写拉丁字母A，B，表示V的线性变换，A()或A代表元素在变换A下的像.5上页下页返回 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说

3、成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容.6上页下页返回例1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转角，就是一个线性变换，用I表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是(x,y)，那么像I()的坐标，即旋转角之后的坐标(x,y)是按照公式来计算的. 同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 7上页下页返回例2 设是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它. 用公式表示就是这里(,),(,)表示内积. ()=例3 线性空间V中的恒等变换或称单位变

4、换E，即 E()=, (V)以及零变换0，即 0()=0, (V)都是线性变换.8上页下页返回例4 设V是数域P上的线性空间，k是数域P中的某个数，定义V的变换如下： k, (V)这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用k表示.显然当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换. 例5 在线性空间Px或者Pxn中，求微商是一个线性变换. 这个变换通常用D代表，即 D(f(x)=f (x) .9上页下页返回例6 定义在闭区间a, b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a, b )代表. 在这个空间中,变换 J(f(x)=是一线性变换.10上页下页返回二、线性变换的简单性质：1

5、. 设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-)=-A(). 这是因为 A(0)=A(0)=0A()=0 ， 不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质： A(-)=A(-1)=(-1)A()=-A().11上页下页返回2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 换句话说，如果是1,2,r的线性组合： =k11+k22+krr那么经过线性变换A之后，A()是A(1),A(2),A(r)同样的线性组合： A()=k1A(1)+k2A(2)+krA(r)又如果1,2,r之间有一线性关系式那么它们的像之间也有同样的线性关系式 k11+k22+krr=0 k1A(1)+k2A(2)+krA(r)=012上页下页返回 以上两点，根据定义不难验证，由此即得 但