高等数学专题复习

1、高等数学第一章函数与极限主要内容（一）函数极限的概念（二）函数极限的运算（三）函数连续的概念左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函 数 极 限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大含 用极限运算类型1.常规型:2.特殊型:分段点处极限:型:倒数求无穷小A0型:有界变量与无穷小量之积和式极限:先求和式再求极限分解因式消零因子用最高次或“最大”项除分子分母含(反)三角函数用洛必达法则洛必达法则定积分的定义洛必达法则函数连续概念点连续特殊：左连续右连续区间连续在区间上每一点都连续的函数初等函数连续性基本初等函数在定

2、义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数性质最大值和最小值定理有界性定理零点定理 介值定理MBCAmab例1 含 的 型:解拼、配、凑典型例题洛必达法则解例2解法讨论解:含 的 型:例3解:解法讨论常用等价无穷小例4解例5讨论:零点定理 例6证明讨论:由零点定理知,综上,主要内容（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算第二章 导数与微分导数的概念导数的定义几何意义可导与连续的关系函数可导一定连续，但连续不一定可导.01高阶导数的定义记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.导数的运算求导法则和、差、积、商的求导法则反函数的导数复合函数的求导法则初等函数的求导分解

3、成基本初等函数(复合),或常数与基本初等函数的和、差、积、商.基本初等函数或常数的导数特殊求导方法隐函数求导隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.对数求导法方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.参数方程所确定的函数的导数方法:微分可微的条件微分的求法求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.微分的几何意义微分形式的不变性近似计算的基本公式函数增量的近似值函数的近似值例1解典型例题例2解两边取对数例3解解主要内容重要理论-微分中值定理导数在求极限中的应用-洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形第三章 微分中值定理与导数的应用Rolle定理Lagran

4、ge中值定理Cauchy中值定理重要理论-微分中值定理方法导数在求极限中的应用-洛比达法则最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减应用导数研究讨论函数性质及作图形函数的性质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数极值的求法函数最值最值存在判别法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法,()典型例题重要理论微分中值定理导数在求极限中的应用-洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形恒等式.不等式的证明方程解的判定或证明求极限讨论函数性质及作图形不等式的证明技巧造辅助函数例1 证明多项式 在 上不可能有两个零点.分析:反证法 由罗尔定理矛盾设有

5、两个零点例2 设 ,证明多项式 在 内至少有一个零点 分析:造辅助函数技巧设想造辅助函数适合于中值定理 例3 设 在 上连续,在 内可导,且 ,证明存在一点 ,使 .分析:设想造辅助函数适合于中值定理造辅助函数技巧 例4 证明不等式分析:单调递增性造辅助函数技巧单调递增性例5解奇函数作图极大值拐点极小值主要内容第四章 不定积分不定积分的概念不定积分计算方法及类型基本要求：正确进行不定积分的计算不定积分的概念与性质不定积分的概念原函数或原函数存在定理连续函数一定有原函数.不定积分的定义基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函

6、数之和的情况）不定积分计算方法及类型直接积分法被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法换元积分法第一类换元法第二类换元法分部积分法分部积分公式特殊类型函数的积分法有理函数的积分将有理函数化为部分分式之和的积分.三角函数有理式的积分简单无理函数的积分解决方法作代换去掉根号.多项式；万能置换公式三角代换、倒代换、根式代换（凑微分法）令典型例题例1解单一化思想例2解单一化思想万能置换公式例3解单一化思想例4解例5解主要内容第五章 定积分及其应用定积分的概念 性质定积分计算方法及类型基本要求：正确进行定积分的计算定积分定积分的概念定积分的定义定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的

7、负值特殊和式的极限定积分的性质性质1性质2性质3性质4性质5推论（1）（2）性质6（估计值的大致范围）性质7（中值定理）积分中值公式定积分定积分计算 积分上限函数定义性质(导数)微积分基本公式(牛顿莱布尼茨公式)定积分的换元法分部积分法分部积分公式dtttfdxxfba=bajj)()()(积分上限函数典型例题设积分上限函数解:求 在 上的表达式，并讨论在 内的连续性。 在 内连续性。例1 例2作辅助函数分析：计算下列极限例3其中 连续分析：罗比塔法则例3 计算下列极限其中 连续分析：中值公式:两大作用：(1)曲边梯形的面积等于矩形的面积 (2)定积分式变为一般的函数关系式例4计算下列极限1 分析：中值公式:两大作用：(1)曲边梯形的面积等于矩形的面积 (2)定积分式变为一般的函数关系式2 分析：定积分的应用平面图形的面积直角坐标系极坐标系体积旋转体的体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积 例1求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值12345