新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

1、人教B选择性必修第一册全册练习题文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。第一章空间向量与立体几何.-2-1.1空间向量及其运算.-2-1.1.1空间向量及其运算.-2-1.1.2空间向量基本定理.-9-1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系.-17-1.2空间向量在立体几何中的应用.-25-1.2.1空间中的点、直线与空间向量.-25-1.2.2空间中的平面与空间向量.-32-1.2.3直线与平面的夹角.-44-1.2.4二面角.-53-1.2.5空间中的距离.-70-第一章综合测验.-81-第二章平面解析几何.-95-2.1坐标法.-

2、95-2.2直线及其方程.-102-2.2.1直线的倾斜角与斜率.-102-2.2.2直线的方程.-108-2.2.3两条直线的位置关系.-119-2.2.4点到直线的距离.-126-2.3圆及其方程.-133-2.3.1圆的标准方程.-133-2.3.2圆的一般方程.-140-2.3.3直线与圆的位置关系.-146-2.3.4圆与圆的位置关系.-154-2.4曲线与方程.-162-2.5椭圆及其方程.-168-2.5.1椭圆的标准方程.-168-2.5.2椭圆的几何性质.-176-2.6双曲线及其方程.-186-2.6.1双曲线的标准方程.-186-2.6.2双曲线的几何性质.-194-2.

3、7抛物线及其方程.-202-2.7.1抛物线的标准方程.-202-2.7.2抛物线的几何性质.-209-第二章综合训练.-217-第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是()A.向量与的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等答案A2.下列向量的运算结果为零向量的是()A.+B.+D.+C.+答案C3.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6C.3B.6D.-3答

4、案B解析由题意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则A.a2C.1a24答案C的值为()B.1a22D.3a24解析=1(+)122=1(+4)=1aa1+aa1=1a2.42245.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是()D.与A.与C.与答案BCDB.与=(+)(+)解析=+=-()2+()20.即=0,6.设e1,e2

5、是平面内不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D因为PA平面ABCD,所以PACD,又因为ADAB,ADPA,所以AD平面PAB,所以ADPB,所以=0,同理=0,因此B,C,D中的数量积均为0.故选B,C,D.三点共线,则k=.答案-87.化简:1(a+2b-3c)+5(2-1+2)-3(a-2b+c)=.2323答案5a+9b-7c6268.如图,平行六面体ABCD-ABCD中,AB=AD=1,AA=2,BAD=BAA=DAA=60,则AC的长为.解析|2=|+|2=2+2+2+2+29.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,求证:+=

6、4.证明左边=(+)+(+)答案112=12+12+22+211cos60+212cos60+212cos60=11,则|=11.=2+2=2(+)=4=右边,得证.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求的余弦值;(2)求证:1.=1+1=1+1=11.(1)解1,=+=+2122因为=0,1=0,1=0,所以11=12+21=1.2又|=|=5,所以cos=2.25+1=+1,=1+1=-1(+1),(2)证明1=2所以1=0,所以1.11.已知空间向量a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),则|a-b|的最小值为

7、()A.2B.3C.2D.4答案C解析a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),a-b=(2,1-t,t-1),则|a-b|=22+(1-)2+(-1)2=2(-1)2+4,当t=1时,|a-b|取最小值为2.故选C.12.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(是()+-2)()=0,eqoac(,则)ABCA.直角三角形C.钝角三角形答案BB.等腰三角形D.锐角三角形解析因为+-2=()+()=+,所以(+)(|)=|2-|2=0,所以|=|,即ABC是等腰三角形.13.如图,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于()=+,所以2=2+2+2+2+2A.

8、62答案C解析因为B.6C.12D.144+2=36+36+36+236cos60=144,所以PC=12.14.给出下列几个命题:方向相反的两个向量是相反向量;若|a|=|b|,则a=b或a=-b;对于任意向量a,b,必有|a+b|a|+|b|.其中所有真命题的序号为.答案解析对于,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故错误;对于,若|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有正确.15.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且=,若=,则实数的值为.答案1-22解析设|=a(a0),由题知,01.如图,=-+,=-+故=()=(-)(1-)|=|2-|cosA=

9、a2-1a2,2|=(-1)|2=(-1)a2,则a2-1a2=(-1)a2,2解得=1-2=1+2舍.22,16.如图,平面平面,ACAB,BDAB,且AB=4,AC=6,BD=8,用,表示=,|=.答案+229解析=+=+,2=(+)2=2+2+2-2+2-2=16+36+64=116,(1)化简:1+2;|=229.17.已知ABCD-ABCD是平行六面体,AA的中点为E,点F为DC上一点,且DF=2DC.323(2)设点M是底面ABCD的中心,点N是侧面BCCB对角线BC上的3分点(靠近C),4=+,试求,的值.设解(1)由AA的中点为E,得1=,又=,DF=2DC,因此2=2=.从而

10、1+2=+=.233323+3=1(+)+3(+)=1(-+(2)=+=124242)+3(+)=1+1+3,因此=1,=1,=3.4244244BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,1=c.18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且(1)试用a,b,c表示向量;(2)若BAC=90,BAA1=CAA1=60,AB=AC=AA1=1,求MN的长.=1+11+1解(1)=11+111=1(c-a)+a+1(b-a)3333=1a+1b+1c.333(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+2111+21

11、11=5,所22以|a+b+c|=5,所以|=1|a+b+c|=5,即MN=5.33319.如图所示,已知线段AB在平面内,线段AC,线段BDAB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与所成的角为30,求CD的长.解由AC,可知ACAB,过点D作DD1,D1为垂足,连接BD1,则DBD1为BD与所成的角,即DBD1=30,所以BDD1=60,因为AC,DD1,所以ACDD1,所以=60,所以=120.又=+,|所以|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2+2.因为BDAB,ACAB,所以=0,=0.|故|2=|2+|2+|2+2=242+72+242+22424cos120=625,所以|=

12、25,即CD的长是25.又=+,20.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使?解假设存在点Q(点Q在边BC上),使,连接AQ,因为PA平面ABCD,所以PAQD.所以=+=0.又=0,所以=0,所以.即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.2又AB=1,所以当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;2当1,即a2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;2当1,即a2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.2综上所述,当a2时,存在点Q,使;当0a0,得A为锐角;由0,得C为锐角;由0,

13、得B为锐角.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成()角的两条数轴,e1,e2分别是与答案Aeqoac(,所以)ABC为锐角三角形.2x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为反射坐标系,若=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量的反射坐标,记为=(x,y),在=2的反射坐标系3中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)C.abB.|a|=3D.ab答案AB解析a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b=(-1,3),故A正确;322|a|=(1+22)2=5+4cos2=3,故B正确;ab=(e1

14、+2e2)(2e1-e2)=21+3e1e2-22=-3,故C错误;D显然错误.6.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.答案4解析由题意知ab,=2+-2=,即所以1=3,232+-2=2,把代入得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.=-2,则当=-6时,b=(-2,-4,-6)=-2a,向量a,b反向,不符合题意,故舍去.=1,当=3时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-2,若a与b的夹角

15、为钝角,则实数t的取值范围5为.答案-,-6-6,525515解析由已知得ab=5(-2)+3t+1-2=3t-52,因为a与b的夹角为钝角,所以ab0,55即3t-520,所以t52.515若a与b的夹角为180,则存在0,使a=b(0),即(5,3,1)=-2,t,-2,55=-2,所以3=,解得1=-2,5=-5,2=-6,5故t的取值范围是-,-6-6,52.55158.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,求Q的坐标.解设,=则=-=(1-,2-,3-2),=-=(2-,1-,2-2),所以=(1-,2-,3-

16、2)(2-,1-,2-2)=2(32-8+5)=23-42-1.33当=4时,取得最小值,此时点Q的坐标为34,4,8333.9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1BC1,点O,O1分别是棱AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;,(2)若M为BC1的中点,试用向量1,;表示向量(3)求cos.A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则1=(3,1,h),1=(-3,1,h),因所以11=-3+1+h2=0,所以h=2.(2)=+=+11=+1(1+)=+1(1+解(1)设该三

17、棱柱的侧棱长为h,由题意得为AB1BC1,222)=1+1222.+11(3)由(1)可知1=(3,1,2),=(-3,1,0),所以1=-3+1=-2,|1|=6,|=2,所以cos=-2=-6.266=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则()10.(多选)已知点P是ABC所在的平面外一点,若A.APABC.BC=53B.APBPD.APBC解析=-2-2+4=0,即APAB,故A正确;=+=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),=3+6-3=60,AP与BP不答案AC垂直,故B不正确;=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),|=62+

18、12+(-4)2=53,故C=正确;假设=k,则-2=,无解,因此假设不成立,即AP与BC不平行,故D不正1=6,1=-4,确.11.已知点A(1,0,0),B(0,-1,1),若+与(O为坐标原点)的夹角为120,则的值为()A.6B.-6C.6D.6666答案B解析=(0,-1,1),+=(1,-,),cos120=(+)=22+12=-1,可得0,解得=-6.故选B.|+|22612.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则在上的投影为答案-4解析=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),.

19、,cos=0-20+042+(-5)242+(-3)2541,=-20=42+(-5)2-541=-4.14.已知A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),=1(),则点P解析=(6,3,-4),设P(a,b,c),|,在上的投影为|cos2013.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是.答案(1,-2,0)2的坐标是.答案(5,1,0)2则(a-2,b+1,c-2)=(3,3,-2),2a=5,b=1,c=0,P(5,1,0).2215.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3

20、,BC=1,PA=2,E为PD的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,求N点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,1,1,从而2则cos=(3,1,0),=(3,0,-2).|=327=37.的余弦值为37.1414由NE平面PAC可得,=0,2,1-)(3,1,0)=0,(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=-x,1,1-z,2=0,2即(-,1,1-)(0,0,2)=0,(-,1化简得-1=0,-3

21、+1=0,26=3,=1,6,0,1.即N点的坐标为316.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).,(1)求以向量所在有向线段为边的平行四边形的面积;,(2)若|a|=3,且向量a分别与向量垂直,求向量a.解(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),设为的夹角,则cos=-2+3+6|4+1+91+9+4=1,sin=3.S=|sin=73.22形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).,以为边的平行四边形面积为73.(2)设a=(x,y,z),-2-+3=0,由题意,得-3+2=0,2+2+2=3.=1,=-1,解得=1,或=-1,=1

22、=-1.a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边算:(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算()的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算()的绝(1)证明=(2,-1,-4)(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,(1)求证:PA平面ABCD;(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运对值的几何意义.,即APAB.同理,=(-1,2,-1)(4,2,0)=-4+4+0=0,(2)解|

23、()|=48,即PAAD.又AB平面ABCD,AD平面ABCD,ABAD=A,PA平面ABCD.105,又cos=3|=21,|=25,|=6,V=1|sin|=16,可得|()|=3VP-ABCD.猜测:|()|在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(2)求;3(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AMBN,建立空间直角坐标系.(1)求AA1的长;(3)对于n个向量a1,a2,an,如果存在不全为零的n个实数1,2,n,使得1a1+2a2+n

24、an=0成立,则这n个向量a1,a2,an叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断,是否线性相关,并说明理由.解(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AA1的长为a,则B(4,4,0),N(2,2,a),=(-2,-2,a),A(4,0,0),M(2,4,),=(-2,4,),由22,得=0,即(2)=(-2,-2,22),1=(-4,0,22),cos=1=6,|=arccos6.a=22,即AA1=22.33(3)由=(-2,4,2),=(-2,-2,22),=(0,-4,0),1(-2,4,2)+2(-2,-2,22)+3(0,-

25、4,0)=(0,0,0),得1=2=3=0,则,线性无关.1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(,4,6),若l1l2,则等于()A.1B.2C.3D.4解析由l1l2,得v1v2,得1=2=3,故=2.答案B462.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是()A.0,C.(0,2B.(0,)D.(0,)2答案C解析根据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是(0,.23.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BDB.ACC.A1DD

26、.A1A答案AC(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E1,1=1,-1,1,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),1=(-1,0,-1),1=(0,0,-1),解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则,1,2222=(-1)1+(-1)-1+01=0,221=-10,=-10,12=-30,CEBD.4.直线l1与l2的方向向量分别为a1,a2,若a1a2,则l1与l2的位置关系为.答案垂直5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是A

27、C的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=EO.求异面直线DE与CD1所成角的余弦值.为单位正交基底建立空间直角坐标系解不妨设正方体的棱长为1,以,Dxyz,如图所示,1则A(1,0,0),O1,122,0,C(0,1,0),D1(0,0,1),E1,1,1442,于是,1=(0,-1,1),且|=6,|1|=2,=1,1,1则cos=3.所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为3.4424161|66.已知圆柱的底面半径为3,高为4,A,B两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB与轴OO之间的距离.解如图,直线AB与轴OO之间的距离等于轴OO与平面ABC的距离,由图形可知,直线A

28、B与轴OO之间的距离等于点O到BC的距离,AB=5,AC=4,且ACBC,BC=52-42=3,eqoac(,)OCB为等边三角形,异面直线AB与轴OO之间的距离为33.27.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若两直线l1l2,则x,y的值分别是()A.6和-10C.-6和-10B.-6和10D.6和10解析由两直线l1l2,得两向量a,b平行,即2=-3=5,所以x,y的值分别是6和-10.答案A-48.如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=90,则异面直线SM与BN

29、所成角的余弦值为()A.105C.-1010答案AB.-105D.1010解析不妨设SA=SB=SC=1,以S为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Sxyz,则相关各点坐标为B(0,1,0),S(0,0,0),M因为=1,1,0,=0,-1,1,222所以|=2,|=5,=-1,2221,122,0,N0,0,1.2cos=|=-10,5因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为10.59.如图,在三棱锥S-ABC中,SA平面ABC,ABBC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB与AC之间的距离为.答案33解析构造如图所示正方体.取AB的

30、中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于点F,由平面几何知识可知,OF=1OM,OE=1OD,所以EF1DM.又因为ACBD,AC333BM,所以AC平面BDM,ACDM,因为EF1DM,所以ACEF.3同理可证SBDM,所以SBEF.所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段.所以EF=1DM=3.3310.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.答案解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成6

31、0角,DE与MN为异面垂直.11.如图,在四面体ABOC中,OCOA,OCOB,AOB=120,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQOA.证明如图,连接OP,OQ,PQ,取O为坐标原点,过点O作ODOA,以OA,OD,OC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).则A(1,0,0),C(0,0,1),B-1,3,0.22P为AC中点,P1,0,1.22=-3,3,0,又由已知,可得=1=-1,3,0.又=+22326=1,3,0,26=0,3,-1.62,=0,即PQOA.12.如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A

32、1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.(1)求cos的值;(2)求证:BN平面C1MN.=10+(-1)1+22=3,|=6,|=5,cos=11=30.|1|1|M(1,1,2),1=(1,1,0),1=(1,0,-1),=(1,-1,1),1=1+1(-1)+10=0,=11+0(-1)+(-1)1=0,值即可.设A1M=x,则MP=2x,A1P=2x.所以PB1=a-2x,PN=a-2xsin45=1(2a-x),MN=2+2当x=2a时,MNmin=3a.因此A1B与D1B1的距离为3a.解以C为原点,CA,CB,CC

33、1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Cxyz.(1)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),1=(1,-1,2),1=(0,1,2),111110(2)证明:依题意得C1(0,0,2),N(1,0,1),2222122111,BNC1M,BNC1N,且C1M平面C1MN,C1N平面C1MN,C1MC1N=C1.BN平面C1MN.13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求A1B与D1B1的距离.解在A1B上任取一点M,作MPA1B1,PNB1D1,则MNB1D1,只要求出MN的最小22222=23(-2)2+22.22333331

34、.2.2空间中的平面与空间向量1.若a=(1,2,3)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面的法向量的是()A.(0,1,2)C.(-1,-2,3)B.(3,6,9)D.(3,6,8)答案B解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.设平面的法向量为(1,-2,),平面的法向量为(2,4),若,则+=()A.2B.4C.-2D.-4C.与夹角的余弦值是55答案C解析,1=-2=,解得=2,=-4,+=-2.243.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法不正确的是()A.与是共线向量B.与同向的单位向量是(25,-5,0)5511D.

35、平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)答案ABC解析对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),所以不存在实数,使得=,则与不是共线向量,所以A错误;对于C,向量=(2,1,0),=(-3,1,1),所以cos=-55,所以C错则令x=1,则平面ABC的一个法向量为n=(1,-2,5),所以-+2+=0,对于B,因为=(2,1,0),所以与同向的单位向量为(25,5,0),所以B错误;55|11误;对于D,设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),=(2,1,0),=(-1,2,1),所以=0,2+=0,=0,D正确.4.若平面,的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2

36、),并且,则x的值为()A.10C.12B.-10D.-12答案B解析因为,所以它们的法向量也互相垂直,所以ab=(-1,2,4)(x,-1,-2)=0,解得x=-10.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是()A.直线ACC.直线A1D1答案BB.直线B1D1D.直线A1A解析如图,连接AC,B1D1.则点E在B1D1上,点C在平面A1B1C1D1内的射影是C1,CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E,C1EB1D1,由三垂线定理可得,CEB1D1;在四边形AA1C1C中,C1CAC,易得AC不可能和CE垂直;A1D1BC,A1AC1

37、C,而BC,C1C明显与CE不垂直,A1D1,A1A不可能和CE垂直.综上,选B.6.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面平行,则z=.答案-9解析由题知,uv,uv=3+6+z=0,z=-9.7.若=+(,R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.答案AB平面CDE或AB平面CDE8.若A0,2,19,B1,-1,5,C-2,1,5是平面内三点,设平面的法向量为a=(x,y,z),888则xyz=.答案23(-4)解析由已知得,=1,-3,-7,4=-2,-1,-7,4a是平面的一个法向量,a=0,a=0,4即-3-7=0,解得-2-

38、7=0,4=2,3=-4,3xyz=2yy-4y=23(-4).339.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:解析DD1AA1,1=(0,0,1),故正确;BC1AD1,1=(0,1,1),故正确;直线AD平面ABB1A1,=(0,1,0),故正确;点C1的坐标为(1,1,1),1与平面B1CD不垂直,直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号)答案故错误.10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底

39、面是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=1,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面2SBA的一个法向量.解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,2,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则A(0,0,0),D1,1,0,=-1,0,1,则=122向量=,0,0是平面SBA的一个法向量.则即12设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,=1+=0,=-1,22=-1+=0,=1.22取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).11.如图所示,

40、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.=11=11111证法一22=1(111)=11,1,MN平面A1BD.标系,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1),N(1,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),22证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐22于是2,0,2=(11),1=(1,0,1),=(1,1,0),则n1=0,且n=0,得+=0,设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),+=0.取x=1,得y=-1,z=-1.n=(1,-1,-1).又n=

41、(1,0,1)(1,-1,-1)=0,22n,且MN平面A1BD.MN平面A1BD.证法三1121121=11=1(2211+)-1(1+)=1221122+1111221+2=1+11()+11+1=11.=12222可以用1与线性表示,即与1,是共面向量,平面A1BD,即MN平面A1BD.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)AECD;(2)PD平面ABE.证明(1)AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).ABC=60,eqoac(,)

42、ABC为正三角形.C(1,3,0),22E(1,3,1),A(0,0,0).442设D(0,y,0),=22221,3,0,=-1,y-3,0.由ACCD,得=0,即y=23,则D(0,23,0),33=(-1,3,0).又26=(1,3,1),442=-11+33=0,2464,即AECD.(2)证法一:=(1,0,0),=(1,3,1),442设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),=0,则1+3+1=0,442令y=2,则z=-3,n=(0,2,-3).=(0,23,-1),显然=3n.33n,平面ABE,即PD平面ABE.证法二:P(0,0,1),=(0,23,-1).3又=32

43、3+1(-1)=0,432,即PDAE.又=(1,0,0),=0,PDAB.又ABAE=A,PD平面ABE.13.已知平面内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2C.1,2B.1,-2D.-1,-2解得答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面的法向量,=0,3+1=0,得=0,即+5-9=0,=-1,=2.,14.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面内,平面内两共点向量,下列关系中一定

44、能表示l的是()A.a=C.a=p+答案DB.a=kD.以上均不能解析A,B,C中均能推出l,或l,但不能确定一定能表示为l.15.如图,AO平面,垂足为点O,BC平面,BCOB,若ABO=45,COB=30,则BAC的余弦值为()7C.6A.7B.4276D.6答案B解析AO平面,BC平面,BCOB,由三垂线定理可得,ABBC,设OB=2.ABO=45,COB=30,AO=2,AB=22,BC=23,3在RtABC中,AB=22,BC=23,ABC=90,AC=(22)2+(23)2=221.333cosBAC=22221=42.故选B.7A1E=2A1D,AF=1AC,则以下结论不正确的有

45、()316.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且33A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面答案ACD解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,0,1,F332,1331=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=1,1,-1333,1=(-1,-1,1),31=-11,=0,=0,从而EF

46、BD1,EFA1D,EFAC.17.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的比值为()A.12C.31答案BB.11D.212,1,0,P(0,0,a).解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E1设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),=2,1,-a.1因为BFPE,所以=0,解得y=1,即点F的坐标为0,1,0,22所以F为AD的中点,所以AFFD=11.18.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,

47、AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的一个法向量是.D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),1=(1,4,-3),1=(0,2,-3),设平面D1EF的一个法向量是答案(-6,3,2)解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则=2-3=0,n=(x,y,z),则1=+4-3=0,1取y=3,得n=(-6,3,2),则平面D1EF的一个

48、法向量是(-6,3,2).19.eqoac(,在)ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为.答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)解析据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z),n与平面ABC垂直,=0,=0,即+2=0,可得=.-+2=0,=-,24|n|=21,2+2+2=21,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.如图所示,ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N

49、,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN平面PAD;(2)平面QMN平面PAD.证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,2,d,0,所以M,222,N,0,0,Q2所以=0,-,-.22因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),且m=0,即m.又MN不在平面PAD内,故MN平面PAD.(2)因为=(0,-d,0),所以m=0,即m,又QN不在平面PAD内,所以QN平面PAD.又因为MNQN=N,所以平面MNQ平面

50、PAD.21.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=2.证明:A1C平面BB1D1D.证明由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,AB=AA1=2,OA=OB=OA1=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1),1=0,11=0,111A1CBD,A1CBB1,又BDBB1=B,A1C平面BB1D1D.22.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平

51、面直角坐标系中,过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为()A.2x-3y+z+5=0B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0D.2x+3y-z-9=0答案B解析通过类比,易得点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.23.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.(1)求证:平面B1FC1平面ADE;

52、(2)试在棱DC上求一点M,使D1M平面ADE.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则=(0,2,1),=(2,0,0),1=(0,2,1),11=(2,0,0),=1,=11.则A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).可得AD平面FB1C1,AE平面FB1C1.又ADAE=A,平面ADE平面FB1C1.(2)解M应为DC的中点.M(0,1,0),D1(0,0,2),则1=(0,1,-2),=(2,2,1),=(-2,0,0).1=0,1=0,D1MDE,D1MAD.AD,DE平面ADE,ADDE=

53、D,D1M平面ADE.1.2.3直线与平面的夹角1.设直线l与平面相交,且l的方向向量为a,的法向量为n,若=2,则l与3的夹角为()A.2B.C.D.53366答案C解析线面角的范围是0,.2=2,l与法向量所在直线所成角为,33l与的夹角为.62.直线l的方向向量s=(1,1,2),平面的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面的夹角的余弦值为()15C.-210A.-1515B.1515D.21015答案D解析设直线l与平面的夹角为(0),则2sin=|cos|=|111(-3)2012122212(-3)202|=2610=15,cos=1-sin2=210.1515直线l与平面的夹

54、角的余弦值为210.153.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.B.63答案BC.2D.56可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而1=(0,-1,1),cos=12=3,4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为9,底面是边长为3的正三角形.解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则=(1,1,0),=0,1,1,2设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),n=0,n=0,232=30.直线A1B与平面BDE的夹角为60.4若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC的夹角的大小为()A.512

55、B.3C.4D.6答案B解析如图所示,由棱柱体积为9,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设4P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12(3)2=2.故PAO=,即PA与平面ABC的夹角为.335.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t0),=(1,3,6),所以cos=,因为0,所以sin=1-(3)2=7.答案74|34|4|46.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.答案33=(0,0,1),则sin=|

56、cos|解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为1=(1,1,1).又1=|11|=111|31=3.37.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.答案104C1(0,1,1),A(3,1,0),1=(-3,1,1),解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则2222又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),sin=|cos|=|1|=6,|1|设AC1与平面BB1C1C的夹角为.4cos=1-sin2=10.48.如图所示,在

57、棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;(2)求直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值.解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,0,21=(a,a,-a),=a,-,0,2cos=1|1|=15,15故A1C与DE所成角的余弦值为15.15(2)连接DB1,ADE=ADF,AD在平面B1EDF内的射影在EDF的平分线上.又B1EDF为菱形,DB1为EDF的平分线,得DA=(0,-a,0),D

58、B1=(a,-a,a),故直线AD与平面B1EDF所成的角为ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),cos=DADB1|DA|DB1|=3,3故直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值为3.又直线与平面所成角的范围是0,239.如图,已知四棱锥P-ABCDeqoac(,)PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC的夹角的正弦值.解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF=1AD,2又因为BCAD,BC

59、=1AD,2所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF.BF平面PAB,CE平面PAB,因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQCE.eqoac(,由)PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.eqoac

60、(,在)PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,eqoac(,在)PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=1,4在RtMQH中,QH=1,MQ=2,4所以sinQMH=2.8所以,直线CE与平面PBC的夹角的正弦值是2.810.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面的法向量,则直线l与平面的夹角为()A.30答案AB.45C.60D.9041=1,故向量夹角为60,则直线l与平面所成的角为解析cos=|90-60=30.11.22如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1BC,且A1C与底面成45角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最