【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章2.2.1 椭圆及其标准方程讲解与例题 新人教

1、 word2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义活动与探究 1已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|P A|PB|2a，其中a为大于 0 的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件迁移与应用1下列说法中正确的是()A已知F(4,0)，F(4,0)，到F，F 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆1212B已知F(4,0)，F(4,0)，到F，F 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆1212C到F(4,0)，F(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F，F 的距离之和的点的轨1

2、212迹是椭圆D到F(4,0)，F(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆12x y222椭圆 1 上一点 P 到其一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离为25 16_由椭圆的定义可知，点的集合PM|MF|MF|2a(其中|FF|2c)表示的轨迹有121 2三种情况：当ac时，轨迹为椭圆；当ac时，轨迹为线段FF；当ac时，轨迹不存12在在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系二、椭圆的标准方程活动与探究 2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)

3、，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为 26；(3)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 3，2)和B(2 3，1)两点迁移与应用1已知椭圆焦点在x轴上，且a4，c2，则椭圆方程为()x yx y2A 122B 1216 4x y16 12x y222C 12D 14 1212 43 4 Q 2已知椭圆过点P ，4 和点 ，3 ，求此椭圆的标准方程55求椭圆标准方程的基本步骤是先定型，后计算所谓定型，就是确定方程的类型，即确定椭圆的焦点所在的坐标轴，从而可设出椭圆的标准方程；计算就是求解a 与 b 的值另22外采取设椭圆方程的一般形式的方法，可以避免讨论，当已知椭圆经过的两个点的坐标

4、时常采用这种方法三、焦点三角形活动与探究 3x 4y22已知P为椭圆 1 上一点，F，F 是椭圆的焦点，FPF60，求F PF 的面25 75121212积迁移与应用1 / 5 wordx2y2 11椭圆的焦点为 F ，F ，点 P 在椭圆上若|PF |=4，则|PF |=_，9 21212F PF 的大小为_12x y222已知椭圆的方程为 1，椭圆上有一点 P 满足PF F 90(如图)求PF F4 3121 2的面积1椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F ，F 构成的F PF 称为焦点三角形，解关于椭圆中121的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识22焦

5、点三角形的周长等于 2a2c答案：课前预习导学【预习导引】1距离的和 焦点 焦距预习交流 1：提示：在椭圆定义中，要求常数应该大于两定点F ，F 之间的距离，这是12一个非常重要的条件如果常数等于|F F |，动点的轨迹应是一条线段；如果常数小于|F F |，121 2其轨迹将不存在在应用椭圆定义判断动点轨迹时务必注意这一隐含条件y x222 1 (c,0)a b22x y22预习交流 2：提示：给出一个椭圆方程 1(其中 m0，n0，mn)，判断该椭圆m n焦点所在的坐标轴时，可用如下方法：椭圆的焦点在 x 轴上坐标轴的重要方法课堂合作探究mn，这是判断椭圆焦点所在mn；椭圆的焦点在 y 轴

6、上【问题导学】活动与探究 1：思路分析：利用椭圆定义，结合充要条件定义作出判断B 解析：若 P 点轨迹是椭圆，则一定有|PA|PB|2a(a0，为常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，为常数)，当 2a|AB|时，P 点轨迹是椭圆；当2a|AB|时，P 点轨迹是线段 AB；当 2a|AB|时，P 点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件迁移与应用：1C 解析：A 中常数 8|F F |，B 中常数 6|F F |，所以轨迹都不是121 2椭圆；可计算 C 中常数等于 4 10|F F |，符合椭圆定义，轨迹是椭圆；D 中点的轨迹应该12是一条直

7、线，故选 C27 解析：设 F ，F 为椭圆的两焦点，且 a 25，即 a5212又|PF |PF |2a10，设|PF |3121|PF |7，即 P 到另一焦点的距离为 72活动与探究 2：解：(1)椭圆的焦点在 x 轴上，2 / 5 x y22设其标准方程为 1(ab0)a b222a (53) 0 (53) 0 10,2c6，2222a5，c3b a c 16222x y22所求椭圆方程为 125 16y x22(2)焦点在 y 轴上，设其标准方程为 1(ab0)a b222a26,2c10，a13，c5b a c 144222y2x2所求椭圆方程为1169 144x y22(3)方法

8、一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)，a b22( 3) (2)221，a2b2a15，5. 2依题意，有解得b(2 3) 1 222 1，ab22x y22所求椭圆的方程为 115 5y x22当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)a b22(2) ( 3)221，a2b2a5，15. 2依题意，有解得b1 (2 3) 2221，ab22ab，不合题意，x y22所求椭圆的方程为 115 5方法二：设所求椭圆方程为 Ax By 1(A0，B0 且 AB)，依题意，得221A ，3A4B1，12AB1， 15解得1B .5x y22所求标准方程为 115

9、5迁移与应用：1B 解析：依题意 a 16，b a c 16412，又焦点在 x 轴上，2222x y22所以椭圆方程为 116 129A16B1，A9B1，252解：设所求椭圆方程为 Ax By 1(A0，B0，AB)，则有2216253 / 5 wordA1，解得1B . 25y2故此椭圆的标准方程为x 12251活动与探究 3：思路分析：由 S |PF|PF|sinFPF 可知，只要求得2F PF212121|PF|PF|即可，而|FF|是已知的，可结合余弦定理求得|PF|PF|121212解：如图所示，在PFF 中，12|FF| |PF| |PF| 2|PF|PF|cos 60，222

10、121212即 25|PF| |PF| |PF|PF|221212由椭圆的定义得10|PF|PF|，12即 100|PF| |PF| 2|PF|PF|221212由得|PF|PF|25，12125 34所以S |PF|PF|sin 602F PF2121迁移与应用：12 120 解析：如题图，|PF|PF|2a6，12|PF|6|PF|2在FPF 中，2112|PF| |PF| |FF|222cosFPF121 22|PF|PF|1212164282421 ，2FPF120122解：由已知得a2，b 3，所以c ab 43122从而|FF|2c212在PFF 中，由勾股定理可得12|PF| |

11、PF| |FF|，222211 2即|PF| |PF| 42221又由椭圆定义知|PF|PF|224，12所以|PF|4|PF|213从而有(4|PF|) |PF| 4解得|PF| 22211111 33所以PFF 的面积S |PF|FF| 2 22 221211 2当堂检测1已知定点F，F，且|FF|8，动点P满足|PF|PF|8，则动点P的轨迹是()121212A椭圆C直线B圆D线段答案：D 解析：由于|PF|PF|FF|，所以动点P的轨迹不是椭圆，而是线段FF12121 24 / 5 wordx2y2 =12若P是以F，F 为焦点的椭圆上一点，则三角形PF F 的周长等于(1 2)25

12、912A16B18C20D不确定25 9答案：B 解析：依题意 a5，c|FF|2a2c108184，所以PFF 的周长是|PF|PF|121212x2y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值 X 围是(3已知方程)25 m m 9A9m25C16m25B8m25Dm825 m 0,m 9 0,答案：解析：由于椭圆的焦点在y轴上，所以m 9 25 m,解得 8m25x2y2 =14已知F，F 为椭圆的两个焦点，过F 的直线交椭圆于A，B两点，若|F A|25 91212|FB|12，则|AB|_2答案：8 解析：由椭圆的定义得|AF|AF|2a10，12|BF|BF|2a10，12|AF|AF|BF|BF|201212又|FA|F B|12，|AB|AF|BF|85一个动圆与已知圆Q：(x3) y1 外切，与圆Q：(x3) y81 内切，试求2211222212这个动圆圆心的轨迹方程答案：解：由已知两定圆的圆心和半径分别为Q(