目标管理-教学目标掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质 精品

1、空间元素的位置关系(2)垂直【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质定理，并能运用这些知识解决与垂直有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。【教学过程】一.课前预习(05天津)设a、B、丫为平面，m、n、l为直线，则m丄0的一个充分条件是()。(A)a丄卩,ac0=l,m丄l(B)any=m,a丄丫，卩丄Y(C)a丄y,0丄y,m丄a(D)n丄a,n丄0,m丄a(05浙江)设a、0为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且lua，mu0,有如下的两个命题：若a0,贝Vlm；若l丄m,则a丄0.那么()。(A

2、)是真命题，是假命题(B)是假命题，是真命题(C)都是真命题(D)都是假命题(05重庆)对于不重合的两个平面a与0，给定下列条件：存在平面y,使得a、0都垂直于Y；存在平面Y，使得a、0都平行于y；a内有不共线的三点到0的距离相等；存在异面直线1、m,使得l/a，l/0，m/a，m/0，其中，可以判定a与0平行的条件有()。_A.1个，B.2个，C.3个，D.4个如图，三棱锥S-ABC的底面是等腰直角三角形ABC，ZACB=90，S在以AB为直径的半圆上移动，当半平面与底面垂直时，对于棱SC而言下列结论正确的是()A有最大值，无最小值；B有最小值，无最大值；C无最大值，也无最小值；D是一个定值

3、正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为自变量x,则相邻两侧面所成二面角的余弦值f(x)与x之间的函数解析式是()A.f(x)=兰Bf(x)=乂三C.f(x)=兰D.f(x)=3xx2+2x2x2-23设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，那么下列条件中，能保证“x丄z,且y丄2,则丫”为真命题的是（填上所有正确的代号）。（l）x为直线，y,z为平面；（2）x,y,z均为平面；（3）x,y为直线，z为平面；（4）x,y为平面，z为直线；（5）x,y,z均为直线。二.梳理知识直线与平面的垂直是联系直线与直线垂直，平面与平面垂直的纽带，更是求有关角，距离的重要方法。重要判定定理（1

4、）一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直（线面垂直判定定理）（2）平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这个平面互相垂直（面面垂直判定定理）（3）三垂线定理及其逆定理三典型例题选讲CBC1例1.（05江西）如图，在长方体ABCDABCD,中，AD=AA=1,AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：DEXAD；1（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD的距离；Ai（3）AE等于何值时，二面角DECD的大小为扌。E例2.（05浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB丄BC,AB=BC=kPA，点0、D分别是AC、PC的中点，0P丄底面ABC.当匸2时，求直线pa与平面pbc所

5、成角的大小；（II）当k取何值时，0在平面PBC内的射影恰好PBC的重心?例3.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角PEAB形，且侧面PAD丄底面ABCD,E为侧棱PD的中点。求证：PB/平面EAC；(2)求证：AE丄平面PCD；若AD二AB，试求二面角APCD的正切值；AD当AD为何值时，PB丄AC?AB备用题C例.(05湖北)如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为P矩形，侧棱PA丄底面ABCD，AB3,BC=1，PA=2，E为PD的中点.求直线AC与PB所成角的余弦值；在侧面PAB内找一点N,使NE丄面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。四、巩固练习1AC如图正方体A

6、BCDABCD,在它的12条棱及12条面对角线所在直线中，选取若干条直线确定平面。在所有这些平面中：SBC且与BD平行的平面有且只有一个；过BC且与BD垂直的平面有且只有一个；BD与SBC的平面所成的角等于30.上述命题中是真命题的个数为()(D)3个N分别是侧棱PB、PCA则此三棱锥的侧棱与底(ABc0(A)0个(B)1个(C)2个如图，在正三棱锥PABC中，M、的中点，若截面AMN丄侧面PBC，面所成角的正切值是如图P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO丄平面ABCD。当四边形ABCD具有条件时，点P到四边形四条边的距离相等。(注：填上你认为正确的一种条件即可。不必

7、考虑所有可能的情况。)已知m、l是异面直线，那么：必存在平面a过m且与l平行；必存在平面B过m且与l垂直；必存在平面丫与m、l都垂直；必存在平面n与m、l距离都相等，其中正确的结论为()D.A.B.C.如图在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳AM、BN,在MN处栓长为60cm的木条，MN平行于横梁，木条绕过MN中点0的铅垂线旋转60,则木条比原来升高了()A.10cmB.5cmC.103cmD.5朽cm(05湖南)如图1,已知ABCD是上.下底边长分别为2和6,高为抒的等腰梯形,(II)求二面角0AC01cA将它沿对称轴00折成直二面角，如图2.(I)证明：AC丄B0；的大小.1(0

8、5福建)如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,F为CE上的点，且BF丄平面ACE.(I)求证AE丄平面BCE；(II)求二面角BACE的大小；(III)求点D到平面ACE的距离.(05辽宁)已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点ABC,APEF都是正三角形，PF丄AB.(I)证明PC丄平面PAB；求二面角PABC的平面角的余弦值;若点P、A、B、C在一个表面积为12n的球面上，求ABC的边长。(05全国I)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC,1ZDAB=90,PA丄底面ABCD，且PA二AD二DC二AB=1,M是PB的2中点。(I)证

9、明：面PAD丄面PCD；II)求AC与PB所成的角；求面AMC与面BMC所成二面角的大小。D!C-MBCi如图，M、N、P分别是正方体AC的棱AB、BC、DD上的点，11若BM=叭，求证：无证点P在DD上如何移动总有BP丄MN；MANC1棱DD上是否存在这样的点P,使得平面APC丄平面ACC,证明你的结论。1参考答案一.课前预习：1D2D3B4D5C6三典型例题选讲例1、解法(一)(1)2)证明：TAE丄平面AADD，ADAD，AADDE111在厶ACD中，AC二CD二5,11111设点E到面ACD的距离为h，1AD二飞：2,i故SAADjC-2巨5-2-2,而S222AACE=2ae-BC=

10、2=-S-DD=-S-h,3AAEC13AAD-C11-377_1.x1xh,h.223a贝VDH丄CE,1VD1-AEC(3)过D作DH丄CE于H，连DH、DE,.ZDHD为二面角DECD的平面角.设AE=x，则BE=211x1CEC1兀，=,DH=1.4/在RtAADE中,DE=1+x2在RtADHE中,EH=x,在RtADDH中,ADHD11在RtNDHC中CH=込,在RtACBE中CEx2-4x+5.:.x+Y3、；X2-4x+5nX2-AE2-3时,二面角D-EC-D的大小为.x,y,z轴，建立空间直角坐标0)，A(1，0，0)C(0，2，解法(二)：以D为坐标原点，直线DA，DC，

11、DD分别为系，设AE=x，则A(1，0，1)，D(0，0，1)，E(1，x,110)1)2)因为DA,DE=(1,0,1),(1,x,-1)=0,所以DA丄DE.1111因为E为AB的中点，则E(1,1,0),从而DE(1,1,-1),AC(-1,2,0)，AD(-1,0,1)，11设平面ACD的法向量为n(a,b,c)，则n-AC二0,D1/C1/D10/cyIjTV4k：，BAi一a+2b0Ia2b一也即，得，从而n(2,1,2)，所以点E到平面ADC的距离为I-a+c0Iac1h-LDEinlInI设平面DEC的法向量n=(a,b,c)，：.CE二(1,x-2,0),DC二(0,2,-1

12、),DD二(0,0,1),111由r-DC=0,n-CE=0,2b一c=0nva+b(x一2)=0.令b=1,c=2,a=2x,.n=(2一x丄2).TOC o 1-5 h z兀1n-DD1v22”n面PDC丄面PAD”CDu面PDC面ABCD丄面PAD丿-X正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AE丄PD,又面PDC面PADPD，所以，AE丄平面PCD。(3)在PC上取点M使得PM-PC。4由于正三角形PAD及矩形ABCD,且AD二AB，所以PDADABDC所以，在等腰直角三角形DPC中，EM丄PC，连接AM，因为AE丄平面PCD,所以，AM丄PC。所以，ZAME为二面角A-PC-D的平面

13、角。7在RtAAEM中,tanZAMEAEME42_W226o即二面角APCD的正切值为76o4）设N为AD中点，连接PN,则PN丄AD。又面PAD丄底面ABCD，所以，PN丄底面ABCD。所以，NB为PB在面ABCD上的射影。要使PB丄AC，需且只需NB丄AC13V4丿13丿在矩形ABCD中，设AD=1,AB=x则（-212丿解之得：x吟。所以当AB虫时，PB丄AC。证法二：（按解法一相应步骤给分）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为APAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PN丄AD,QN丄AD，又因为侧面PAD丄底面ABCD,所以，PN丄面ABCD,QN丄面PAD,以N为坐标原点，N

14、A、NQ、NP所在直线分别为x,y,z轴如图建、则P0,0,-,0A(1,0,012Cf1、=,a,0，D-2,0,0V2丿V2丿立空间直角坐标系。设AD=1,AB=aE-1,0,(2)AE二1小怎、v丁丿AE-PD=I,PD二DC=(0,a,0),AE-DC二0所以，AE丄PD,AE丄DC。又PDDC=D,PD,DCu面PDC，所以，AE丄平面PCD。n（3）当a=1时，由（2）可知：AE=是平面PDC的法向量;设平面PAC的法向量为n=（x,y,z），则n丄PA,n丄AC，即111+X2Z=0，取x=1，可得:y=1,z占。所以，i=f1丄迢-x+y=0一3I3丿向量AE与n所成角0的余弦

15、值为:1cos031+n-AE44=n-AC羽題1X2羽所以，又由图可知，二面角A-PC-D的平面角为锐角，所以，二面角A-PC-D的平面角就是向量ae与n所成角0的补角。其正切值等于。i(4)PB=|丄,a,一2AC=(-1,a,0)，令PB-AC=0，得a2-=0，所以,2所以，当竺二迈时，PB丄AC。AB一,备用题解法一：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），B（忑，0，0），C（J3，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，-，2），从而AC=（羽，1，0），PB=（73，0，2-2)，设AC与PB的夹角为0，贝Ucos

16、0=ACPB=3_，.ac与pb所IACI-1PBI2J714成角的余弦值为（II）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则ME_(x,1,1z)，由NE丄面PAC可得：OAP_0,2INE-AC_0,即N点的坐标为（遇，0,1）,从而N点到AB、AP的距离分别为1,週*(x,1z)(0,0,2)_0,2(x,1z)-(3,1,0)_0,2z1_0,一袒x+2_0.J3x_6z_1.66解法二：（I）设ACnBD=O，连OE，贝UOE/PB,ZEOA即为AC与PB所成的角或其补角._3C7=14175在厶AOE中，AO=1,OE=-PB二二,AE=-PD二三，cosEOA=4

17、42222即AC与PB所成角的余弦值为主17,14兀（II）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则ZADF=6连PF,则在RtAADF中DF二D二兰3,AF二ADtanADF二乜TOC o 1-5 h zcosADF33设N为PF的中点，连NE,则NE/DF,TDF丄AC,DF丄PA,DF丄面PAC从而NE丄面PAC.i/3N点到AB的距离=AP=1,N点到AP的距离=AF二上 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 26四、巩固练习1B2C3ABCD是正方形；ABCD是圆的外切四边形；ABCD是菱形；AB二BC二CD二DA等。4D5AB图4

18、1DOE6.（05湖南）解法一（I）证明由题设知OA丄OO,0B丄OO,所以ZAOB是所折成的直二面角的平面角，即0A丄0B.从而A0丄平面OBCO,OC是AC在面OBCO内的射影.11TOC o 1-5 h z因为OBtanZOOB=、31OO1OC3tanZOOC=-i-，1OO3所以ZOOB=601o,ZOOC=30，从而OC丄BO】由三垂线定理得AC丄BO.1（II）解由（I）AC丄BO,，OC丄BO,知BO丄平面AOC.设OCnOB=E,过点E作EF丄AC于F,连结OF（如图4）,则EF是OF在平面AOC所以ZOFE是1内的射影，由三垂线定理得Of丄AC.二面角OACO的平面角.11

19、由题设知OA=3,OO3,OC=1,11所以oA=OA2+OO2=2j3,AC=JOA2+OC213,从而OF=iAiC=童,又0E=00sin30=逼,1AC713112所以sinZOFE=2=.即二面角0AC0的大小是arcsin-.1OF4141解法二（I）证明由题设知0A丄00,0B丄00所以ZA0B是所折成的直二面角的平面角即0A丄0B故可以0为原点，OA、0B、00所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，朽）0（0,0,竹）从而111AC=(-3,1.3),BO=(0,-3.3),AC-BO=-3+朽

20、込=0.11所以AC丄B01(II)解：因为BO1OC=-3+3爲=0,所以B0丄0C,由AC丄叫所以B01丄平面OAC,Bq是平面OAC的一个法向量.设n=（x,y,z）是0平面0AC的一个法向量,n-AC=0r.An-OC=01-3x+y十民=0,耳恕二朽，得n=(1,0,J3).y=0.，+=b匸设二面角0AC0的大小为0，由n、BO的方向可知0=,111arccos4rI*所以cos0=cos=nBO亠即二面角0AC0的大小是1InI-1BOI41ABE7（05福建）证明：（I）BF丄平面ACEBF丄AE,二面角D-AB-E为直二面角，.平面ABCD丄平面ABE,又BC丄AB,.BC丄

21、平面ABE,.BC丄AE,又BFu平面BCE,BFBC=B,.AE丄平面BCE。n(II)连结AC、BD交于G,连结FG,TABCD为正方形，.BD丄AC,TBF丄平面ACE,FG丄AC,ZFGB为二面角B-AC-E的平面角，由(I)可知，AE丄平面BCE,：AE丄EB,又AE=EB,AB=2,AE=BE-2,在直角三角形BCE中，CE,.BC2+BE26,BF二BCBCE在正方形中，bg=j2，在直角三角形2BFG中，SinZFGB_三仝二面角B-AC-E为arcsin63由(II)可知，在正方形ABCD中，BG=DG,D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF丄平面ACE，线段BF

22、的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离+所以D到平面的距离为三_辽.羽3另法：过点E作EO丄AB交AB于点O.OE=1.：二面角DABE为直二面角，E011丄平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,V_V,-S-h_-S-EO.AE丄平面BCE,AE丄EC.2AD-DCEO2汽3D-ACEE-ACD3AACB3AACD2AE-EC:点D到平面ACE的距离为学解法二(I)同解法一.(II)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,如图.AE丄面BCE,BEu面BCE,AE丄BE,在RtAAEB

23、中,AB_2,0为AB的中点，.OE_-.A(0,-,0),E(-,0,0),C(0,-,2).AE_(1,1,0),AC_(0,2,2).设平面AEC的一个法向量为n_(x,y,z)，FFAE-n二0,卄x+y二0,fy二x,则!_即Lcc解得4y5AC-n二0,2y+2x-0-z-x，令x二1,得n=(1,1,1)是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为1Gr-mn1j3km=(1,0,0),cos(m,n)=.二面角BACE的大小为ImI-1nI33arccos.3(III)TAD/z轴，AD=2,AD=(0,0,2),点D到平面ACE的距离8.(05辽宁)(I)证明：连结C

24、F.11PE=EF=-BC=-AC,.AP丄PC.22CF丄AB,PF丄AB,.AB丄平面PCF.PCu平面PCFPC丄AB.:.PC丄平面PAB.(II)解法一：/AB丄PF,AB丄CF,=35C为所求二面角的平面角.设AB=a，则AB=a，则PF=EF=j,CF弓acosZPFC=J33一a2解法二：设P在平面ABC内的射影为O.APAF竺APAE,.APAB竺APAC.得PA=PB=PC.于是0是4ABC的中心.ZPFO为所求二面角的平面角.设AB=a，则PF=a,OF=1込a.cosZPFO=匹二邑.232PF3(III)解法一：设PA=x，球半径为R.PC丄平面PAB,PA丄PB,.

25、、汙x=2R./4兀R2=12兀，.R=得x=2.AABC的边长为22。解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD,可知PAD为直角三角形.设AB=x，球半径为R./4兀R2二12兀,PD二2运./PO二OFtanZPFO二还x,OA二-遇x,632.(上3x)2二6x(2込-6x).于是x二22.:.AABC的边长为2、迈。3669.(05全国I)方法一：(I)证明：TPA丄面ABCD,CD丄AD,：由三垂线定理得:CD丄PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直，：CD丄面PAD.又CDu面PCD,.：面PAD丄PCD.(II)解：过点B作BECA，且BE=CA,则ZPBE是AC与PB所成的角.连结AE,可知AC=CB=BE=AE.2，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形.由PA丄面ABCD得ZPEB=90，在RtAPEB中BE二込,PB/5,BEcosZPBE二二PB：AC与PB所成的角为J10arccos(III)解：作AN丄CM，垂足为N,连结BN.在RtAPAB中，AM二MB，又AC=CB,AAMCBMC,BN丄CM,故ZANB为所求二面角的平面角。VCBXAC，由三垂线定理，得CB丄PC，在RtAPCB中，CM二MB，所以CM二AM.AC在等腰三