（二项式定理）人教版高中数学选修2-3教学课件（第1.3.1课时）

1、讲解人：精品课件 时间：2020.6.1PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1.3.1 二项式定理第1章 计数原理人教版高中数学选修2-3第一页，共二十五页。先看下面的问题 若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？课前导入第二页，共二十五页。在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3观察 对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?课前导入(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (nN+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在

2、着规律. 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性.第三页，共二十五页。规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4新知探究第四页，共二十五页。 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b，只有一种取法

3、得到a4；(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b；(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2；(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3；(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4.新知探究第五页，共二十五页。1 二项式定理 新知探究知识要点第六页，共二十五页。 如何证明上述猜想呢？证明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（a+b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前， (a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是an-kbk（k=0，1，n）的形式.新知探究对于某个k（

4、），对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个（a+b）中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定. 因此， an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数 . 这样，(a+b)n的展开式中， an-kbk共有 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：第七页，共二十五页。对二项式定理的理解 （1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n.新知探究第八页，共二十五页。2 二项式系数 我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数 ( )叫做二项式系数（binomia

5、l coefficient）.新知探究知识要点3 通项 式中的 叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第k+1项：第九页，共二十五页。对通项的理解 （1）它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，2，n; （2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式; （3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形.新知探究第十页，共二十五页。例题1用二项式定理展开下列各式：思考（1）如何求展开式中的第三项？ （2）如何求展开式中第三项的系数？方法（1）用定理展开，再找指定项； （2）用通项

6、公式.新知探究第十一页，共二十五页。解:新知探究（2）先将原式化简，再展开，得第十二页，共二十五页。例题21. 的展开式中，第五项是（ ） A. B. C. D.2. 的展开式中，不含a的项是第（ ） A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项 新知探究答案： (1) B (2) A第十三页，共二十五页。例题3求近似值（精确到0.001）（1）(0.997)3 （2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=(1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.新知探究第十四页，共二十五页。例题4 4.求二项式

7、 的展开式中的有理项.分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）答案：新知探究第十五页，共二十五页。 1. 在 的展开式中，常数项是_. A.14 B.14 C.42 D. 42 课堂练习解析： 则k=6，故展开式中的常数项是,选答案A.令第十六页，共二十五页。 2.在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_.-1/2解析：课堂练习第十七页，共二十五页。1.填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_. （2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为_ .1.179-210课堂练习第十八页，共二十五页。

8、 2.选择 （1）( i)12展开式中所有奇数项的和是( ) A.-1B.1 C.0 D.i （2） 数11100-1的末尾连续的零的个数是( ) A.0B.3 C.5 D.7课堂练习第十九页，共二十五页。)rC12r3.解答题（1）求( + )12展开式中所有的有理数项.解： 通项为Tr+1C12r()12-r(r0,1,2，12)，为得有理数项，只需r是6的倍数，即r0,6,12，即有理数项为T1C1202416，T7C126223399792，T13C121236729.课堂练习第二十页，共二十五页。 （2）二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. 分析：由第三项

9、系数比第二项系数大44先求n， 再由通项求第四项系数.答案：165课堂练习第二十一页，共二十五页。(3) 某班有男、女学生各n人，现在按照男生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有2n(2n-1)种.证：依题意，这些小组中女生人数分别是Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个.对于上述女生人数的每种情况，男生人数可以有Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个。课堂练习第二十二页，共二十五页。根据乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+

10、Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个.课堂练习第二十三页，共二十五页。1.二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明. 课堂小结2.二项式定理的特点 (1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0