#第2章随机变量和其分布练习课

1、第二章 随机变量及其分布习题2.1 一维随机变量 (One-dimension Random Variable) Exercise 2.3 设袋中装有 6 个球，编号为 -1 ，2，2，2，3，3 ，从 袋中任取一球，求取到的球的号 X 的分布律。Solution 因 为 X 可 取 的 值 为 -1 ， 2 ， 3 ， 而 且PX 1 16 ， PX 3 1 3， P X 1 2 ，所以 X 的分布 律为X-123111pkk623Exercise 2.4 在贝努里概型中， n次独立试验，事件 A 发生的次数 为随机变量 X ，它的所有可能取值为 0,1,2, n ， X 的分布律为P(X

2、k) pk Cnk pkqn k (k 0,1,2, n)Exercise2.5 某车间有 8 台 5.6 千瓦的车床， 每台车床由于工艺上的 原因，常要停车。设各车床停车是相互独立的，每台车床平均 每小时停车 12 分钟。求在某一指定的时刻车间恰有两台车床停车的概率。全部车床用电超过 30 千瓦的可能有多大？Solution 由于每台车床使用是独立的， 而且每台车床只有开车与停车 两种情况，且开车的概率为 12/60=0.2 ，因此，这是一个 8 重 贝努里试验。若用 X 表示任意时刻同时工作的车床数，则 X B(8,0.2) ，其分布律为P(X k) Cnk (0.2)k (0.8)n k

3、 ,( k 0,1,2,.8)1)所求概率为 P(X 2) C82(0.2)2(0.8)6 0.2936.( 2)由于 30 千瓦的电量只能供 5 台车床同时工作， “用 电超过 30 千瓦”意味着有 6 台或 6 台以上的车床同时工作， 这一事件的概率为P(X 6) P(X 6) P(X 7) P(X 8)=C86(0.2)6(0.8)2 C87 (0.2)7 (0.8) (0.2)8 0.00123Exercise2.6 某商店出售某种商品。根据经验，此商品的月销售量 X服从 3 的泊松分布。问在月初进货时要库存多少件此种商 品，才能以 99%的概率满足顾客要求？Solution 设月初库

4、存 M 件，依题意3k 3P(X k)e 3,(k 0,1,2,.)k!那么M 3kP(X M) 3 e 3 0.99 k 0 k!即k33 e 3 0.01 k M !k!查附表 3，可知M 最小应是 8，即月初进货时要库存 8件此种商品，才 能以 99%的概率满足顾客要求。Exercise2.7 一本 500 页的书，共 500 错字，每个字等可能的出现在 每一页上，求在给定的某一页上最多两个错字的概率。Solution 设 X 表 示 在 给 定 的某 一 页 上 出 现的 错 字 的 个 数， 则 1X B(500,500)，因为 n很大， np 1，所以可以用泊松分布近似计算，依题意

5、2 1 e 1 5P(X 2) 1e 1 e 1 e 1 e5e 1 0.92k 0 k! 2 22.3 连续型随机变量的概率密度(Probability Density of Continuous Random Variable)Exercise 2.8 设随机变量 X 具有概率密度x0 x0Ke 3x f (x)0, 1)试确定常数 K ； 2)求 P(X 0.1) ； 3)求 F(x).Solution (1)由于f(x)dx 1，即K e 33x 1f (x)dx= 0 Ke 3xdx 3 得 K 3. 于是 X 的概率密度 3e 3x ,f(x)0,(2) P(X 0.1) 0.1

6、f (x)dx= 0.1 3e 3xdx x3xKe03xd( 3x)x0 x 0 ；3x3)由定义 F(x) =f (t)dt 。当 x 0时，xxF(x)=f (t)dt = 0 x所以1 e 3x F(x) 1 0e,3xK130.7408;F(x) =0；当 x 0 时，3x 3x3e dx 1 ex0 x 0.Exercise 2.9 设 X N (0,1) ，求(1)P(X 0.3) ；(2)P(0.2 X 0.5) ；(3)P(X 1.5) ；(4) P(X1.2) ； (5) P(| X | 0.34) .Solution 查标准正态分布表(1) P(X 0.3) = (0.3

7、) 0.6179 .(2)P(0.2 X 0.5)=(0.5) (0.2) 0.6915 0.5793 0.1122 .(3) P(X 1.5)=1 (1.5) 1 0.9332 0.0668 .(4)P(X 1.2) = ( 1.2) 1 (1.2) 1 0.8849 0.1151 .(5) P(| X | 0.34)P 0.34 X 0.34(0.34) ( 0.34) (0.34) 1 (0.34)2 (0.34) 1 2 0.6331 1 0.2662Exercise 2.10 设 X N (1.5,4) ，求(1) P(X 3.5) ； (2) P(X4) ；(3) P(| X |

8、3) .Solution(1)3.5 1.5P(X 3.5) =F(3.5)( 2 ) (1) 0.8413 .(2)P(X 4)4 1.5( ) ( 2.75) 1 (2.75) 1 0.5987 0.4013.P(| X | 3) =P 3 X 3 F(3) F( 3)3 1.5 3 1.5= (3 1.5) ( 3 1.5) (0.75) ( 2.25)22= (0.75) 1 (2.25) 0.7734 (1 0.9878) 0.7612 . Exercise2.11 设一批零件的长度 X 服从参数为 20, 0.02 的正 态分布，规定长度 X 在 20 0.03内为合格品，现任取

9、1 个零件，问它 为合格品的概率？Solution 由题意，即求20 0.03 20 20 0.03 20P20 0.03 X 20 0.03 ( ) ( ) (1.5) ( 1.5) 0.02 0.02= 2 (1.5) 1 0.8664 Exercise2.12 公共汽车的高度是按男子与车门定碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子身高 X (单位 :cm)服从正态分布 N (170,6 2 ) ， 试确定车门的高度。Solution 设车门的高度为 h (cm). 依题意有PX h 1 PX h 0.01即PX h 0.99h 1.70因为 PX h ( ) ，查标准正态分布表6(2

10、.33) 0.9901 0.99 ，所以得h 1.7062.33即 h 184(cm)，故车门的设计高度至少应为 184cm 方可保证男子与车 门碰头的概率在 0.01以下。2.4 二维随机变量及其分布(Two-dimension Random Variable and Distribution)Exercise 2.13 1 个口袋中有大小形状相同的 2 红、4 白 6 个球，从袋 中不放回地取两次球。设随机变量0, 表示第一次取红球1, 表示第一次取白球求(X,Y) 的分布律及 F (0.5,1) .Solution 利用概率的乘法公式及条件概率定义， (X,Y) 的联合分布律PX 0,Y

11、 0 PX 0PY 0 X 00,1,表示第二次取红球 。 表示第二次取白球 。可得二维随机变量P X 0,Y 1 P X 0P Y 1 X 06515244651542465152 1 1PX 1,Y 0 PX 1PY 0 X 14 3 2 P X 1,Y 1 P X 1PY 1 X 16 5 5把 (X,Y) 的联合分布律写成表格的形式：YX0101154151415 2 5F (0.5,1) PX 0,Y 0 P X 0,Y 11 4 1。15 15 32.5 边缘分布与随机变量的独立性(Marginal Distribution and Independence of Random V

12、ariable) Exercise 2.14 设(X,Y) 的联合分布律为X01 23012719 1912719 29 19 019 19 0 0127 0 0 0试求 (X,Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 X,Y 是否相互独立？Solution 由表中可按行加得 pi。，按列加得 p。 j3 pi127 19 19 127 8 2719 29 19 0 4919 19 0 29127 0 127827 p4。9 29 127即得关于 X 的边缘分布X0123pi。827 49 29 127及关于 Y 的边缘分布Y0123p。j827 49 29 127由于 p11 PX 0,

13、Y 0 217 ，而 p。p。1 287 287 76249 217 ，所以 X,Y 互不独立Exercise .15 设二维随机变量具有密度函数Ce 2( x y), 0 x,0 yf(x, y) 0, 其他试求:1)常数 C ；2) (X , Y)落在如图 24 所示的三角区域 D内的概率；3)关于 X和关于 Y的边缘分布 ,并判断 X,Y 是否相互独立。图 2-4Solution (1)1f (x,y)dxdy 02x=C 0 e 2xCe 2( x y)dxdydx 0 e 2 ydy C所以C 4 ;1 1 x2) P( X,Y) Df (x, y)dxdy 0dx 0 4e 2(x

14、 y)dy 1 3e 2;D3)关于 X 的边缘分布密度函数为fX (x) f(x,y)dy当 x 0 时，fX(x) =0.当 x 0 时，fX (x)f (x, y)dy 0 4e 2(x y )dy2e故有fX (x)=2x2e , x00, x 02x同理可求得关于 Y 的边缘分布密度函数为2e 2y , y 0fY ( x) =Y 0,都有 f(x,y) fX(x) fY(y)，所以 X,Y 相互独立。fY ( x) =2yy0因为对任意的实数 x, y，Exercise 2.16 设(X,Y) 服从域 D(如图 25)上的均匀分布， 求关于 X 和关于 Y的边缘分布 ,并判断 X,

15、Y 是否相互独立。Solution 由均匀分布的定义， (X,Y) 的联合分布密度函数为2(1 x )关于 X 的边缘分布密度函数为ffX ( x)(x, y)dydy 2(1 x), 0 x 10, 其他1 2yy2 dy 1f (x, y)dx 02关于 Y的边缘分布密度函数为 , 1 y 20, 其他在 f (x, y), fX (x), fY (x)的连续点 (12,23) 处，由于 f (21,32) 0 fX (12) fY(32) 1 41 14 ，所以 X,Y 不相互独立。2.6 随机变量函数的分布(Distribution for Function of Random Var

16、iable)Exercise 2.17 设 X 的分布律为pk0.1 0.2 0.3 0.4Solution (P Y 3P Y 1因而, Y 的分布律为求(1)Y 2X 1的分布律；(2) Y X 的分布律。1) 因为 Y 的可能取值为 3, 1,1,3，而且 P X 1 0.1， PY 1 P X 0 0.2 ，P X 1 0.3 ， PY 3 P X 2 0.431pk0.1 0.2 0.3 0.4(2) 类似地可求出 Y X2 的分布律为X( 1)2(0)2(1)2(2) 2pk0.1 0.2 0.3 0.4可能取的值为 0,1,4 ，而且因为 YPY 1 P X 1 P X 1 0.

17、1 0.3 0.4 所以 Y X2的分布律可整理为Y014pk0.20.40.4Exercise 2.18 设随机变量 X 的分布律为1 212 (12)n(12)n求随机变量 Y cos(2 X) 的分布律。Solution因为1,n 2(2k 1)0,n 2k 11,n 2(2k)cos(n )2， (k 0,1,2, )所以 Y cos(2 X )的所有可能的取值为 1,0,1。由于 X 取值 2,6,10, 时，对应的 Y都取 1，根据上述方法 得1 2 1 6 1 10 PY 1 ( 2)2 ( 2)6 (2)10141 154(1 1 ) 15161 1 1 3 1 5 PY 0 (12)1 (21)3 (12)5P