山东大学《材料力学》教案

1、材料力学教案山东大学 土建与水利学院工程力学系目录第一篇 基本内容HYPERLINK 第一章 绪论.doc绪论杆件的内力 截面法杆件的应力与强度计算杆件的变形 简单超静定问题 应力状态分析 强度理论组合变形压杆稳定交变应力与疲劳极限第二篇 加深与扩展内容能量法超静定结构动载荷扭转与弯曲的几个补充问题应力与应变分析含裂纹构件的断裂第十五章 平面图形的几何性质第1章 绪论一、基本要求1了解材料力学的任务；2理解对变形固体的基本假设；3理解内力、应力、应变等基本概念； 4了解杆件变形的基本形式。二、内容提要1材料力学的任务1）术语载荷 作用于结构上的主动力统称为载荷或荷载结构 建筑物或机械承受载荷时

2、起骨架作用的部分构件 结构的组成部分2）构件的三项基本要求足够的强度：构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。足够的刚度：构件在外载作用下，抵抗变形的能力。稳定性要求：构件在压力载荷作用下保持原有平衡状态的能力。3）材料力学的任务（1）研究构件的强度、刚度和稳定性；（2）研究材料的力学性；（3）合理解决安全与经济之间的矛盾。4）材料力学的的研究方法（1）理论分析（2）实验研究 2变形固体的基本假设1）变形固体 固体因受外力作用而变形，故称为变形固体。材料力学研究对象是变形固体。2）变形固体的基本假设连续性假设：假设组成固体的物质不留空隙地充满了整个体积，故固体在其整个体积内是连续的。可把力学量表示为

3、固体点的位置坐标的连续函数。均匀性假设：假设固体内到处有相同的力学性能。从而可用局部反映整体。各向同性假设：假设沿任何方向固体的力学性能都相同。小变形3基本概念1）内力 在外力作用下，物体内部各部分之间相互作用力的变化量称为附加内力，简称内力。2）截面法 用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。用截面法求内力的步骤为：（1）截开 在欲求内力的截面处假想将杆件分为两部分，留下一部分（一般为外力较少的一部分）为研究对象。（2）代替 用内力代替弃去部分对留下部分的作用力；（3）平衡 由留下部分的平衡条件，确定未知的内力。3）应力 单位面积上的内力。平均应力 （1.1）全应力 （1.2）

4、正应力 垂直于截面的应力分量，用符号表示。切应力 相切于截面的应力分量，用符号表示。应力的量纲： 4）变形 在载荷作用下，构件的尺寸和形状发生变化称为变形。5）应变线应变 单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。 平均线应变 （1.3）线应变 （1.4）切应变 一点单元体两棱直角的改变量。 （1.5）4杆件变形的基本形式1）杆件：长度远大于横向尺寸的构件，称为杆件。杆件主要几何因素是横截面和轴线，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。直杆 轴线为直线的杆。曲杆 轴线为曲线的杆。等直杆 横截面的形状和大小不变的直杆。2）杆件的基本变形形式 （1）

5、拉伸（或压缩）（图1.6（a）受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，且与杆件轴线重合。变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。（2）剪切（图1.6（b）受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动，由矩形变为平行四边形。（3）扭转（图1.6（c）受力：在垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。变形：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 （4）弯曲（图1.6（d）受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。变形：杆件轴线由直线变为曲线。组合变形：杆件同时发生

6、几种基本变形，称为组合变形。第2章 杆件的内力、截面法一、基本要求1了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合；变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。2）轴力轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用表示，单位为牛顿（N）。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画

7、在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。2扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩扭矩，用表示。扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外

8、法线方向一致为正，反之为负）。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。3弯曲内力1）基本概念弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图2-3所示。2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。静定梁的基本形式有

9、简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用FS表示。弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M表示。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力FS规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b）所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5

10、（c）、（d）所示 。根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力FS和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应

11、横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明的数值。（2

12、）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。载荷集度q（x）、剪力FS（x）与弯矩M（x）之间的关系为:根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。(a)若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力FS（x）为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。(b)若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力FS（x）为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。(c)若某截面的剪力FS（x）=0，根据，该截面的弯矩为极值。利用以上各点，除可以校核已

13、作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定和。可能出现的地方：集中力F作用处；支座处。可能出现的地方：剪力FS=0的截面；集中力F作用处； = 3 * GB3 集中力偶M作用处。6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。各杆连接处称为刚节点。

14、刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。 三、典型例题分析例2-1 在图2-6（a）中，沿杆件轴线作用F1、F2、F3、F4。已

15、知：F1=6kN，F2=18kN，F3=8kN，F4=4kN。试求各段横截面上的轴力，并作轴力图。解：1计算各段轴力AC段：以截面1-1将杆分为两段，取左段部分（图（b）。由得kN （拉力）CD段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图(c)）。由得kN（压力）的方向与图中所示方向相反。DB段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图(d)）。由得kN（压力）的方向与图中所示方向相反。2绘轴力图以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力，选取适当比例，绘出轴力图（图（e）。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x轴上侧，负的轴力（压力）画在x轴下侧。例2-2 传动轴在图2-7（a）所示。主

16、动轮A输入功率为PA36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PBPC11kW，PD14kW，轴的转速为n300r/min。试作轴的扭矩图。解：1计算各轮上的外力偶矩2计算各段扭矩BC段：以截面II将轴分为两段，取左段部分（图(b)）。由平衡方程得负号说明所假定的方向与实际扭矩相反同理，在CA段内， 在AD段内，3以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x轴上侧，负的扭矩画在x轴下侧。例2-3 图示简支梁受集中力F作用，试利用剪力方程和弯矩方程绘出该梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由，得2.列剪力、弯矩方程在段内，在BC段内3.求控制

17、截面内力，作剪力图、弯矩图。图：在AC、CB段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x轴的直线。在集中力F作用处，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量；图：在AC、CB段内，弯矩方程均是的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩，标在坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的弯矩图。显然在集中力F作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力F作用处弯矩图上为折角点。例2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图2-9所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力2.列剪力、弯矩方程3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。 在某一段上作用分布载荷，剪力图为

18、一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在FS=0处弯矩M取得极值。例2-5 如图2-10所示简支梁，在C点处受矩为Me的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力由平衡方程和得2.列剪力、弯矩方程在AC段内在BC段内3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为，而剪力图无改变。例2-6 如图2-11所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：1.求支反力。由平衡方程和求得，2.列剪力、弯矩方程AC段： CB段： 3求控制截面内力，绘、图图：AC段内，剪力方程是的一次函数，剪力图为斜直线，求出两个端截面的剪力值，标在坐标系中，连接两

19、点即得该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图2-11(b)所示。图：AC段内，弯矩方程是的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，分别标在坐标系中。在处弯矩取得极值。令剪力方程，解得，求得，标在坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程是的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在坐标系中，并连成直线。AB梁的图如图2-11(c)所示。例2-7 梁的受力如图2-12（a）所示，试利用微分关系作梁的、图。解：1.求支反力。由平衡方程和求得，2.分段确定曲线形状由于载荷在A、D处不连续，应将梁分为三段绘内

20、力图。根据微分关系，在CA和AD段内，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；DB段内，且为负值，剪力图为斜直线，图为向上凸的抛物线。3.求控制截面的内力值，绘、图图：，据此可作出CA和AD两段图的水平线。，据此作出DB段图的斜直线。图：，据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。A支座的约束反力只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故，据此可作出AD段弯矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出，；由DB段的剪力图知在E处，该处弯矩为极值。根据BE段的平衡条件，知BE段的长度为0.5m，于是求得。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB段的图。对作出的、图要利用微分关系

21、和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB段内的均布载荷为负值，该段图的斜率应为负；CA段的为负值，该段图的斜率应为负；AD段的为正值，该段图的斜率应为正；支座A处剪力图应发生突变，突变值应为10kN；D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6kNm；支座B和自由端C处的弯矩应为零等。例2-7 刚架受力如图2-13（a）所示。试绘出刚架的内力图。解：1.分段列出内力方程对CA段距右端为x1的截面，对BA段距B端为x2的截面，2.作内力图由内力方程绘出内力图，图和图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画在刚架外侧，并标明正负号。弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。例2

22、-8 曲杆受力如图2-14（a）示。试绘出曲杆的弯矩图解：1.建立内力方程用圆心角为的横截面取隔离体，其受力图如图2-14（b）所示。由平衡条件求得 （3）绘曲杆内力图由内力方程绘出的内力图如图（c）、(d)、（e）所示。 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 第3章 应力与强度计算一.内容提要本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计

23、算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。1拉伸与压缩变形1.1 拉（压）杆的应力1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3-1)式中为该横截面的轴力，A为横截面面积。正负号规定 拉应力为正，压应力为负。公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。1.1.2拉（压）杆斜截面上

24、的应力（如图3-1）图3-1拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力 （3-3）切应力 （3-4）式中为横截面上的应力。正负号规定：由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。 对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。两点结论：（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。当=时，即纵截面上，=0。（2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即。12 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。图3-2轴向变形 轴向线应变

25、横向变形 横向线应变 正负号规定 伸长为正，缩短为负。（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 （3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为 (3-6)式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即；(b)在计算时，l长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 (3-7)(3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 (3-8)1.3 材料在拉（压）时的力学性能1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能应力应变曲线如图3-3所示。

26、图3-3 低碳钢拉伸时的应力应变曲线卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中dd直线。冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中ddef曲线。图3-3中，of 为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。df 为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。四个阶段四个特征点，见表1-1。表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段阶 段图1-5中线段特征点说 明弹性阶段oab比例极限弹性极限为应力与应变成正比的最高应力为不产生残余变形的最高应力屈服阶段bc屈服极限为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段ce抗

27、拉强度为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂表1-1主要性能指标，见表1-2。表1-2 主要性能指标性能性能指标说明弹性性能弹性模量E当强度性能屈服极限材料出现显著的塑性变形抗拉强度材料的最大承载能力塑性性能延伸率材料拉断时的塑性变形程度截面收缩率材料的塑性变形程度1.3.2 低碳钢在压缩时的力学性能图3-4 低碳钢压缩时的应力应变曲线应力应变曲线如图3-4中实线所示。低碳钢压缩时的比例极限、屈服极限、弹性模量E与拉伸时基本相同，但侧不出抗压强度1.3.3铸铁拉伸时的力学性能图3-5 铸铁拉伸时的应力应变曲线应力应变曲线如图3-5所示。应力与应变无明显的线性

28、关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。1.3.3铸铁压缩时的力学性能应力应变曲线如图3-6所示。图3-6 铸铁压缩时的应力应变曲线铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大45倍，破坏时破裂面与轴线成。宜于做抗压构件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料称为塑性材料。延伸率5%的材料称为脆性材料。1.3.5屈服强度对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度，并以表示。1.4 强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中称为安全

29、系数，且大于1。强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。对轴向拉伸（压缩）杆件 （3-9）按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。2扭转变形2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。2.3切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即 (3-10)式中G为材

30、料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比）,其数值由实验决定。对各向同性材料,E、 、G有下列关系 (3-11)2.5 圆截面直杆扭转时应力和强度条件2.5.1 横截面上切应力分布规律用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。需通过平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。(1)沿半径成线性分布，圆心处，最大切应力在圆截面周边上。TT(2)切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等，图3-7。图3-72.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 (3-12)式中为该截面对圆心的极惯

31、性矩，为欲求的点至圆心的距离。圆截面周边上的切应力为 (3-13)式中称为扭转截面系数，R为圆截面半径。2.5.3 切应力公式讨论切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。极惯性矩和扭转截面系数是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。 表3-3实心圆（外径为d）空心圆（外径为D，内径为d） 2.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发

32、生破坏。因此，强度条件为 (3-14)对等圆截面直杆 （3-15）式中为材料的许用切应力。3弯曲变形的应力和强度计算3.1 梁横截面上正应力3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系 (3-16)式中，是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 (3-17)式中，M是横截面上的弯矩；的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离。由式(3-17)可见，正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。横截面上中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均为拉应力，而位于

33、中性轴凹向一侧的各点均为压应力。最大正应力出现在距中性轴最远点处 （3-18）式中，称为抗弯截面系数。对于的矩形截面，；对于直径为D的圆形截面，；对于内外径之比为的环形截面，。若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为 （3-19）由正应力强度条件可进行三方面的计算：（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力是否超过容许值，从而检验梁是否安全。（2）设计截面 即已知载荷及容许应力，可由式确定截面的尺寸（3）求许可载荷 即已

34、知截面的几何尺寸及容许应力，按式确定许可载荷。对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为 （3-20a） （3-20b）式中，分别是材料的容许拉应力和容许压应力；分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。3.3梁的切应力 （3-21）式中，Q是横截面上的剪力；是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。3.3.1矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布

35、。切应力计算公式 （3-22）最大切应力发生在中性轴各点处，。3.3.2工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为 (3-23)式中各符号可参看。另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为 （3-24）翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪切应力形成所谓的剪应力流。由于这部分切应力较小，一般不予考虑，只是在开口薄壁截面梁的弯曲中才用到它。3.3.3圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。最大切应力发

36、生在中性轴上，其大小为 （3-25）圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。3.4切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 (3-26)式中，是梁上的最大切应力值；是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；是横截面对中性轴的惯性矩；b是处截面的宽度。对于等宽度截面，发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，不一定发生在中性轴上。切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面和求许可载荷三方面的计算。在进行梁的强度计算时，应注意下述二个问题。对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力强度条件是次要的。一般仅需考虑正应力强度条件。对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上剪力较大而弯矩较小

37、，或是薄壁截面梁时，需要校核切应力强度。正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值一般发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，将同时存在正应力和切应力，这些点的强度计算，应按强度理论计算公式进行。 3.5提高弯曲强度的主要措施3.5.1选择合理的截面形式由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面系数成正比。在截面面积相同的情况下，改变截面形状以增大抗弯截面系数，从而达到提高弯曲强度的目的。为了比较各种截面的合理程度，可用抗弯截面系数与截面面积的比值来衡量，比值愈大，截面就愈合理。在选择截面形状时，还要考虑材料的性能。对于由塑料材料制成的梁

38、，因拉伸与压缩的容许应力相同，以采用中性轴为对称轴的截面。对于由脆性材料制成的梁，因容许拉应力远小于容许压应力，宜采用T字形或II形等中性轴为非对称轴的截面，并使最大拉应力发生在离中性轴较近的的边缘处。3.5.2用变截面梁一般的强度计算是以危险截面的最大弯矩为依据的，按等截面梁来设计截面尺寸，这显然是不经济的。如果在弯矩较大的截面采用较大的尺寸，在弯矩较小的截面采用较小的尺寸，使每个截面上的最大正应力都达到容许应力，据此设计的变截面梁是最合理的，称为等强度梁。3.5.3改善梁的受力状况合理布置梁上的载荷和调整梁的支座位置，使梁的最大弯矩变小，也可达到提高弯曲强度的目的。4.剪切及其实用计算4.

39、1剪切的概念剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。4.2剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 （3-27）剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力,即 （3-28）利用式（3-28）对构件进行剪切强度校核、截面设计和许可载荷的计算。5.挤压及其实用计算5.1挤压的概念挤压 两构件接触面上产生的局部承压作用。挤压面 相互接触压紧的面。挤压力 承压接触面上的总压力，用表示。

40、5.2挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 （3-29）式中，表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 （3-30）利用式（3-29）对构件进行挤压强度校核、截面设计和许可载荷的计算。二基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。1.3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。2.扭转变形2.1

41、理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。三补充例题例1杆系结构如图所示，已知杆AB、AC材料相同，MPa，横截面积分别为mm2，mm2，试确定此结构许可载荷

42、P。 解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB杆轴力为，AC杆轴力为。对于节点A，由得 （a）由得 （b）由强度条件计算各杆容许轴力 kN （c） kN （d）由于AB、AC杆不能同时达到容许轴力，如果将，代入（2）式，解得kN显然是错误的。正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷P应满足的关系 （e） （f）（2）根据各杆各自的强度条件，即，计算所对应的载荷，由（c）、（e）有kNkN kN （g）由（d）、（f）有kNkN kN （h）要保证AB、AC杆的强度，应取（g）、（h）二者中的小值，即，因而得kN上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足

43、强度条件。例2如图 所示冲床，kN，冲头MPa，冲剪钢板 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算 所以 cm（2）按钢板剪切强度计算所以cm例3 2.5挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,=70mm，圆头半径R14mm（如图 ）。键的许用切应力87MPa，轮毂的许用挤压应力取100MPa，试校核键连接的强度。解：（1）校核剪切强度键的受力情况如图 c所示，此时剪切面上的剪力（图 d）为对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图310e），故剪切面面积为所以，平键的工作切应力为

44、满足剪切强度条件。（2）校核挤压强度与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为P12100N挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为，则挤压面面积（图f)为故轮毂的工作挤压应力为也满足挤压强度条件。所以，此键安全。例4 AB轴传递的功率为，转速。如图 所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知，。试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为由截面法（2）计算极惯性矩 AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为（3）计算应力 AC段轴在横截面边缘处的剪应力为CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为第4章 杆件的变形、简单超

45、静定问题一 、基本要求1熟练掌握拉（压）杆变形计算2熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3掌握积分法求梁的弯曲变形4熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算 二、 内容提要1拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为,式中、分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即 （4.1） 图 4.1式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力FN为正时，l为正，即伸长变形；轴力FN为负时，l为负，即缩短变形。公式（4.1）的适用条件：材料在线

46、弹性范围，即；在长度内，FN，E，A均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即 （4.2）当FN，A沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 （4.3）2拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。解题步骤：画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何

47、方程；将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：各杆的内力按其刚度分配；温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题1， 变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为 (rad) (4.4)若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为 (rad) (4.5) 式中称为圆轴的抗扭刚度。显然，的正负号与扭矩正负号相同。公式（4.4）的适用条件：材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即；在长度l内，T、G、均为常量。当以上参数沿

48、轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即 (rad) (4.6)当T、沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算。2， 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角不得超过许可的单位长度扭转角,即 (rad/m) (4.7)或 （） （4.8） 根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。 3，扭转超静定问题 定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。 扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未

49、知力偶。 4梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分 1，挠曲线 挠度与转角 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用表示。小变形时，有 图4.3 在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。 2，挠曲线的近似微分方程及其积分 在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲

50、线的近似微分方程，即 （4.9）将上式积分一次得转角方程为 （4.10）再积分得挠曲线方程 （4.11）式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。 3，梁的刚度条件 限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ， （4.12） 5用叠加法求弯曲变形 叠加原理 在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，分别等于每一种载

51、荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。 应用叠加原理的条件 小变形与材料在线弹性范围。 6简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。具体步骤如下：1，首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。2，根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。3，将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程，得补充方程。由补充方程解出多余约束力。4，由平衡方程求梁上其余的约束反力。然后就可以进行梁的强度与

52、刚度的计算。7.杆件的应变能1）应变能 弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量，称为应变能或变形能。用或表示。2）弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应变能（或）在数值上等于外力所做的功W，即 （4.13） 3）轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得 当杆件的横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律，可得 （4.14）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用表示。线弹性范围内，得 （4.15） 4）圆截面直杆扭转应变能在线弹性范围内，由功能原理得 将与代入上式得 （4.16） 图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密

53、度： （4.17） 5）梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 将与代入上式得 （4.18） 图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能，即 （4.19）三、典型例题分析例2-1 设横梁ABCD为刚体。横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。解法一解：1.求钢索内的应力以横梁ABCD为为研究对象，受力如图b所示。列平衡方程解得 钢索的应力 2.求C点的垂直位移作结构的变形位移图如图c所示。因ABCD为刚体，故发生位移后，A、B、C、D

54、仍为一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。由B1向钢索作垂线得点，设。同理由D1向钢索作垂线得点，设。则钢索的伸长为。由胡克定律由图C，得C点的垂直位移为解法二 用能量法求解C点的垂直位移解：1.求钢索内的应力与解法一相同，得2.求C点的垂直位移由弹性体的功能原理，即例2-2 图示杆系的两杆均为钢杆，E=200GPa，。两杆的横截面积同为A=10cm2。若BC杆的温度降低20，而BD的温度不变，试求两杆的应力。解：设杆1受拉力，杆2受压力。以节点B为研究对象，受力如图b所示。因B点的未知力有三个，而平衡方程仅有两个，故为一次超静定问题。列平衡方程 （1）作结构的变形位移图如图c

55、所示。图中为温度引起的变形，为引起的变形，为引起的变形。小变形条件下，以切线代替圆弧。变形后B点位移至B1点，即两杆在B1点铰接。由图c得变形协调方程 （2）物理方程为 （3）式中为温度改变量。将式（3）代入式（2），得补充方程 （4）联立求解式（1）与式（4），得 杆1 杆2 例2-3 传动轴的转速n500r/min，主动轮1输入功率为P1=372.8kW，从动轮2、3分别输出功率P2=149.1kW，P3=223.7kW。已知70MPa，1/m，G80GPa。（1）确定AB段的直径d1和BC段的直径d2；（2）若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d；（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较

56、合理？解：1.确定d1和d21）求外力偶矩2）作轴的扭矩图，如图b所示。3）按强度条件设计直径，AB段 BC段 4）按刚度条件设计直径，AB段 BC段 经比较，取，2若AB和BC两段选用同一直径，则。3若将主动轮放在两从动轮之间，则，有利于提高轴的强度和刚度，故较合理。例2-4 试用叠加法求图示梁A截面的挠度与B截面的转角。EI为已知。解：将梁的载荷分为两种载荷，单独作用的情况如图（b）与（c）所示。1）在qa单独作用时，图（b）所示，查表4.1可得2）在均布载荷q单独作用时，图（c）所示，为求与，可利用图（d）与（e）两种情况，即分别考虑AB段与BC段的变形。由图（e），查表4.1得由图（d

57、）、（e）两种情况，应用叠加法，得3）在两种载荷共同作用下，应用叠加法得例2-5 图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为，由钢杆CD连接。CD杆的长l5m，横截面面积,E=200GPa。若F50kN，试求悬臂梁AD在D点的挠度。解：本题为一次超静定问题。以CD杆的轴力FN为多余约束力，得相当系统如图（b）所示。设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为 （1）由表4.1，得 （2）由胡克定律，得 （3）为求图b中BE梁C点的挠度，将F等效平移至C点，如图c所示，这样做并不改变BC段的边界条件与受力，故有 （4）将式（2）、（3）与（4）代入式（1），得补充方程 （5）由式（5）解得第5章 应力状态分

58、析与强度理论内容提要1.应力状态的概念1.1一点的应力状态通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。1.2一点的应力状态的表示方法单元体研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。1.3主平面、主应力单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即。是最大主应力，是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最

59、小值。1.4应力状态的分类（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零；（3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。2.平面应力状态分析的解析法在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 2.1任意斜截面上的应力当已知、时，应用截面法，可得 （5-1）式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；为斜截面外法线与x平面外法线即x轴

60、间的夹角，角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。2.2主应力 （5-2） 式中，和分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个主应力、和0要按代数值大小排列，分别用、表示。2.3主平面的方位角主平面与x轴间的夹角可按下式计算 （5-3）由上式可确定两个主平面的方位角和，其中当时，主平面上的主应力为，主平面上的主应力为；当时，主平面上的主应力为，主平面上的主应力为。3平面应力状态分析的图解法3.1应力圆方程 圆心坐标 半径3.2画法当已知、时，选取坐标系统，选取适当的比例尺，确定和两点，连接两点，交轴于C点，以C为圆心，以