高中数学-辗转相除法和更相减损术课件-新人教A版必修3

1、辗转相除法与更相减损术算 法 案 例第一课时第一页，编辑于星期五：十点 五十分。 思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个数公有的质因数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.第二页，编辑于星期五：十点 五十分。例：求下面两个正整数的最大公约数：1求25和35的最大公约数2求49和63的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公约数？第三页，编辑于星期五：十点 五十分。新课讲解：一、辗转相除法欧几

2、里得算法1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。假设余数不为零，那么将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，那么这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。第四页，编辑于星期五：十点 五十分。 2、步骤： 以求8251和6105的最大公约数的过程为例第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1

3、813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 第五页，编辑于星期五：十点 五十分。完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 第六页，编辑于星期五：十点 五十分。 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0

4、才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？ 第七页，编辑于星期五：十点 五十分。思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(1)、算法步骤：第一步：输入两个正整数m ,n (mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：假设r0,那么m,n的最大公约数等于m； 否那么转到第二步

5、. 第五步：输出最大公约数m.第八页，编辑于星期五：十点 五十分。(2)、程序框图：开始输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是否 n=r 输出m结束第九页，编辑于星期五：十点 五十分。(3)、程序：INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND第十页，编辑于星期五：十点 五十分。二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。假设是，那么用2约简；假设不是那么执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的

6、差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，那么这个等数就是所求的最大公约数。1、?九章算术?中的更相减损术：1、背景介绍：2、现代数学中的更相减损术：第十一页，编辑于星期五：十点 五十分。2、定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。第十二页，编辑于星期五：十点 五十分。例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98633563352

7、83528728721217211477所以，98和63的最大公约数等于7 3、方法：第十三页，编辑于星期五：十点 五十分。1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数 练习：思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。2、求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。第十四页，编辑于星期五：十点 五十分。(1)、算法步骤第一步：输入两个正整数a,b;第二步：假设a不等于b ,那么执行第三步；否那么转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果

8、br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否那么把r赋给a；返回第二步；第五步：输出最大公约数b.*思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？第十五页，编辑于星期五：十点 五十分。(2)、程序框图开始输入a,bab?是否 输出b结束 b=ra=br=a-brb?a=r否是第十六页，编辑于星期五：十点 五十分。(3)、程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND第十七页，编辑于星期五：十点 五十分。比较辗转相除法与更相减损术的区别1都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减