《实变函数与泛函分析基础》第二版-程其襄第九章答案

1、第九章内积空间和希尔伯特空间例题选讲例1.Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系en证明：若X是可分的，设*”是X的一个可数稠密子集。不妨设忑是线性无关的。用Gram-Schmidt方法，存在可数的完全规范正交系幺”，使span勺,L,en=spanxi,L,x”。这样。因此是完全的。反Z,若etl是X的一个完全规范正交系，则span花”在X中稠密。*)=(畋+血)勺|兔，力0,=1,2,3丄是X中的可数稠密子集，因此X是可分的。证毕例2.求证：P是空间X上的投影算子的充分必要条件是：P2=P且=P证明：设P是X中相对应与闭线性子空间Y的投影算子。对任意xwX,存在

2、兀w，x2eY丄，使x=x,+x2,Px=a：!o对于X=y+0,其中ywV,0gK丄。因此即P2x=Px=Px,因此P2=P设x,yeX,x=x,+x2,y=yx+y2o其中xi,ylgY,x2,y2w卩丄。这样(Px,j，)=(r+耳)=(X|)=(y+x2,Pp)=(x,Pp)o这就证明TP*=Po反Z,若p满足p=p.p*=po令y=x|/=x,则y是x中的线性子空间。y还是闭的。事实上，若XMgy,limXn=x0,则Px0=limPxn=limxn=叫。故x0eK,f/00”一8M00因此丫是闭的线性子空间，我们要证明P是丫上的投影算子。设xeX,则x=Rv+(x-Pr)。由于P2

3、=P,因此PPx=Pr,即PxeY.又(/-P)=/-P因此，对任意的j，eY,有(*一用,尹)=(x,(00卜”-心|=|卩(叫-心)卜匡”九卜因此忑也是柯酋列。设limA；,=x0,则厂7x0,因此T是映射到上的。这样，由5节定理5,T是酉算子，证毕习题解答I设*”是内积空间X中点列，若|a-w|-|x|(/-00)且对一切yeX有(x”，y)-(x,y)(/-oo),证明：xM-x(w-oo)证明：卜”-x“=|卜-(x-x”)-(x-x”)+|x=0(-8)因此xn-x(/r-oo)oo22,设X2,LXL是一列内积空间，令X=x”|x”wX”送卜”|oo,当nIxnyneX时,规定&

4、七+0几=”+0几，其中s0是数，x”，W=x”，几，证明：X是内积空间，又当X”都是Hilbert空间，1=1证明：X也是H加兀空间。证明：1。若x”，x)=0,则弘”,x”=0,因此对任意，x”，xM)=0,/|=|n=1,2,3,L,即x”=02.(ax”+0y”,z”)=QX”+0y”，Z”=(ax”，zJ+0儿，z”)/l=lM=13.这就证明了X是维线性空间。又由第七章第22题，X是完备的(在22题中取p=2),因此X是H呢空间。3,设X是刃维线性空间,ee2,Len是X的一组基,证明(x,y)成为X上内积的充分必要条件是存在nxn(%)正定方阵使得00且当时,%盗=(x,x)0因

5、此(如)正定”j=lr/,v=l方阵。充分性。若(仏.)正定方阵则对任意x=x,leu,y=yueu,儿。M=1M=1W,V=I下证(x,y)是X中内积。1.(X,x)=,IVXUXV因(如.)正定方阵，可得(x,x)no,且当(x,x)=o时，x=0tz,v=l2.(QX+0p,z)=工(禺叫+Pyu)2vJ=1H“z竝+0工auvyuz,.=a(x,z)+0b，z)。w,v=lw=l3因(“.)正定(&”J=(如.)。这样斤”_”X丿=Z匕止儿工如九儿=工必=(yx)tz,v=lrz,v=lr/,v=l因此(x,y)是X上内积。证毕4设X是实内积空间，若|x+4=|x|2+M则X丄八当X是

6、复内积空间时，这个结论是否依然成立？解当X是实内积空间且卜+丿=卜+卜时，由(x+丿,x+y)=|x+j|2=|a-|2+|.p|2+2(x,y)得x,J=0即x丄丁证明对任意（,?）和（/?,?）在复内积空间上此结论不成立,例如0=仪，卜11=1卜+丿=（X+fx,X+ix）=|x|2+卩+iX,x）-ix,x）=卜+加但x,0=（x,/x）=-705证明：内积空间X中两个向量垂直的充要条件是：对一切证明若x丄八则任意复数a,有卜+=x,x）+a（x,y）+a（y,x）+|a|2y,y=卜+|a|2|j|2|x|2因此卜+卜制若对一切数a,|x+aj|x|,不妨设.心0。令=则2m由卜+=卜

7、+0他+示a+a（x）-iixir，得审也卅WI2一审也卅0。即4|1也卅，此可得3=0，即x丄丿。证毕6设X是Hilbert空间，MuX,并且M兴0，证明（M丄）丄是X中包含M的最小闭子集。证明：X中包含M的最小X闭子集是卩，若yeY,则存在x”gspanM，使叫-y设xwM丄,则（y9x）=lim（xn,x）=0,因此jy（M丄）丄，即卩,/（x）wZ?偽可。因此若记仏（兀）=（/（3）50濟则由于kA）是完全的fk（x）|2=El-I其中/f=lbnm=（x）S（xM=必f|/（x,j，）|s（y）s（xM这样f必f|/（s）Sf|%（x）|2必lX（x）必=叽|/f=l/fI由Tbnm

8、是关于-（x）j（,v）的傅立叶系数，因此我们就证明了Parseval等式成立有第3节定理3,ew（x）e,（j）完全的，因此-（町勺”）是完全规范正交系，证毕8设epe2,L叫为内积空间X规范正交系，证明：X到中初勺灼丄，”的投影算子P为Px=（x,evv,xwX,则丫是X的闭子空间，乂二卩卩丄。对任意xwX,V-IX=x,+X2,其中X,Gy,X2Gy1,因勺是卩的完全的规范正交系，因此由投影算子定义Px=x.证毕V1V19.设X为可分为H空间，证明X中任何规范正交系至多为可数集。证明倘若X的一个规范正交系eJ/lGA可数不是可数集，则任意2工才，II.十+|卅=2。X是可分的，则存在X的

9、可数稠密子集x”：“因A不可数，则必有某xv，及2,才W人，/IH“才使|xv-胡|寺，卜w-训寺这样h-臥|Z是到上的映射，则X是空间。证明设二是X中柯西列。有|（4-几）（Q卜匕&-jX（7-8）。设X*=/.,其中zeX9设sup|z|=Af+oo,则n忆-Z=zn-z,zn-z）=|（人-zju-Z）|Vk-z|z.-/JI0（-oo）。这就证明了X是完备的内积空间，即为刃加空间。证毕。11设X和卩为H呢空间，/是X到卩中的有界线性算子，N（/）和田）分别表示算子/的零空间和值域，证明N（/）=叫/）丄，N（/）=（/）丄,刃（Z）=N（疋）,刃（/）=N（/）丄证明设xwN（/）,则

10、血=0。这样若yeY9田（/）,必有（x,/）=（Ar,j）=0,所以xw刃（才）丄,设xw刃（/）丄，则对任意jgK,（Ar）=（x,/p）=0。由丁的任意性可推得Ar=0,即xgN（/4）o以上证明了N（/）詡（/）丄,用/代替/可得N（4j=叫（才）了=刃（力）丄。同时，N（才）丄=何（力）丄）丄,以下证明何（）丄=丽首先，由田（/）u田（/）可知环刁丄n刃（/）丄从而max(x0,j)|jgM丄，加|=1=|x2|。即maxxQ,y)yeM丄肘|=1。对任意XWX又设yw（刃（/）丄）,y=yx+y2,其中yx訥（/）,儿w田（力）丄（/了2，尤）=（丁2,4丫）=0,所以A*y2=0

11、,即3,2羽（/）。这样=（丁2）=（从2）+022），即丁2=0，于是丁=戸訓（力）。这样我们就证明了丽=N（/l）丄。用/代替/又可得环刁=NS）丄,证毕。12设卩是H呢空间X中的有界线性算子，|卩卜1,证明：x|7：v=x=x|rx=x。证明若Tx=x9则卜=,兀=兀,厂*|x|r*x|x2|2,所以min|x-x0|xgAf|x21|,这就证明Tmin|x-x0|xe=|x2又对任意的PWM丄，|训=1,|叫|=|旺+兀2，0|=|6卜卜2卜若对=0,则max(x0,jeAf1,|j|=1)=0=|x21|。若|x2|0,则令=min|x-x0|xe3/1证毕14.设H是H呢空间。M是

12、H的闭子空间，则M为H上某个非零连续线性范函的零空间的充要条件是M丄是一维子空间,证明：若M是非零连续线性范函的零空间，则存在ywH,jpO,对每个xwM,使/(x)=x=O。因此M=yL,即=spany是一维子空间反之，若M丄是由非零元丿生成的一维子空间，令f（x）=x9y）9则/（x）=0的充要条件是x丄J，,即xe（M1）=Mo所以M是非零连续线性范函/的零空间。证毕15.设T为M/仇刃空间X上正常算子，T=A+iB为卩的笛卡儿分解，证明:=|宀叭（2）|t2|=|t|nr1厂nr_gp*证明(1)由A=-,B=-及VT=TV才山_（八厂）（八厂）（卩一厂）（八厂）“厂p2+|=|rr|=|r|M=|（厂）厂|=|厂7f=卩，即|尸卜忙|济牛16.证明：Z是实内积空间X上的自伴算子时，力=0的充要条件是对所有xeX，成立（/4x,x）=0。证明:力=0时。显然对任意x.yeX,由p的任意性，Ax=O.又由x的任意性，力=0。证毕17设D是Hilbert空间芒卩丄刃中如下定义的算子：（0）（。=/（）,/説0,2汀证明：U是酉空间。证明：对任意/芒0,2刃，有（0,g）=/（,）不=/（）齐丽，因此若定义算子（吃）（）=/（），则（0,g）=（/,临）即v=u,而）/（