《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第七章

1、 习题七1设总体X服从二项分布b（n，p）,n已知，X1,X2,，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】E(X)np,E(X)AX,因此1np=X所以p的矩估计量2.设总体X的密度函数2(0-x),0 x0,f(x,e)=0,x0.（2）f（x，e）=0 xe-1,0,0 x1,其他. # xii1【解】(1)似然函数Lf(x,0)=0ne-0%=0ne-0eii1i1ginLnIn0一0工xii1dgdinLnn由-x0知由d0d00i知i1xii1所以e的极大似然估计量为1X似然函数L，nx_1,0 x0)，那么0=maxx时，l=L(Q)最大,1i8i所以e的极大似然估计值=0.

2、9.因为玖0)=E(maxx)ze，所以0=maxx不是e的无偏计.1i811i81X)2,i6设X1，X2,，Xn是取自总体X的样本，E（X）中，D（X）R2,C2=k艺（Xi+1i=1解】令Yi二Xi+1Xi十,-1，于是E(Y)二E(X)E(X)二卩卩二0,D(Y)二2q2,ii+1iiE62=Ek(艺Y2)=k(n1)EY2=2c2(n1)k,i1i=1那么当E(&2)=g2,即22(n1)k=G2时,7.设X1,X2是从正态总体N(“,O2)中抽取的样本211311n二x+x；门二x+_x；门二x+_x；131322414232122试证n,n,n都是的无偏估计量，并求出每一估计量的

3、方差.1232丄2121【证明】E(n)=E匸X+=X=-E(X1)+-E(X2)=-n+-n=n,k3132丿13E(n)二-E(X)+-E(X)二n,2414211E(n)二E(X)+E(X)二n,32122所以片,|12,n3均是的无偏估计量.,2、2(2)D(円)二-1k3丿D(X1)+1345c2D(X2)=9Xc2=T问k为何值时&2为O2的无偏估计.D(X)+-D(X)15228D(叫),1J(D(X1)D(X2)；8.某车间生产的螺钉，其直径XN(p,O2),由过去的经验知道。2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm)如下：14.715.014.814.915.115

4、.2试求”的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6Q2=0.06,a=1-0.95=0.05,x14.95,uu1.96,a0.252,_x土uLa/2p的置信度为0.95的置信区间为(14.95土0.1x1.96)(14.754,15.146)9总体XN(pQ2)，O2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使“的置信概率为1-a,且置信区间的长度不大于L？【解】由02已知可知的置信度为1-a的置信区间为卜士ua/2于是置信区间长度为2una/2242(u)2那么由一;=tWL,得n三TOC o 1-5 h zna/2L10.设某种砖头的抗压强度XN(p,O2)，今随机抽取20块砖头，测得数

5、据如下(kgcm-2)：64694992559741848899846610098727487844881求p的置信概率为0.95的置信区间.求O2的置信概率为0.95的置信区间.【解】x76.6,s18.14,a10.950.05,n20,t(n1)t(192.093,a/20.025咒2(n1)/2(1932.852,=(19)8.907a/20.0250.975(1)p的置信度为0.95的置信区间X士卡(n1)、lQna/2丿76.6士注x2.093l阿丿(68.11,85.089) #(2)2的置信度为0.95的置信区间 (n-1)s2(n-1)s2X2(n，1)X2(n，1)丿/21

6、-/211.设总体Xf(x)=(+1)x,0,0 x1;其他.其中，1X,x2,Xn是X的一个样本，求e的矩估计量及极大似然估计量.【解】E(X)“+xf(x)dxn(+l)x+1dx，0+1+2所以e的矩估计量+1Z2似然函数LL()Rf(x)1)J叮0X1(i口，n)ii1i10其他取对数InLnln(+1)+Inxi(0 x1;1-in),idlnLi=1+Inx=0,+1ii=1所以e的极大似然估计量为=-1-nlnXii=1厂6x、“亠-(-x),0 x；12.设总体Xf(x)=3”0,其他.暫兀,X”为总体X的一个样本求5的矩估计量；求D(0).19x18.142,_JX18.14

7、2(190.33,702.01)(32.8528.907丿 解】(1)E(X)+,:詈(0 x)dx2所以e的矩估计量4D(0)D(2X)4D(X)DX,，nE(X2)J。忙dx譬30于是D(X)E(X2)(EX)2300202,104205所以D(0).5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,0)=0;0,x0)为未知参数，又设乳严才兀是总体X的一组样本观察值，求0的极大似然估计值.20;i1,2,n;i其他.InLnIn220;i1,2,n,iii1由巴壯2n0知InL(0)T,d0那么当0minx时InL(0)maxInL(0)1i0所以e的极大似然估计量0minx.

8、1ini14.设总体X的概率分布为002120(1-0)20231-201其中e（oe1122所以e的极大似然估计值为=7、石2由于15.设总体X的分布函数为ap1F（x,0）=SxP0,xa,x1,a0，设暫兀”爲为来自总体X的样本（1）当a=1时，求B的矩估计量；（2）当a=1时，求B的极大似然估计量；（3）当=2时，求a的极大似然估计量.【解】当a=1时,f（x,卩）=F1（x,1,卩）=SxP+1x0,x1;x1.22当0=2时,f(x,)F1(x,2)xx30,x，；x.(1)E(X)J+sdxxiP1x卩1卩卩+81P-1X令E(X)X,于是卩,1入X所以卩的矩估计量卩1.X1(2

9、)似然函数LL(卩)”f(x,卩)=ii1ii10,x1,(i1,2,n);“其他.InLnInP-(P+1)Inx,ii1dlnLnn-Inx0,dp卩ii1n所以P的极大似然估计量卩plnxii1(3)似然函数x，,(i1,2,n);i其他.显然LL(),那么当minx时,LL()maxL(),1inia0所以的极大似然估计量minx.1ini16从正态总体XN(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？申(Z)Jz81e2nt2/2dtz1.281.6451.962.33(z,0.90.950.9750.99N(0,1),【解】XNf3.4,62，则ZknX-3.46/、.nP1.4X5.4p11.4-3.46/Qn5.4-3.46/Qnp-fZ”1.96,”0.975则*17.设总体X的概率密度为,0 x1,f(x,0)=】-,1x2,、0,其他.其中0是未知参数(0v01),X,X2,，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值X,x2,x”中小于1的个数.求：(1)0的矩估计；(2)0的最大似然估计.解(1)由于EX=J+xf(x;0)dx=xdx+J2(1)xdx-01TOC