大学高等数学经典课件10-5

1、第五节 对坐标的曲面积分下面我们讨论一个例子,然后引进对坐标的曲面积分的概念.流向曲面一侧的流量v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 给出,是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都在上连续,求设稳定流动(即流速与时间t无关)的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由nvAAxvAnA. 它的值是正的.见下图如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域,且流体在这闭区域上各点处的流速为常数v,设n为该平面的单位法向量,那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A,斜高为|v|的斜柱体.其中是流速v与x轴的夹角当9

2、00时,它单位法向量是负的, vn也是负的,所以看成平面)流速也近似看成常向量处理.现在对于上面的讨论,我们引进对坐标的曲面积分的概念现在我们考虑的问题不是平面闭区域而是一片曲面,且流速不是常向量,所以要求把曲面分割为小的曲面(近似对坐标的曲面积分的概念与性质双侧曲面 假定曲面是光滑的,通常我们遇到的曲面都是双侧的. 如果用z=z(x,y)表示的曲面,有上侧, 下侧之分. 如果用x=x(y,z)表示的曲面,有前侧, 后侧之分. 如果用y=y(x,z)表示的曲面,有左侧, 右侧之分. 一张包围某一空间区域的闭曲面,有外侧,内侧之分; 在讨论对坐标的曲面积分时,需要指定曲面的侧,我们通过曲面上的法

3、向量的指向来定出曲面的侧有向曲面: 可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧;我们称为有向曲面. 例如:z=z(x,y)如果取法向量n的指向朝上,则取定曲面的上侧. 又例如:对于闭曲面,如取法向量的指向朝外,则认定曲面的外侧.xyz 规定s在xoy平面上的投影(s)xy为3.有向曲面的投影区域设为有向曲面,在上取一小块曲面s,把s投影到xoy面上得一投影区域,此投影区域的面积记为()xy,假定s上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(s)xy=(s)xy= (s)xy实际上就是s在xoy平面上的投影区域的面积附以一定的正负号; 类似地可以定义s在yoz平面及zox平面上的投影(s)

4、yz及(s)zx二.定义 设S是一个有界的光滑的曲面,设S上每一点(x,y,z)处沿指定侧的单位法线向量为又设向量函数其中P,Q.R是定义在S上的有界函数,则函数在S上的第一类曲面积分称为向量函数A(x,y,z)沿定侧曲面S的第二类(或对坐标的)曲面积分.这里ndS为有向面积元素,它在xoy,yoz,zox坐标面上的投影分别为从这里可知,第二类曲面积分是由第一类曲面积分变化而来的.性质 (1)若=1+2,则(2)-表示与取相反侧的有向曲面,则积分曲面取相反侧时,对坐标曲面积分变号,有:注意:对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.二. 对坐标的曲面积分的计算法条件为: (1)在z=z(x,y)给出曲面上侧; (2)在xoy平面上的投影区域为Dxy; (3)z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数; (4)被积函数R(x,y,z)在上连续.结论是:从这里可看出对坐标的曲面积分的计算方法可简化为 一(把曲面的参数方程)代(入被积函数中). 二方向(注意上侧,外侧,或前侧为“+”号,下侧,内侧,后侧为“-”号) 三投影 即把曲面向坐标平面投影,使曲面积分变成二重积分.推导:由定义得: 注意: (1)对坐标的曲面积分可化为二重积分计算