2022年中考数学综合题专题训练某以三角形为基础的综合题四某专题解析

1、- . 中考数学综合题专题训练 【以三角形为根底的综合题四】专题解析1在 Rt ABC 中, ACB90 , AC5,以斜边 AB 为底边向外作等腰三角形 PAB,连接 PC1如图 1,当 APB90 时,求证： PC平分 ACB；假设 PC6 2,求 BC 的长；2如图 2,当 APB60 , PC5 2时,求 BC的长P A 图 1 B A B P C C 图 2 1证明：过点P 分别作 AC、BC 的垂线,垂足为E、 FE P 那么四边形ECFP 是矩形, EPF90 APB90 , EPA FPB90APF又 PAPB, PEA PFB 90 ,PEA PFBPEPF,矩形 ECFP

2、是正方形A PC 平分 ACB解：延长CB 至 D,使 BDAC5,连接 PDC F B D 在四边形ACBP 中, ACB APB90 PACPBC180 PBDPBC180 , PAC PBD图 1 又 PAPB,ACBD, PAC PBDPCPD, APC BPD APCBPC90 , BPDBPC90即 CPD90 ,PCD 是等腰直角三角形CD2PC12 BCCDBD1257 2以 AC 为边向外作等边三角形ACD,作 DE BC 于 E,连接 DB那么 DE1 2AC5 2, CE3 2AC53 DA E P 2PAPB, APB60 ,PAB 是等边三角形ABAP, BAP60

3、DAC, DAB CAP又 AD AC,ADB ACPEA C B 图 2 - -.可修编 - . - 2 . BDPC5在 Rt BDE 中,由勾股定理得：5 2 25 22 3BC52 2,解得 BC5 273 AB 与直线 l：y3 4x 平行, AB2在平面直角坐标系中,点A 5,0,点 B 在第一象限,且长为 8,假设点 P 是直线 l 上的动点,求解： AB 直线 l,点 P 在直线 l 上 PAB 的面积 S PAB是定值PAB 的切圆面积的最大值y l B O A x 设 PAB 的切圆的半径为r,那么 S1 2PA r1 2PB r1 2AB rr2S PAB PAPBABA

4、B 长为 8,是定值,当PAPB 最小时, r 最大,从而切圆面积最大作点 B 关于直线 l 的对称点 B,连接 AB交直线 l 于点 P,连接 PB,那么 PAPB 最小l x 此时 PAPBPAPBAB点 B 和点 B关于直线 l 对称y B直线 l 垂直平分线段BBAB 直线 l, ABBBM P B ABB是直角三角形且ABB90O N A 作 AM直线 l 于 M,作 MNOA 于 N,设 M m,3 4m- -.可修编 - . - 16 9. 那么 ONm,MN3 4m,OM5 4m由 OAM OMN,得AM OAMN OM35AM3 5OA3 5 53, BB2AM6 又 AB8

5、, AB10 r2S PABABAM8 3 8104ABABABAB3 PAB 的切圆面积的最大值是：4 2 33 ABC 中, BAC 120 ,ABAC4过点 C 作直线 l AB点 D 在线段 BC 上,点 E 在直线 l 上假设 ADE 120 ,CE1,求 DC 的长解：当点E 在点 C 上方时,如图1 在 AC 上取点 F,使 DFDC,连接 DF BAC 120 ,ABAC, ACB B30 DFC DCF 30B A F D G C E l FDC120 , DFA 150图 1 CE AB, ACE BAC 120 DCE150 , DFA DCE ADE FDC 120 A

6、DF EDC 120 FDE 在 ADF 和 EDC 中ADF EDC, DFDC, DFA DCE ADF EDC, AFCE1 FCACAF413 过 D 作 DGAC 于 G,那么 GC1 2FC3B F A E C l 2DCGC cos30 3 D 当点 E 在点 C 下方时图 2 i情形 1,如图 2 在 CA 延长线上取点F,使 DFDC,连接 DF那么 F DCF DCE30 , FDC 120 又 ADE 120 ,ADF EDC 120 ADC - -.可修编 - . - . ADF EDC, AFCE1 FCACAF415, DC53 3ii 情形 2,如图 3 过 D

7、作 DFAC 于 F,过 E 作 EGBC于 G那么 BDF90 30 120 又 ADE 120 ,ADF EDG 120 ADB ADF EDG ,AF DFEG DGABC 和 CDA C l 设 DCx,那么 DG 3 2xB F G D 3 42x1 2x13舍去, x25339图 3 E 23 2x解得 x15339433E叠放在一起 C3或53或5339综上所述, DC 的长为334如图 1 是边长分别为43和 3 的两个等边三角形纸片与 C重合,固定 ABC,将 CDE绕点 C 顺时针旋转 30 得到CDE,连接 AD 、BE,CE 的延长线交 AB 于 F如图 21探究线段

8、BE 与 AD 之间的大小关系,并证明你的结论；2将图 2 中的 CDE 沿射线 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移,平移后的CDE 记为 PQR如图 3,当点 Q 与点 F 重合时停顿平移设PQR 移动的时间为 t 秒, PQR 与 AFC 重叠局部的面积为 S,求 S与 t 之间的函数关系式,并写出自变量 t 的取值围；3在 2的条件下,假如对于同一个 S 的值,对应的 t 值恰好有两个,直接写出 t 的取值围- B A DC B F A E D B A R C F E图 1 C图 2 CC P Q 图 3 -.可修编 - . - . A 解：1BEAD证明：ABC, CDE 都是等边

9、三角形ACBC, DCEC, DCE ACB 60 B F PR C BCE 30 , ACE 30 Q ACD 30 ,ACD BCE ACD BCE, BEAD2当点 R 恰好落在 AC 上时如图1 ACF 30 ,RPQ 60 ,PRC90图 1 PC2PR6,QC633 又 CFBCcos30 433 26 P F A C R PCCF,此时点 P 与点 F 重合Q 所需时间 t13 13秒当点 R 恰好落在 AB 上时如图2B 所需时间 t263 2 19 2秒图 2 当点 Q 与点 F 重合时,所需时间t36 16秒A 此时点 P 与点 F 重合,所需时间为3 秒当 0t3 时如图

10、 3设 PR、RQ 分别交 AC 于 M、N ACF 30 ,PQR 60 ,QNC30B P F M R C QNQC, RNM QNC 30 N RMN 90 ,RNRQNQ RQQC3tP RM1 23t, MN3 2 3t 图 3 Q S RMN1 2MN RM3 8 3t2 B A C G R 而 S PQR1 2 3 33 2943F SS PQRS RMN9433 2 8 3tQ 即 y 3 2 8t33 4t983图 4 - -.可修编 - . - . C 当 3 t9 2时如图 4R A 设 PR交 AB 于 G,那么 PFt3,GF3t3 SS PQRS PFG9433 2

11、 2 t3即 y 3 2t 233t943P H 当9 2t6 时如图 5F Q 设 RQ 交 AB 于 H,那么 FQ 6t, HQ36t B SS FQH3 22 6t图 5 30t9 2且 t 3 m 得到线段 AD5在等腰ABC 中, ABAC,边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度1如图 1,假设 BAC 30 , 30 m 180 ,连接 BD,请用含 m 的式子表示 DBC的度数；2如图 2,假设 BAC 60 , 0 m360 ,连接 BD、DC,直接写出BDC 为等腰三角形时 m 全部可能的取值_ ；B 3如图 3,假设 BAC90 ,射线 AD 与直线 BC 相交于点 E,是否

12、存在旋转角度m,使AE BE2,假设存在,求出全部符合条件的m 的值；假设不存在,请说明理由C A A A D D B E D B C 图 3 图 2 解：1 AB AD, BADm图 1 ABD ADB 90 1 2m- -.可修编 - . - . ABAC, BAC 30 ,ABC ACB75 DBC ABC ABD7590 1 2m D 即 DBC1 2m15230 、 120 、 210 、 300分四种情形,如下图A A A D B C D B A C E B C B D C m 的值, m30 或 m3303存在两个符合条件的如图 1,当点 E 在线段 BC 上时,作 EFAB 于

13、 F在 ABC 中, BAC90 , ABAC, ABC45在 Rt BEF 中, FBE45 , BE2EFE B F F A D C A C 在 Rt AEF 中,AE BE2, AE2BE2EF E D sinmEF AE1 2, m30图 1 B 如图 2,当点 E 在 CB延长线上时,作EFAB 于 F那么 BE2EF AE BE2, AE2BE2EF sinEAFEF AE1 2, EAF30图 2 m3306如图,在ABC 中, BAC 90 ,ABAC 6,D 为 BC 的中点1假设 E、 F 分别是 AB、AC 上的点,且 AECF,求证：AED CFD；2当点 F、E 分别

14、从 C、A 两点同时动身,以每秒 1 个单位长度的速度沿 CA、AB 运动,到点 A、B 时停顿；设FED 的面积为 y,F 点运动的时间为 x,求 y 与 x 的函数关系式；- -.可修编 - . - F、E 分别沿 CA、AB 的延长线连续运动,求此时. 3在 2的条件下,点y 与 x 的函数关系式F A A E F B D C E B D C 图 1 图 2 1证明： BAC 90 ,ABAC6,D 为 BC 的中点 BAD DAC B C 45 AD BDDCAECF, AED CFD2解：依题意有：FCAEx AED CFD S 四边形 AEDF S AEDS ADFS CFDS A

15、DFS ADC 9 S EDFS四边形 AEDFS AEF91 26xx1 22x3x9 y1 2x 23x9 3依题意有： AFBEx6,AD DB, ABD DAC 45 DAF DBE 135 ADF BDE, S ADFS BDE1 1 2S EDFS EAFS ADB2x6x 92x3x9 1 2y2x3x9 7如图 1,过ABC 的顶点 A 作高 AD,将点 A 折叠到点 D如图 2,这时 EF 为折痕,且 BED 和 CFD 都是等腰三角形,再将BED 和 CFD 沿它们各自的对称轴 EH、FG折叠,使 B、C 两点都与点 D 重合,得到一个矩形 EFGH 如图 3,我们称矩形

16、EFGH 为 ABC 的边 BC 上的折合矩形1假设ABC 的面积为 6,那么折合矩形 EFGH 的面积为 _；2如图 4, ABC,在图 4 中画出ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH；3假如ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形,且 BC2a,那么, BC 边上的高 AD _,正方形 EFGH 的对角线长为 _- -.可修编 - . B - C B E D AF C E F . B A C A D H D G 图 4 图 1 图 2 图 3 13 2作出的折合矩形 EFGH 为网格正方形A E F B H G C 32a,2a8如图,在ABC 中,点 D、E 分别在边

17、BC、AC 上,连接 AD、DE,且 1 B C1由题设条件,请写出三个正确 结论；要求：不再添加其它字母和帮助线,找结论过程中添加的字母或帮助线不能显现在结论中,不必证明A 答：结论一： _ ；结论二： _ ；结论三： _ D 不B D 1 E C 2假设 B45 , BC2,当点 D 在 BC 上运动时点与点 B、C 重合,求 CE 的最大值；假设ADE 是等腰三角形,求此时 BD 的长A 留意：在第2小题求解过程中,假设有运用1中得出的结论,须加以证明B C 备用图1如： ABAC； BAD CDE； ADB DEC； ADC AED ； ABD DCE； ADE ACD；AB DCAD

18、 DEBD CE；AE ADAD ACDE CD；等2 B C45 , AB AC, BAC90BC2, AB AC2 B D 1 A E C 解法一：1EDC BDAB, 1B-.可修编 - . EDC DAB, ABD DCE - BD CE- . AB DC,即 BD DCCE AB设 BDx,CEy,那么 DC2x2 2 2有 x2x2y,即 y 2x 22x 2 x1 222 220,当 x1 时, y 最大值 22CE 的最大值为2解法二：1C, DAE CAD, ADE ACDAD ACAEAD, AD 2AE ACACCE AC22CE 2 2CE22AD当 AD 最小时, C

19、E 最大由垂线段最短,可知 AD BCABAC, D 为 BC 的中点 BAC90 , AD 1 2BC1 2 1 2CE22 2 122即 CE 的最大值为2 2分三种情形加以争论：1当 AEDE 时,那么 DAE 1 45 BAC90 , AD 平分 BACABAC, D 为 BC 的中点BD1 2BC1 2当 AD DE 时解法一：1EDC BDAB, EDC DAB又 B C, ABD DCEABDC2, BDBCDC 22 -.可修编 - . - - . 解法二：1C, DAE CAD ADE ACD当 AD DE 时, DC AC2 BDBCDC22 2当 AD AE 时,那么 A

20、ED 1 45 ,DAE 90此时点 D 与 B 重合,与题意不符,应舍去综上所述,假设ADE 是等腰三角形,那么 BD 的长为 1 或 22 91如图,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,BDAC 于点 D求证： AB 2 AD AC；2如图,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,点 D 为 BC 边上的点, BEAD 于点 E,延长AB BD AFBE 交 AC 于点 F假设 BCDC1,求 FC的值；3在 Rt ABC 中, ABC 90 ,点 D 为直线 BC 上的动点点 D 不与 B、C 重合,AB BD AF直线 BEAD 于点 E,交直线 AC 于点 F假设 BCDCn,请

21、探究并直接写出 FC的全部可能的值用含 n 的式子表示,不必证明B B D 1证明：如图,BDAC, ABC 90 ,ADB ABC 又 A=A,ADB ABC E A 图B C A ABACAD D AB, ABC A 2AD AC图F C D 2解：方法一：如图,过点C 作 CGAD 交 AD 的延长线于点G BEAD , CGD BED 90 ,CG BF又AB BCBD DC1, ABBC2BD2DC, BDDC又 BDE CDG , BDE CDG ED GD 1 2EG A B F D G C 由 1可知： AB2AE AD ,BD2DE ADE AE DEAB22 2BD 2 4

22、, AE4DE BD2BDAE EG4DE 2DE 2 图- -.可修编 - . - A . B F D C 又 CG BF,AF FCAE EG2 方法二：如图,过点D 作 DG BF 交 AC 于点 GAB BCBD DC1,ABBC,BDDC1 2BCDG BF,FC FGBC BD2, FC2FG由 1可知： AB2AEAD ,BD2DEADE AE EDAB22 BC24 BD2图G BD又 DG BF,AF FGAE ED 4 AF FCAF 2FG2 3当点 D 在 BC 边上时,AF FC的值为 n2n当点 D 在 BC 延长线上时,AF FC的值为 n2n当点 D 在 CB

23、延长线上时,AF FC的值为 nn210某数学爱好小组开展了一次活动,过程如下：如图 1,在等腰直角ABC 中, ABAC, BAC90 ,小敏将一块三角板中含 45 角的顶点放在点 A 上,从 AB 边开场绕点 A 逆时针旋转一个角 ,其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D,直角边所在的直线交直线 BC 于点 E1小敏在线段 BC 上取一点 M,连接 AM,旋转中发觉：假设 AD 平分 BAM,那么 AE也平分 MAC请你证明小敏发觉的结论；2当 0 45 时,小敏在旋转中仍发觉线段BD、CE、DE 之间存在如下等量关系：BD2 2CEDE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进

24、展解决：小颖的方法：将ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF,连接 EF如图 2；小亮的方法：将ABD 绕点 A 逆时针旋转90 得到ACG,连接 EG如图 3请你从中任选一种方法进展证明；3小敏连续旋转三角板,在探究中得出： 当 45 135 且 90 时,等量关系2 BD2 BDA CE 2DE2 仍旧成立现请你连续探究：当135 180 时如图4,等量关系CE 2DE2是否仍旧成立？假设成立,给出证明；假设不成立,说明理由A A G - B D M 图 1 E C B D F E C B D -.可修编 - . E C 图 2 图 3 - . A B C 图 4 证明：1 BAC90

25、 , DAE 45A BAD EAC 9045 45 , DAM MAE 45AD 平分 BAM, BAD DAM MAE EAC, AE 平分 MACB D M 图 1 E C 2法一小颖的方法：将ABD 沿 AD 对折得到AFD,连接 EF如图 2由对折可得：BAD FAD, DFA B45 , DFDB由 1的结论可得：FAE CAEA AFAB,ABAC, AF ACAEAE, AEF AEC AFE C45 , EFEC DFE4545 90DE2B D F E C E G 在 Rt DEF 中, DF2 2EF即 BD2CE 2 DE2图 2 法二小亮的方法：将ABD 绕点 A 逆

26、时针旋转90 得到ACG,连接 EG如图 3由旋转可得：GAC DAB, ACG B45 , CGBD,AGADA BAD EAC 45 , GAC EAC45 GAE DAE 45AEAE, AGE ADEGEDE , ECG4545 90B D C 在 Rt ECG 中, CG 2CE 2GE2即 BD2CE 2 DE2图 3 3等量关系BD2CE 2DE2 仍旧成立法一：将ABD 沿 AD 对折得到AFD,连接 EF如图 41那么 BDFD,AFABAC, AFD ABD18045 135- F -.可修编 - . A 45- . FAD BAD, DAE45 EAF FAD 45 ,

27、EAC90 EAF EACAEAE, AFE ACEEFEC, AFE C45 DFE13545 902在 Rt DEF 中, DF2 2EFDE即 BD2CE 2 DE2 BAD 45 BAD 45法二：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 90 得到ACG,连接 EG如图 42那么 BDCG,AD AG, ACG ABD18045 135DAG 90 , DAE45 DAE45 , GAE9045A 45 DAE GAEAEAE, ADE AGE, GEDE ECG13545 90A、C 在 Rt ECG 中, CG 2CE 2GE2D B E 即 BD2CE 2 DE2G 图 42 11模拟如

28、图,在ABC 中, ABAC5,BC6,点 D 为 AB 边上的一动点不与B 重合,过 D 作 DE BC,交 AC 于点 E把 ADE 沿直线 DE 折叠, 点 A 落在点 A处,连接 BA设 AD x, ADE 的边 DE 上的高为 y1求 y 与 x 的函数关系式；2当 x 取何值时,以点A、B、 D 为顶点的三角形与ABC 相像；A 3当 x 取何值时,ADB 是直角三角形？4当 x 取何值时,ADB 是等腰三角形？A D E A- B C B -.可修编 - . C 备用图- 1 2BC6 . 解：1过 A 作 AMBC于 M,交 DE 于 N,那么 BMDE BC, ANDE,即

29、y ANEAEB D A E C 在 Rt ABM 中, AM523 24 N DE BC, ADE ABCAAD ABAN AM,x 5yM 4y4 5x0 x52 A DE 由 ADE 折叠得到, ADAD ,A由 1可得ADE 是等腰三角形,即AD AEAD ADAEAE,四边形ADA E 是菱形DA AC, BDA BACABAC5,BC6, BAC ABC, BAC C BDA ABC, BDA CB AM 上A E 有且只有当BDAD 时, DBA ABC5x x, x5 23 BDA A 90 ,D 不行能为直角顶点假设 BAD 90 四边形 ADAE 是菱形,点A必在 DE 垂

30、直平分线上,即直线ANAN y4 5x,AM4, AM|4 8 5x| 在 Rt ABM 中, A B2AM2BM2 48 5x23 2在 Rt ABD 中, AB 2AD2BD2x 25x 2- D -.可修编 - . N M C - . 8 3545x 23 2x 25x 2,解得 x0舍去或 x32假设 ABD 90 解法一： AMB 90 , BAM ABMBABM BA3 15ABAM,54, BA4在 Rt ABD 中, A D 2A B 2BD 215 2 125x 2 4 5x 2,解得 x328解法二：由知,AM |4 5x| 在 Rt ABM 中, AB 2AM 2BM 2

31、 485x 23 2在 Rt ABD 中, AB 2ADBD 2x5x 2 2 28 2 2 12545x3 2x5x 2,解得 x5舍去或 x3235 125综上,当 x32或 x32时, ADB 是直角三角形54假设 BD AD ,由 2知, x2假设 BDBA,那么 BD 2AB 28 705x 2 45x 23 2,解得 x0舍去或 x39假设 ADA B,那么 AD 2AB 28 125x 245x 23 2,解得 x5舍去或 x3912模拟如图,在 Rt ABC 中, ACB90 , AC8,BC6,点 D 是射线 CA 上的- -.可修编 - . - C、 A 重合, DE直线

32、AB 于 E 点,点 F 是 BD 的中点,过点. 一个动点不与F 作 FG直线 AB 于 G 点,连接 EF,设 AD x1假设点 D 在 AC 边上,求 FG 的长用含 x 的式子表示 ；假设点 D 在射线 CA 上, BEF 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值围2假设点 D 在 AC 边上,点 P 是 AB 边上的一个动点,DP 与 EF 相交于 O 点,当 DPFP 的值最小时,推测DO 与 PO 之间的数量关系,并加以证明A C B C D F A E G B 备用图解：1 ACB90 , AC 8,BC6,ABAC2BC 2826 210 A A D C

33、 C B B sinABC AB6 103 5,cosAAC AB8 1045 AED 90 ,ADx, DE AD sinA3 5xF DE AB,FGAB, FG DEE G 又 F 是 BD 的中点, FG1 2DE3 10 x图 1 在 Rt ADE 中, DE3 5x,AEAD cosA4 5xi当点 D 在 AC 边上时,如图1 E G BEABAE104 5x S1 2BE FG1 2104 5x3 10 x3 25x 23 2x 0 x8ii 当点 D 在 CA 延长线上时,如图2 F D BEABAE104 5x图 2 S1 2BE FG1 2104 5x3 10 x3 22

34、5x3 2x x0-.可修编 - . - - . 2推测： DO 3PO证明：作点D 关于 AB 的对称点 D,连接 DF 交 AB 于点 P,如图 3 O H C B 那么 DPFP 的值最小D F 由 1知 FG1 2DE1 2D E,即 DE2FGA E P G 由 DPE FPG,得 EP 2PG2 3EGD图 3 过 P 作 PHAB 交 EF 于 H,那么 PH2 3FG1 3DE由 DOE POH,得 DO3PO13模拟如图,在 Rt ABC 中, A 90 , AB 6,AC8,点 D、E 分别是边 AB、AC 上的动点将ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在 BC边上的点 F

35、 处1当 DE BC 时,判定以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系,并说明理由；2当 DEF 为等腰三角形时,求 AD 的长；3假设以 D、E、F 为顶点的三角形与ABC 相像,求 AD 的长；4随着点 D、E 的移动,点F 位置也在不断变化,当点D 从点 B 开场移动,至点E 与点C 重合,直接写出这一过程中点F 移动的路径的长A C A D E B 备用图B F C 解：1连接 AF 交 DE 于 G,那么 AFDE ,AGFG1 2AF在 Rt ABC 中, A90 , AB6,AC8, BC 10 DE BC, AF BC, ADE ABC12 55B D A C 得 DE1 2B

36、C 5, GF5G E 2S ABC1 2BC AF1 2AB ACF AFABAC6 8 1024 5, GF1 2AFBC2-.可修编 - . - - BC 相交. 以 DE 为直径的圆与2 DFE DAE 90 ,当DEF 为等腰三角形时,只能DF EFB D 2 1 A E C 此时DEF 为等腰直角三角形,145F 2 145 , ADF90DF AC, BDF BAC,BD DFBAAC设 AD x,那么 DFx,BD6x6x x6 8,解得 x24 7即 AD 的长为24 73当 FDE ABC 时, FDE ABC ADE FDE , ADE ABC, DE BC由 1知,此时

37、AD 1 2AB3 B D A G E C 当 FDE ACB 时, FED ABC连接 AF 交 DE 于 G那么 AFDE ,AGFG1 2AF, DAG ADE90又 ADE FDE , BACB90F DAG B, AFBF同理 AFCF, AFBFCF1 2BC5 D A E AG1 2AF52由 ADG BCA,得AD AGBCBA得AD10 6, AD2556244 提示：当点D 与点 B 重合时, BF1BA6 B F2 F1 C CF11064当点 E 与点 C 重合时, CF2CA 8 - -.可修编 - . - . 点 F 移动的路径的长为 F1F2CF2CF1844 1

38、4模拟如图,ABC 中, ABAC10, BC12,P 是边 AB 上的一个动点,过点 P作 PDAB 交 BC 相于点 D,以点 D 为正方形的一个顶点,在中 D、E 在边 BC 上, F 在边 AC 上ABC 作正方形 DEFG ,其1设 BP 的长为 x,正方形 DEFG 的边长为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并确定函数的 定义域；2当 P、G、F 三点共线时,求 BP的长；3P、D、G 三点能否构成等腰三角形？假设能,求出BP的长；假设不能,请说明理由G A F A A P B D E C B B P B P C B 备用图C C 备用图解：1 ABC 中, ABAC10,BC

39、12 A F BHHC6,AHAB2BH28 G 过 A 作 AH BC 于 H,那么DBP ABHBD ABPD AHBP BH,即BD 10PD 8xD H E C 6BD5 3x,PD4 3xG A F 又四边形DEFG 是正方形, EFBC,EFDE y由 FCE ABH,得 EC3 4yD H E 5 3xy3 4y12 B M A C y 20 21x487当点 G 落在边 AB 上,易知AGF ABC得y 128y 8,即 y24H 5- -.可修编 - . 20 21x- 54. 48 724 5,解得 x25过 C 作 CMAB 于 M由 CBM ABC,得 BM36 5B

40、P A F C 54 25x36G 52当 P、G、F 三点共线时,连接PGH D E 那么 PG BD, PGD90 AHB DPG BDP 90 BAH PDG ABH ,得 PG4 3y72B P G A F C 由 APF ABC,得4 3yy128y 8,即 y23 20 21x48 772 23,解得 x90P D A E 23即 BP 的长为90 23G F 3假设 PDGD那么4 3x 20 21x48 7,解得 x3 假设 PDPG,那么 PDG PGD PDGPDB 90 , BPDB90 , B C PDG PGD B C5 6PD10 9xB P D E C PDG A

41、BC,得 PD5 6yB A C 4 3x5 620 21x48 7,解得 x180G F 67假设 PGDGD E 同理可得GPD ABC,GD- -.可修编 - . - . 20 48 10 216 21x79x,解得 x6515模拟如图,直线 l：y3x6 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,点 C 的坐标为 8,0直线 l 沿 x 轴正方向平移 m 个单位 0m10得到直线 l,直线 l与 x 轴、直线BC 分别相交于点 D、E1求 sinACB 的值；2当 CDE 的面积为15 2时,求直线l的解析式；3将 CDE 沿直线 l对折得到CDE,记 CDE 与四边形 ADEB 重

42、叠局部的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求当S最大时四边形DCECy 的周长l lB E 解：1 y3x6,当 x0 时, y6 A O y l D C x lB0,6, OB6 B C8,0, OC8 BC2 68210 3A O D E C x sinACBOB BC6 1052 y3x6,当 y0 时, x 2 A 2,0, ACBC10 S ABC1 2AC OB1 10 630 2y l E l由题意知 l l, CDEN CABB - C-.可修编 - . A O D C x - . 15S CDECD 2 CA,2 CD 230 10S ABCCD5, D3,0设直

43、线 l的解析式为y3xb,把 D3,0代入,得b 9 l D E lC x 直线 l的解析式为y3x9 3由 2可知,当m5 时,点 C正好落在 AB 上当 5 m 10 时,点 C在 ABCSS CCD 2 10m 2DES CDE CA S ABC 10303 1010m2y 当 0m5 时,点 C在 ABC 外,设 CD、CE 分别交 AB 于点 F、GB ACBC 10, ABC 是等腰三角形CG 易知DAF、 EBG、 CDE 都是与CAB 相像的等腰三角形F m 2S DAFS EBG 10 S ABC3 2 10mA O S3023 10m23 1010m 26m9 210m综上

44、可知, S 关于 m 的函数关系式如下：S6m9 10m 20m 510 3时, S 最大10 -.可修编 - . 3 1010m25m10明显,在 5m10 围,当 m5 时, S 最大15 2在 0m5 围, S6m9 10m 29 10m10 2310,当 m当 m10 3时, S 最大 10 易知四边形DCEC是菱形,所以当S最大时- - 的周长 4 10m4 1010 380. 四边形 DCEC316模拟车辆转弯时,能否顺当通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是 45 的位置 如图 1 中的位 置例如,图 2 是某巷子的俯视图, 巷子路面宽 4m,转弯处为直角,车辆

45、的车身为矩形 ABCD,CD 与 DE、CE 的夹角都是 45 时,连接 EF,交 CD 于点 G,假设 GF 的长度至少能到达车身宽度,那么车辆就能通过1试说明长 8m,宽 3m 的消防车不能通过该直角转弯；2为了能使长 8m,宽 3m 的 消防车通过该弯道,可以将转弯处改为圆弧 MM和NN 分别是以 O 为圆心,以 OM 和 ON 为半径的弧 ,详细方案如图 3,其中 OMOM,请你求出 ON 的最小值D G B E M NG B MA F C N O 图 1 图 2 A 图 3 E 解：1作 FHEC 于 H,那么 FHEH4 D EF42且 GEC 45 F H GC1 2DC 4,

46、GEGC4 C GF4243,即 GF 的长度未到达车身宽度消防车不能通过该直角转弯2假设 C、D 分别与 M、M 重合,那么OGM 为等腰直角三角形M D E C OG4,OM42 OFON OM MN 424 FG8423 C、 D 在MM上A F G N 连接 OC,设 ONx在 Rt OCG 中, OGx3,OCx4,CG4 O B M 2 由勾股定理得 x342x4 2N解得 x 4.5 即 ON 的最小值为4.5米-.可修编 - . - - . 17模拟如图,在 Rt ABC 中, C90 ,点 O 为 AB 中点,以 O 为坐标原点, x 轴与 AC 平行,y 轴与 CB 平行,

47、建立直角坐标系, AC 与 y 轴交于点 M,BC 与 x 轴交于点 N将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点 射线 CA、射线 BC 于点 P、Q1证明：OMP ONQ ；O 处,绕点 O 旋转三角尺,三角尺的两直角边分别交2假设 A60 ,AB4,设点 P 的横坐标为x,PQ 长为 y当点 P 在边 AC 上运动时,B x 求 y 关于 x 的函数关系式及定义域；y 3假设 A60 , AB4,当 PQC 的面积为3 2时,求 CP 的长O Q N A M P C 1证明：由题意知POQ MON 90 PONQON 90 ,POMPON 90 QON POMON AC,OM BC,且 C 90

48、 ,OMP ONQ 90 OMP ONQA O y B x 2解：在 Rt ABC 中, C90 , A60 , AB4 AC2,BC23 Q O 是 AB 的中点,且ON AC,OM BCN OM3,ON1 M P C 那么 Px, 3, CP1x由 OMP ONQ ,得OM ONMPNQNQMP ON| x|,CQ3x3 OM3在 Rt CPQ 中,yPQCP 2CQ 21x 2x3 223x 292-.可修编 - . 33- - y23x 29 2 1x1. 即 y 关于 x 的函数关系为33当点 Q 在边 BC 上时由 2知, CP1x,CQx33 y F B x B S PQC1 2

49、CP CQ1 21xx33O 32N 解得 x10, x2 2 CP1 或 3 P A M C 当点 Q 在 BC 延长线上时Q 易知, CP1x,CQ x33 S PQC1 2CP CQ1 21xx333D 2解得 x1 17,x2 17 x330, x 3 x 17不合题意,应舍去,x 17 CP27 综上所述,当PQC 的面积为3 2时, CP 的长为 1 或 3 或 27 18模拟如图,线段AB 长为 12,点 C、D 在线段 AB 上,且 ACDB2动点 P 从点C 动身沿线段CD 向点 D 移动移动到点D 停顿 ,分别以 AP、BP 为斜边在线段AB 同侧作等腰 Rt AEP 和等

50、腰 Rt BFP,连接 EF,设 APx1求线段 EF 长的最小值；AB 相切；E G 2当 x 为何值时,EPF 的外接圆与3求四边形AEFB 的面积 y 与 x 的函数关系式；4设 EF 的中点为 G,直接写出整个运动过程中点G 移动A C P 的路径的长解：1作 EHAB 于 H,FK AB 于 K,EL FK 于 LAPx, PB12x2x10A E G N F B - P M -.可修编 - . L C H K D - . 1 1 1 1 1EH 2AP2x,FK 2PB212x62x1 1EL HK HPPK2AP2PB6 1 1FLFKLK FK EH 62x2x6xEF 2EL

51、 2FL 26 26x 2当 x6 时, EF 2有最小值 36 线段 EF 长的最小值是 6 12作 GM AB 于 M,那么 GM2EH FK3 可见在点 P 由点 C 向点 D 移动过程中,点 G 到 AB 的距离始终为 3,而由 1知线段 EF的长随 x 的变化而变化,当 x6,即点 P 运动到 AB 中点时, EF62GM,而由题意可得EPF 90 , EPF 是直角三角形,所以点 G 是 EPF 外接圆的圆心,只有此时EPF的外接圆才与 AB 相切当 x 6 时, EPF 的外接圆与 AB 相切3延长 AE、BF 交于点 H易知ANB 是等腰直角三角形,四边形PENF 是矩形S 四边形 AEFB S ANBS ENFS ANBS EPF 1 12 62122 2x2 2 12x P 的移动,点 G 的移动路径是一条1 4x23x36 即 y1 24x3x36 4由2知点 G 到 AB 的距离始终为3,所以随着点平行于 AB 的线段AB12,ACDB2, AD10 点 P 在线段 CD