高二数学上册重难点突破：专题17 圆锥曲线常考题型05-圆锥曲线中的存在性问题与面积问题（解析版）

1、 27/27专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题题型一 圆锥曲线中的存在性问题1已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（）抛物线的焦点为，可得右焦点，即，由题意可得，解得，即有椭圆的方程为；（）假设椭圆上存在关于直线对称的两点、，可设的方程为，代入椭圆方程，可得，即有，即，解得，设，可得，即有的中点坐标为，代入直线，可得，即有，则存在，且的方程为2已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的

2、圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得：，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即，由方程组得，则，设，则，设直线，直线的斜率为，所以，将，代入上式得，要使得以为定值，则，即，所以当圆的方程为时，圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时圆与的交点，也满足以为定值，综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值3已知

3、抛物线，为坐标原点，抛物线上是否存在，两点关于点对称，若存在，求的面积；若不存在，说明理由【解答】解：设存在满足题意的点，其点的坐标为：，由中点坐标公式可得，点在抛物线上，则：，解方程可得：，由对称性，不妨取，则：，直线的方程为，即，坐标原点到直线的距离：，易知4已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得，又，所以，故椭圆的方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与

4、椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线与的距离，从而，由于，所以符合题意的直线不存在5已知椭圆的右焦点为，点为椭圆的上顶点，过点与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且（）求椭圆的标准方程；（）若直线的倾斜角为，且与椭圆交于，两点，问是否存在这样的直线使得？若存在，求的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）设椭圆的标准方程为，根据题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（）由题及（）知，假设存在直线满足题意，设直线的方程为，联立方程组，可得，由，解得，由题意可知点为的重心，所以，即，解得，当时，不满足，所以不存在直线，使得6已知圆，圆的弦过点，连接，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲

5、线（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值【解答】解：（1）因为，所以，因为，所以，又因为，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则，所以，所以的方程为，（2）假设存在点，满足题意，设直线的方程为：，联立方程，消去整理可得：，所以，所以，所以，因为为定值，所以与无关，所以，解得，此时，所以存在点，使得为定值7已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由【解答】解：（1）由的面积为，则，得，所以，

6、又点在椭圆上，因为是椭圆的焦点，所以由解得：，所以椭圆的方程为：；（2）假设存在直线满足题意，因为的斜率，设的方程为，联立方程组，整理得，解得，设，两点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，该圆经过原点，所以，又，所以，解得，经检验满足题意，所以存在直线满足题意，此时直线的方程为8已知椭圆的短轴长为2，过点，的直线倾斜角为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得，所以，所以，所以椭圆的方程为：；（2）假设存在这样的直线，设直线的方程为：，设，联立直线与椭圆，整理可得：，即

7、，以为直径的圆过点，则，即，所以，整理可得：，即，解得：符合判别式大于0，所以直线的方程为：9已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题可知，解得，所求的方程为；（2）设存在定点，并设，由，消可得，即，整理为可得即，存在定点满足题意10已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由【

8、解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由（1）可知，假设在轴上存在一点，使得恒为常数当直线与轴不垂直时，设其方程为，设，联立方程组，可得，所以，故，因为是与无关的常数，则有，即，此时；当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，当时，亦有综上所述，在轴上有在定点，使得恒为常数，这个常数为11已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）依题意，当轴时，则，得；（2）设，又在椭圆上，满

9、足，即，解得，即直线，联立，解得，；（3）设，直线，则，联立，得则，由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标若，即，代入根与系数的关系，得，解得存在直线或满足题意12在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）当时，分别求在点和处的切线方程（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）【解答】解：联立，不妨取，由曲线可得：，曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，化为同理可得曲线在点处的切线方程为：存在符合条件的点，下面给出证明：设满足，直线，的斜率分别为：，联立，化为，当时，直线，的倾斜角互补，点符合条件13如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点

10、，过点的动直线与椭圆交于、两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）根据题意，可得，又，且，解得，椭圆的方程为：；（）结论：存在常数，使得为定值理由如下：对直线斜率的存在性进行讨论：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去并整理得：，从而当时，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线即为直线，此时；故存在常数，使得为定值题型二 圆锥曲线中的面积问题14已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积【解答】解：（1）根据题意，椭圆焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且；又由椭圆经过点，则，即，则，又由椭圆的焦点

11、在轴上，则椭圆的标准方程为；（2）根据题意，由（1）的结论：椭圆的标准方程为，则，又由椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2，设，则有，解可得：，又由，则为直角三角形，其面积；故的面积为615已知抛物线的焦点为，并且经过点（1）求抛物线的方程；（2）过原点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求的面积【解答】解：（1）把点代入抛物线，可得，解得，所以抛物线的方程为；（2）抛物线的焦点为，过原点作倾斜角为的直线方程为，联立，解得或不妨设，则的面积为，所以所求的面积为216已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且（1）求此椭圆的方程；（2）若点在第二象限，求的面积【解答】解：（1）依题意得，又，所求椭圆的方

12、程为（3分）（2）设点坐标为，所在直线的方程为，即（4分）解方程组并注意到，可得（6分）（8分）17已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（1）求实数的值；（2）求为原点）面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得，因为离心率，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，椭圆，上焦点，设，直线的方程为：，联立，得，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以为原点）面积的最大值为18已知点，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为（1）求的方程；（2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程【解答】解：（1）设，由题意可得，化为，可得的方程

13、为；（2）当直线的斜率不存在，即直线方程为，可得四边形的面积为，不符题意，舍去；设直线方程为，代入方程，可得，由，关于原点对称，可得四边形的面积为，解得，即有直线的方程为19已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心过点的直线交抛物线与圆分别为，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程【解答】解：（1）由题知，故，抛物线方程为，设直线的方程为，得，（2），由（1）知，可求得，故，的方程为，即20椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为

14、，求直线的方程【解答】解：（1）由椭圆和抛物线的对称性可设、交点的坐标为，和，由两曲线的公共弦长为，可得，代入抛物线 得，将点 代入椭圆方程得，离心率为 可得，联立，可得，即椭圆方程为：（2）由题意可知，且点不是长轴端点，因此可设直线的方程为：，联立直线方程和椭圆方程可得：，恒成立，原点到直线的距离，则点到直线的距离为，解得或 （舍去），即直线的方程为21已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，焦距为8（1）求该椭圆的标准方程；（2）若点，是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积【解答】解：（1）由题意，解得，则该椭圆的标准方程为；（2）点的坐标为，又点的坐标轴为，2

15、2已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于点，点是线段的中点（）求抛物线的准线方程；（）求的面积【解答】解：（）因为抛物线，所以抛物线的准线方程为；（）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，即，可得，设，所以，故，所以，将点坐标带入圆方程可得，解得，根据抛物线的对称性，不妨设，联立方程组，可得，则，所以，又点到直线的距离为，故23李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点，处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹，当笔尖运动到点处时，经测量此时，且的面积为4（1）以，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求李华

16、笔尖留下的轨迹的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹交于，两点，且弦的中点为，求的面积【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义知，故在中，假设，又的面积为，故，椭圆的标准方程为（2）设，弦的中点为， 且又，均在椭圆上，得，即，故直线的方程为：联立，整理得得， 的面积为424已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围【解答】解：（1）连接，由为等边三角形可知在中，于是，故曲线的离心率（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：，即，由及得，又由知，故，由得，所以，从而，故，当，时，

17、存在满足条件的点所以，的取值范围为，25已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积【解答】解：（1）证明：的导数为，设切点，即有，切线的方程为，即为，切线的方程为，联立两切线方程可得，可得，即，直线的方程为，即为，可化为，可得恒过定点；（2）法一：设直线的方程为，由（1）可得，中点，由为切点可得到直线的距离即为，可得，解得或，即有直线的方程为或，由可得，四边形的面积为；由，可得，此时到直线的距离为；到直线的距离为，则四边形的面积为；法二：（2）由（1）得直线的方程为由，可得于是，设，分别为点，

18、到直线的距离，则，因此，四边形的面积设为线段的中点，则由于，而，与向量平行，所以解得或当时，；当时，综上，四边形的面积为3或26已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4（1）求；（2）若点在上，为的两条切线，是切点，求面积的最大值【解答】解：（1）点到圆上的点的距离的最小值为，解得；（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，设切点，则易得，从而得到，设，联立抛物线方程，消去并整理可得，即，且，又点在圆上，故，代入得，而，当时，27设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于，直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【解答】（）解：设的坐标为依题意可得，解得，于是所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）解：直线的方程为，设直线的方程为，联立方程组，解得点，故联立方程组，消去，整理得，解得，或，直线的方程为，令，解得，故，又的面积为，整理得，解得，直线的方程为，或28平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点（）求椭圆的方程；（）设是上的动点，且位于第