《点、直线、平面之间的位置关系》教学设计

1、 点、直线、平面之间的位置关系知识点一、空间中直线、平面之间的位置关系【要点梳理】要点一：空间两直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件不能把“不同在

2、任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a，直线，ab，不能由a、b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由ab可知a与b共面，它们不是异面直线 （3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示 （4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示

3、4.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内5.平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：，.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6.异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间中一点O，分别引直线，相交直线a、b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b形成的角，如右图所示当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：异面直线所成角的取值范围是；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.要点二：直线和平面的位置关系1直线和平面的位

4、置关系（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线a和平面平行，记作.（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.如果直线a和平面相交于点，记作.（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作.2直线与平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类（2）按直线是否在平面内分类 3直线与平面位置关系的图形表示和符号表示位置关系直线a在平面内直线a与平面相交（直线不在平面内）直线a与平面平行（直线不在平面内）符号表示图形表示要点三：两个平面的位置关系1两个平面的位置关系

5、（1）两个平面平行没有公共点（2）两个平面相交有一条公共直线（或至少有一个公共点）2两个平面位置关系的图形表示和符号表示位置关系图形表示符号表示公共点个数两平面平行无公共点两平面相交斜交有一条公共直线垂直且有一条公共直线3两个平面平行的画法画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的 4两个相交平面的画法（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3） （4）画出上图（3）中表示两个平面的

6、平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4）【典型例题】类型一、空间两条直线的位置关系例1异面直线是指（ ） A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 【变式1】 判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明（1）没有公共点的两条直线是异面直线；（2）分别在两个平面内的直线一定是异面直线；（3）分别与两条相交直线都相交的两条直线共面；（4）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面例2已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直

7、线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明【变式1】如图，正方体中，点分别是棱的中点，判断下列直线的位置关系：（1）与 ：（2）与： （3）与：（4）与类型二、平行公理与等角定理的应用例3已知棱长为a的正方体中，M，N分别是棱CD、AD的中点求证：（1）四边形是梯形；（2）【变式1】 已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点求证：BEC=B1E1C1类型三、异面直线所成的角例5如下图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小 【变式1】已知正方体中：（1）与所成的角为_；（2）AD与所成的角为_

8、【变式2】正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（ ）A B C D类型四、直线与平面的位置关系例6下列命题中正确命题的个数为（ ）如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面A0 B1 C2 D3【变式1】 下列命题中正确的个数是（ ）如果a、b是两条直线，ab，那么a平行于过b的任何一个平面；如果直线a满足a，那么a与平面内的任何一条直线平行；如果直线a、b满足

9、a，b，则ab；如果直线a、b和平面满足ab，a，b，那么b；如果a与平面内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面A0 B2 C1 D3类型五、平面与平面的位置关系例7已知下列说法：两平面，则；若两个平面，则与是异面直线；若两个平面，则与一定不相交；若两个平面，则与平行或异面；若两个平面，则与一定相交其中正确的序号是 （将你认为正确的序号都填上）【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A平行 B异面 C相交 D平行或异面知识点二、直线、平面平行的判定【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

10、该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：、，.要点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：直线a在平面外，即；直线b在平面内，即；直线a，b平行，即ab这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：符号语言：若、，且、，则.要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的（

11、2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行要点三、判定平面与平面平行的常用方法1利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法2利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行3平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC

12、/平面EFG， BD/平面EFG例2已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图求证：PQ平面CBE【变式1】在正方体中，是正方形的中心，求证：面 证明：如图，取面ABCD的中心O，连【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别是棱BC、的中点求证：EF平面【变式3】 如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点（1）证明：EF平面PAD；（2）求三棱锥EABC的体积V类型二、平面与平面平行的判定例3如图所示，ABFC为正四棱柱，D为

13、B上一点，且平面，是的中点，求证：平面平面例4如图所示，在正方体中，S是的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点求证：平面EFG平面【变式1】点P是ABC所在平面外一点，分别是PBC，APC，ABP的重心，求证：面面ABC.【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点求证：平面A1EB平面ADC1【变式3】 已知在正方体中 ，M，N分别是，的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论知识点三、直线、平面平行的性质【要点梳理】要点一、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交

14、线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若，则.图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”可以用符号表示：若a，则ab这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误要点二、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若，则.图形语言：要点诠释：（1）面面平行的性质定

15、理也是线线平行的判定定理（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）要点三、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行这三种关系不是孤立的，而是互相联系的它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交

16、线要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线【经典例题】类型一：直线与平面平行的性质例1四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH求证：APGH【变式1】如图，平面PAC平面ABC，ACBC，PECB，M是AE的中点若MN平面ABC，求证：N是PA的中点例2如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：【变式1】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证【变式2】如图所示，在三棱

17、锥PABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围类型二：平面与平面平行的性质例3已知：平面平面平面，两条直线，m分别与平面，相交于点A，B，C和点D，E，F（如图）求证：【变式1】 已知面平面，点A，C，点B，D，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34（1）若点S在平面，之间，则SC=_；（2）若点S不在平面，之间，则SC=_例4如图所示，平面平面，A，C，D，点E，F分别在线段AB，CD上，且求证：EF【变式1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1平面A1BE，若存在

18、，指明点F的位置，若不存在，请说明理由类型三：线面平行的判定与性质的综合应用例5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点求证：BD1平面AMC【变式1】如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC平面APD=（1）求证：BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论知识点四、直线、平面垂直的判定【要点梳理】要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条

19、直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若，则.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一

20、条如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直要点二、直线与平面所成的角1直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线. (2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2直线与平面所成的角的范围：直线和平面相交

21、不垂直时，090垂直时，=90直线和平面平行或直线在平面内，=0直线和平面所成角的范围是0903求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角要点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二

22、面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角的范围：0180当两个半平面重合时，=0；当两个半平面相交时，0180；当两个半平面合成一个平面时，=180二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3) 二面角与平面角的对比角二面角图形定义从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线

23、、点（顶点）、射线构成，表示为AOB由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角(4) 二面角的平面角的确定方法方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OAa，在平面内过点O作BOa，则AOB为二面角的平面角方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如下图（左），已知二面角，过棱上一点O作一平面，使，且，且OA，OB，AOB为二面角的平面角 方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直

24、可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求 如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角 过点A作AE平面BCD于E，过E在平面BCD中作EFBC于F，连接AF AE平面BCD，BC平面BCD，AEBC 又EFBC，AEEF=E， BC平面AEF，BCAF 由垂面法可知，AFE为二面角A-BC-D的平面角要点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图： 2.

25、平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.【经典例题】类型一：直线和平面垂直的定义例1下列命题中正确的个数是( )如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；如果直线与平面内的一条直线垂直，则；如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直

26、线；如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直A0 B1 C2 D3【变式1】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直 C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与垂直类型二：直线与平面垂直的判定例2如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD例3如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点（1）求证：MN平面DCC1；（2）试确

27、定点D的位置，使得DC1平面DBC【变式1】 正方体，求证：面.【变式2】如图，在直三棱柱中，已知ACBC，BC，设的中点为D，E求证：（1）DE平面；（2）类型三：直线和平面所成的角例4如图，三棱锥A-SBC中，BSC=90，ASB=ASC=60，SA=SB=SC求直线AS与平面SBC所成的角【变式1】（1）正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）A B C D（2）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）A B C D类型四：二面角例5如图，在正方体ABCD-

28、A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值【变式1】已知RtABC，斜边BC，点，AO，O为垂足，ABO=30，ACO=45，求二面角A-BC-O的大小类型五：平面与平面垂直的判定例6如图，在四棱锥PABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中点 （1）求证：PA平面BDE；（2）求证：平面PBC平面PDC【变式1】 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD 知识点五、直线、平面垂直的性质【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于

29、一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：3直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）若于，则（3）垂直于同一条直线的两个平面平行（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化要点二、平面与平面垂直的性质1性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：要点诠释：面

30、面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法2平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁 垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见，

31、 判定定理也常用，它的意义要记清 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件 面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）（1）若a，b都平行于

32、平面，求证：AB；（2）若a，b分别垂直于平面，且，求证：ABc【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A若m，m，则 B若，m，则mC若，m，则m D若，m，则m例2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明：AECD；（2）证明：PD平面ABE 【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F（1）求证：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AGSD【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AE=EB

33、=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE。（1）求三棱锥DAEC的体积；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE。 类型二：平面与平面垂直的性质例3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面【变式1】如下图，已知PA平面ABC，二面角APBC是直二面角求证：ABBC 类型三：综合应用例4如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点。（1）求证：BDFG；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG平面PBD，并说明理由；（3）当二面角BPCD的大小为时，求PC与底

34、面ABCD所成角的正切值。【变式1】如图，已知等腰梯形ABCD中，ABCD，M是CD的中点N是AC与BM的交点，将BCM沿BM向上的翻折成BPM，使平面BPM平面ABMD（1）求证：ABPN（2）若E为PA的中点求证：EN平面PDM【变式2】 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点()证明：/平面；()证明：平面；()求直线与平面所成角的正切值巩固练习1已知a、b是异面直线，直线ca，则c与b（ ） A一定是异面直线 B一定是相交直线、 C不可能是相交直线 D不可能是平行直线2如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ） A12对 B24

35、对 C36对 D48对3如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()4.下列说法中正确的是（ ）A如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行5.已知三条互相平行的直线a、b、c中，则平面、的位置关系是（ ）A平行 B相交 C平行或相交 D重合6.已知m，n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出下列三个命题： ；。其中正确命题的个数是

36、（ ） A0 B1 C2 D37.如果直线a平面，则（ ）A平面内有且只有一条直线与a平行B平面内有无数条直线与a平行C平面内不存在与a平行的直线D平面内的任意直线与a都平行8.由下列条件不一定得到平面平面的是（ ）A内有两条相交直线分别平行于B内任何一条直线都平行于C内有无数条直线平行于D内的两条相交直线分别平行于内的两条相交直线9.若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（ ）A平行 B相交 CAC在此平面内 D平行或相交10.下列表述正确的个数为（ ）若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a平行于平面内的两条直线

37、，则a；若直线a垂直于平面内两条直线，则a。A0 B1 C2 D3 11.若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（ ）A1 B2 C3 D无数12.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则（ ）Aml Bmn Cnl Dmn13.下列说法中正确的是（ ）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直A B C D14.设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（ ）A过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交B过不在a、b上

38、的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直C过a一定可作一个平面与b垂直D过a一定可作一个平面与b平行15.已知平面、，则下列命题中正确的是（ ）A，则B，则C，则abD，ab，则b16.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是_17.在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，EF，CD都相交的直线有_条18.过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条；过平面外一点与已知平面平行的直线有 条，与已知平面平行的平面有 个。19.已知直线a、b，平面、，且ab，a，则直线b与平面的位置关系为_20.P是ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，则直线PC和平面B

39、DQ的位置关系为_。21.如图所示，棱柱ABC的侧面是菱形，设D是上的点且平面，则的值为_22.如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使，三点重合于点G，这样，下列五个结论：SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；EF平面GSD；GD平面SEF其中正确的是_（填序号）23.如图，二面角的大小是60，线AB，B，AB与所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_。24.将正方形ABCD沿对角线BD折成二面角ABCC，有如下四个结论：ACBD；ABC是等边三角形；AB与CD所成的角90；二面角ABCD的平面正切值是其中正

40、确结论是_（定出所有正确结论的序号）25.已知平面平面，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且ACl，BDl，AB=3，AC=6，BD=2，则CD的长为_。26.如图，在正三棱柱中，是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面27.如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点。（1）若平面ABC平面BCC1B1，求证：ADDC1；（2）求证：A1B平面ADC1。答案与解析知识点一例1【答案】 D【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），二是异面，A项排除对于B，分别位于两个不同平面内

41、的直线，既可能平行，也还可能相交，还可能异面，如上图，就是相交的情况，B应排除对于C，如上图中的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，C应排除只有D符合定义，应选D【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面需要掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关模型，特例模型能快速、有效地排除相关的选择项【变式1】 【答案】（1）不正确，如下图中的直线a，b；（2）不正确，如下图中的直线AC，BC及a，b（3）不正确，如下图中的直线AB与；（4）不正确，如下图中，直线AD与BC是异面直线AB，AC都与AD，BC相交，但AB，A

42、C是共面直线 例2.【答案】平行、相交或异面【解析】对空间直线与直线的三种位置关系逐一判断直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面如下图（1）（2）（3） 【总结升华】不论是在空间还是在同一平面内，平行直线都具有传递性，而异面直线不具有这一特点本例中的三条直线，由于位置关系不确定，因此，要按照直线位置关系的三种情况逐一分析，而画出示意图对问题的解决是很有帮助的【变式1】【答案】（1）异面（2）异面（3）共面（4）共面例3【答案】详见证明【证明】（1）如图，连接AC，在ACD中，M、N分别是CD、AD的中点，MN是三角形的中位线，MNAC，由正方体的性质得：AC，MN，且，即，四边形是梯形

43、（2）由(1)可知MN，又因为ND，DNM与相等或互补而DNM与均是直角三角形的锐角，例4【解析】（1）AA与BB相交于O点，且，同理，（2），AB和AC，和所成的锐角（或直角）相等，即BAC=同理，ABC=，ACB= ABC 又，【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则

44、相等，若不均是则互补【变式1】证明：如右图，连接EE1， E1、E分别为A1D1、AD的中点，A1E1AE， 四边形A1E1EA为平行四边形，A1AE1E 又A1AB1B，E1EB1B， 四边形E1EBB1为平行四边形， E1B1EB同理E1C1EC 又C1E1B1与CEB方向相同，C1E1B1=CEB例5【解析】解法一：（直接平移法）如下图1，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1，则OGDB1，EFA1C1，GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1=GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1异面直线DB1与EF所成的角为90 解法二

45、：分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN，则MNEF，如上图2所示，连接DM，B1N，B1M，DN，则B1NDM且B1N=DM，四边形DMB1N为平行四边形，MN与B1D必相交，设交点为P，并设正方体的棱长为1，则，DM2=DP2+MP2，DPM=90，即DB1EF异面直线DB1与EF所成的角为90【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程通常是通过解三角形求得【变式1】【答案】（1）60；（2）45【解析】连接，则，连接，则就是与所成的角由为正三角形，知，由ADBC，知AD与所成的角就是易知【变式2】【答案】B【解析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接O

46、E，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，则OEB即为PA与BE所成的角所以，在RtOEB中，所以故选B例6【答案】B【解析】对于，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面如下图（1）中正方体ABCD-A1B1C1D1，A1B1平面ABCD， A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90，因此命题是错误的对于，如上图（1），A1B1AB，A1D1AD且AD，AB平面ABCD，A1D1，A1B1平面ABCD，A1

47、B1平面ABCD，A1D1平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条可以想象，经过平面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的，命题也是错误的 对于，我们可以继续借助正方体ABCD- A1B1C1D1来举反例，如上图（2），分别取AD，BC的中点E，F，A1D1，B1C1的中点G，H，顺次连接E、F、H、G，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，可以证明四边形EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A，D两个点到该截面的距离相等，直线AD平面EFHG=E，命题也是错误的 对于，把一直角三角板的

48、一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直 正确的命题只有一个，应选B【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的【变式1】 【答案】C【答案】【解析】错与也可能异面错与也可能平行对，与无公共点又，与无公共点对由已知知：与无

49、公共点，那么或与异面错与也可能平行【总结升华】解答此类问题，要把符号语言转化为自然语言，根据两平面间的位置关系，借助空间想象能力求解【变式1】【答案】D【解析】本题主要考查两平面平行的特点当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论知识点二例1【解析】 欲证明AC平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明ACEF证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF ，EG在ABC中，E，F分别是AB，B

50、C的中点，ACEF，又AC平面EFG，EF平面EFG，于是AC平面EFG同理可证BD平面EFG【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论例2.证明：作PMAB交BE于点M，QNAB交BC于点N，则PMQN，AP=DQ，EP=BQ又AB=CD，EA=BD，PMQN四边形PMNQ是平行四边形PQMN综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，又PQMN，PQ平面CBE【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键【变式1】证明：如图，取面ABCD的中心O，连，且四边形是平行四边形，又

51、面【变式2】【答案】详见证明【证明】取的中点O，连接OF，OBOF，BE，OFBE四边形OFEB是平行四边形，EFBOEF平面，BO包含于平面，EF平面【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用【变式3】【解析】（1）在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC又BCAD，EFAD又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD（2）连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G，如下图，则EG平面ABCD，且在PAB中，AP=AB，PAB=90，BP=2，例3.【思路点拨】根据面面平行的判定定理进行证明

52、平面【答案】详见证明【证明】平面，设的中点为E，则平面平面=ED，ED；E是的中点，D是BC的中点，即为平行四边形，AD，平面，AD平面，平面平面【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论 例4.【答案】详见证明【证明】如图所示，连接SB，SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD又SD包含于平面，FG平面，直线FG平面同理可证EG平面，又EG包含于平面EFG，FG包含于平面EFG，EGFGG，平面EFG平面【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直

53、线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行【变式1】证明：连，并延长分别交AB，AC于M，Q，连MQ.因为为重心，所以M，Q分别为所在边的中点.又直线PMPQ=P，所以直线PM，PQ确定平面PMQ,在PMQ中，因为为重心，所以，所以.因为面ABC，面ABC，所以面ABC同理面ABC，因为面，面，面ABC，面ABC，所以面面ABC.【变式2】证明：由棱柱的性质知，B1C1BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1EDB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EBC1D，又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB平面ADC1连接DE，同理，EB1BD，所以四边形EDBB1为

54、平行四边形，则EDB1B因为B1BA1A（棱柱的性质），所以EDA1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD，又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1由A1E平面ADC1，EB平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1EEB=E，所以平面A1EB平面ADC1【变式3】 【解析】与平面AMN平行的平面有以下三种情况： 下面以上图（1）为例进行证明：证明：四边形ABEM是平行四边形，BEAM，又BE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDEMN是的中位线，四边形是平行四边形，MNBD，又BD平面BDE，MN平面BDE，MN平面BDE又AM、MN平面A

55、MN，且MNAM=M，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN平面BDE知识点三例1.【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM根据直线和平面平行的判定定理，则有PA平面BMD平面PAHG平面BDM=GH，根据直线和平面平行的性质定理，PAGH【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论【变式1】【答案】详见证明【证明】MN平面ABC，PECB，MNPE，M是AE的中点，N是PA的中点例

56、2【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQMQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线CD，AB，CDMQ，ABNQ于是，【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ【变式1】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又

57、，【变式2】【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，同理，四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+=8+4因为0PF/PB1,截面四边形EFGH的周长l应大于小于12，8l12.例3【解析】连接DC，设DC与平面相交于点G，连接BG、EG，则平面ACD与平面、分别相交于直线AD、BD，平面DCF与平面、分别相交于直线GE、CF因为，所以BGAD，GECF于是，得，所以【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两

58、条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论【变式1】【答案】（1）16 （2）272例4【解析】（1）当AB，CD共面时，且平面ABDC=AC，平面ACDB=BD，ACBD，四边形ABDC是梯形或平行四边形由，得EFBD，又BD，EF，EF（2）当AB，CD异面时，作AHCD交于H，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，ACHD四边形AHDC为平行四边形作FGDH交AH于G，连接EG，于是，从而EGBH，而BH，EG，EG又FGDH，DH，FG，FGEGFG=G，平面EFG又EF平面EFG，EF【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质

59、的综合运用解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题如在本例的第二种情况：面面平行线线平行平行四边形线面平行面面平行线面平行（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG得出EF，便是这一性质的灵活运用【变式1】【思路点拨】在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EGA1

60、B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FGC1CB1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1FBG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F平面A1BE【答案】详见证明【证明】在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1B1C1BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE因四