高三一轮数学（文）总复习-§4.3　3恒等变换【系列三】

1、第四章 三角函数高考文数4.3三角恒等变换知识清单考点两角和与差的三角公式和二倍角公式tan +tan =tan(+)(1-tan tan );tan -tan =tan(-)(1+tan tan ).(2)升幂公式1+cos =2cos2;1-cos =2sin2.(3)降幂公式sin2=;cos2=.(4)其他常用变形sin 2=;cos 2=;拓展延伸1.公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形1sin =;tan=.2.辅助角公式asin +bcos =sin(+),其中cos =,sin =. 三角函数式的化简方法1.化简原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的

2、差别与联系,把角合理地拆分,从而正确运用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.2.化简要求(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;(2)尽量使分母不含三角函数;(3)尽量使被开方数不含三角函数等.方法技巧方法13.化简方法(1)直接应用公式进行降次、消项;(2)切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名;(3)三角公式的逆用等.例1(1)(2014课标,8,5分)设,且tan =,则(C)A.3-=B.3+=C.2-=

3、D.2+=(2)化简:(0)=.解题导引(1)由切化弦及两角差的正弦得cos =sin(-)利用诱导公式得sin = sin(-)利用、的取值范围得-=-结论(2)利用倍角公式化成同角三角函数利用同角三角函数关系及的范围得结果 解析(1)由tan =,得=,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos ,又cos =sin,所以sin(-)=sin,又因为,所以-,0-,因此-=-,所以2-=,故选C.(2)原式=cos=.因为0,所以00,所以原式=-cos .答案 (2)-cos 三角函数式的求值方法1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难

4、的,但非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用这种关系,结合公式转化为特殊角的三角函数并且消掉非特殊角的三角函数而得解.2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再求角的范围,确定角.例2(1)(2017湖北百所重点学校高三联考,10)4sin 80-等于(B)A.B.-C.D.2-3方法2(2)(2017课标全国,15,5分)已知,tan =2,则cos=.解题导引(1)对原式进行通分利用诱导公式及拆角公式进行化简结论(2)由tan =2得s

5、in =2cos 结合sin2+cos2=1及的取值范围得sin 与cos 的值代入两角差的余弦公式得结果解析(1)4sin 80-=-.故选B.(2)因为,且tan =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =,cos =,则cos=cos cos +sin sin =+=.答案 (2) 利用辅助角公式解决问题的方法利用asin x+bcos x=sin(x+)把形如y=asin x+bcos x+k的函数化为一个角的一种三角函数的一次式,从而可以求三角函数的单调区间、周期、值域和最值、图象的对称轴以及对称中心等问题.同时要牢记30,45,60等特殊角的三角函数值

6、,能合理选用公式.例3(2017山西临汾二模,11)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,当x=时,函数y=f(x)取得最小值,则=(C)A.-3B.3C.-D. 方法3解题导引利用降幂公式及辅助角公式将f(x)化成同名同角三角函数利用三角函数的有界性求得f(x)取最小值时2的值代入2的值求得代数式结果解析f(x)=sin2x+sin xcos x=sin 2x-cos 2x+=sin+,当x=时,函数y=f(x)取得最小值,即2-=-+2k,kZ,那么2=2k-,kZ,则=-.故选C.例4(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos 2x=s