新北师大版八年级下册初中数学全册教学课件

1、第一章 三角形的证明1 等腰三角形课时1 全等三角形、等腰三角形的性质 1.全等三角形.2.等腰三角形的边、角性质.（重点） 3.等腰三角形的“三线合一”性质. （重点、难点）学习目标新课导入DACB得到这个ABC中 AB和AC有什么关系? 新课讲解 知识点1 全等三角形 全等三角形的定义是什么？新课讲解1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“

2、角角边”或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）新课讲解例典例分析利用全等三角形的判定方法，当DB时，两个三角形符合“边角边”，ADFCBE分析： 如图，点E，F在AC上，ADBC，DFBE，要使ADFCBE，还需要添加的一个条件是( )AAC BDBCADBC DDFBEB新课讲解练一练1.如图，ACDC，BCEC，请你添加一个适当的条件：_，使得ABCDEC.DEAB或ACBDCE或ACDBCE新课讲解2.如图，点B，F，C，E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是()AABDE BACDFCA

3、D DBFECC新课讲解 知识点2 等腰三角形的边、角性质1等腰三角形的相关概念回顾：腰腰顶角底角底角底边新课讲解2议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与 同伴交流.新课讲解定理 等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.新课讲解例典例分析已知：如图1-1，在ABC中，ABAC.求证：BC.分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成、两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.图1-2新课讲解证明：如图1-3，取

4、BC的中点D，连接 AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABDACD ( SSS ). BC (全等三角形的对应角相等）.新课讲解性质：等腰三角形的两底角相等 (简写成“等边对等角”)新课讲解例典例分析 (1)在ABC中，ABAC，若A50，求B；(2)若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数分析：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解新课讲解解：(1)ABAC，BC.ABC180，502B180，解得B65.(2)由题意可知，70

5、的角可以为顶角或底角，当底角 为70时，顶角为18070240.因此顶角 为40或70.(3)若顶角为90，底角为 若底角为 90，则三个内角的和大于180，不符合三角形 内角和定理因此顶角为90.新课讲解练一练在ABC中，ABAC .(1)若A50，则C等于多少度？(1)在ABC中，因为ABAC， 所以BC. 因为A40，ABC180， 所以2C180A140. 所以C70.解：新课讲解(2)若B72，则A等于多少度?(2)因为B72， 所以由(1)可知： A1802B 180272 36.解：新课讲解知识点3 等腰三角形的“三线合一”性质在图1 -3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由

6、此你能得到什么结论?新课讲解推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）新课讲解例典例分析如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EFAB，垂足为F.(1)若BAD25，求C的度数；(2)求证：EFED.ABAC，AD是BC边上的中线，BADCAD.BAC2BAD50.ABAC， CABC (180BAC) (18050)65.(1)解：新课讲解(2)求证：EFED.证明：ABAC，AD是BC边上的中线，EDBC.又BG平分ABC，EFAB，EFED.新课讲解练一练1.如图，在ABC中，ABAC，

7、D为BC的中点，BAD35，则C的度数为()A35 B45 C55 D60C新课讲解2.如图，在ABC中，ABAC，AD是角平分线，BECF，则下列说法正确的有()DA平分EDF；EBDFCD；BDCD；ADBC.A1个 B2个 C3个 D4个D课堂小结1知识方面：（1）等腰三角形的性质：等边对等角.（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.2思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法.当堂小练1.如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCD90，ABBCAD，DAC45，E为CD上一点，且BAE45，若CD

8、4，则ABE的面积为()A. B. C. D.D当堂小练2.如图，在ABC中，ABAC，点D，E分别在边BC和AC上，若ADAE，则下列结论错误的是()AADBACBCAD BADEAEDCCDE BAD DAED2ECDD当堂小练3.如图，在ABC中，ABAC，点D，E在BC上，连接AD，AE，若只添加一个条件使DABEAC，则添加的条件不能为()ABDCE BADAECDADE DBECDC第一章 三角形的证明1 等腰三角形课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质 等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）学习目标新课导入等腰三角形有哪些性质？1等腰三角形的性质：等边对

9、等角.2等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.新课讲解 知识点1 等腰三角形中相等的线段 在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？新课讲解例典例分析证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图,在ABC中，AB=AC, BD和CE是ABC的角平分线.求证：BD = CE.新课讲解ABAC，ABCACB (等边对等角）.BD,CE分别平分ABC 和ACB ， 12.在BDC和CEB中， ACB ABC, BC=CB, 12, BDCCEB (ASA).BDCE(全等三角形的对

10、应边相等）.证明：新课讲解例典例分析 求证：等腰三角形两腰上的中线相等分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明新课讲解解：如图，在ABC中，ABAC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，求证：CEBD.ABAC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，ABCACB，BECD. 又BCCB，BECCDB.CEBD.证明：新课讲解练一练D在等腰三角形ABC中，ABAC，那么下列说法中不正确的是()ABC边上的高线和中线互相重合BAB和AC边上的中线相等C顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等DAB，BC边上的高线相等新课讲解 知识点

11、2 等边三角形的性质1等边三角形的定义是什么？2想一想等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢?新课讲解定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.新课讲解例典例分析已知：如图, 在ABC中，AB= AC=BC. 求证：A= B = C = 60.AB = AC， B = C (等边对等角).又AC = BC，A= B (等边对等角).A= B = C.在ABC中，A+ B+ C = 180.A= B = C = 60.新课讲解ABC等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).等边三角形是特殊的等腰三角形.新课讲解有两边相等的三角形是等

12、腰三角形（定义）有两个角相等的三角形是等腰三角形.满足什么条件的三角形是等边三角形?满足什么条件的三角形是等腰三角形?三边都相等的三角形是等边三角形（定义）三个角都相等的三角形是等边三角形.方法一：从边看方法二：从角看方法一：方法二：新课讲解例典例分析如图，已知ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DEAC，EFBC，DFAB，计算DEF各个内角的度数分析：要计算出DEF各个内角的度数，有两个途径，即证DEF为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直的定义及等边三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易新课讲解因为ABC是等边三角形，所以ABC60.因为DEAC，EFB

13、C，DFAB，所以AEDEFCFDB90.所以ADE90A906030.所以EDF180309060.同理可得DEFEFD60.即DEF各个内角的度数都是60.解：新课讲解例典例分析 如图，已知ABC，BDE都是等边三角形求证：AECD.分析：要证AECD，可通过证AE，CD所在的两个三角形全等来实现，即证ABECBD，条件可从等边三角形中去寻找新课讲解ABC和BDE都是等边三角形，ABBC，BEBD，ABCDBE60.在ABE与CBD中，ABECBD(SAS)AECD.证明：新课讲解练一练1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.解：如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，AC边

14、上的中线，且CE与BF相交于点O，则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，在RtABF中，A60，ABF30.在RtBEO中，EBO30，EOB60，即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60.新课讲解2.如图，在ABC中，D，E是BC的三等分点，且ADE是等边三角形，求BAC的度数.解：由题意易知，BDDEAD，DBABAD.又DBABADADE60，BAD30.同理可得，CAE30，BACBADDAECAE 306030120.课堂小结1等腰三角形的特殊性质：(1)等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的高相等；(3)等腰三角形两腰上的中线相等；2等边三角形的性质：(1) 等

15、边三角形的三边都相等；(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等当堂小练1.如图，在ABC中，ABAC，下列条件中，不能使BDCE的是()ABD，CE为AC，AB边上的高 BBD，CE都为ABC的角平分线 CABD ABC， ACE ACBDABDBCED当堂小练2.下面关于等边三角形的说法正确的有()三个角都相等；三条边都相等；是一种特殊的等腰三角形；是一种特殊的直角三角形A1个 B2个 C3个 D4个C拓展与延伸已知ABC是等边三角形，设AB，BC，A

16、C边上的中线交于点G，BAC，ABC，ACB的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点H，则下列结论：点G与点I一定重合；点G与点H一定重合；点I与点H一定重合；点G，点I与点H一定重合其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个D第一章 三角形的证明1 等腰三角形课时3 等腰三角形的判定与反证法 等腰三角形的判定 反证法.（重点、难点）学习目标新课导入DABC1、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合(也称为“三线合一”).等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) .2、等

17、腰三角形有哪些性质？既是性质又是判定新课讲解 知识点1 等腰三角形的判定思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？新课讲解 如图，在ABC中，B=C.作ABC的角平分线AD.在BAD和CAD中， 1=2， B=C ， AD=AD,BAD CAD (AAS). AB=AC.新课讲解1判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称等角对等边)应用格式：在ABC中，BC, ABAC.2等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角即： 新课讲解例典例分析已知：如图

18、，ABDC，BDCA，BD与CA相交于点E. 求证：AED是等腰三角形.新课讲解ABDC，BDCA，ADDA，ABDDCA ( SSS ). ADBDAC (全等三角形的对应角相等).AEDE (等角对等边).AED是等腰三角形.证明：新课讲解例典例分析如图，在ABC中， P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQAR，则ABC是等腰三角形吗？请说明理由分析：要说明ABC为等腰三角形，由图可知即要说明BC，而B，C分别在两个直角三角形中，因此只要说明B，C的余角BQP，R相等即可新课讲解解：ABC是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又BQPAQR，R

19、BQP.PR是BC的垂线，BPQCPR90.在RtQPB和RtRPC中，BBQP90，CR90，BC. ABAC.新课讲解练一练1.如图，在ABC中，BD平分ABC，交AC于点D，过点D作BC的平分线，交AB于点E，请判断BDE的形状，并说明理由.解：BDE为等腰三角形理由如下：因为BD平分ABC，所以ABDDBC.因为DEBC，所以EDBDBC.所以EBDEDB. 所以EBED.故BDE为等腰三角形新课讲解2.在ABC中，A和B的度数如下，能判定ABC是等腰三角形的是()AA50，B70 BA70，B40CA30，B90 DA80，B60B新课讲解 知识点2 反证法想一想小明认为，在一个三角

20、形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？新课讲解小明是这样想的：如图，在ABC中，已 知BC,此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设ABAC那么根据“等边对等角”定理可得CB， 这与已知条件BC相矛盾，因此 ABAC你能理解他的推理过程吗？新课讲解1定义在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法2利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而

21、肯定命题的结论正确新课讲解3适宜用反证法证明的命题反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角新课讲解例典例分析用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为_分析：反证法的第一步是假设“命题的结论不成立”，就是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结论和命题结论的反面，问题即可解决假设等腰三角形的两底角是直角或钝角新课讲解例典例分析用反证法证明：一个三角形中

22、不能有两个角是直角.已知：ABC.求证： A、B、C中不能有两个角是直角.证明：假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A和B是 直角，即 A= 90，B = 90.于是 ABC = 90 90 C 180.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“A和B是 直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.新课讲解练一练 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设()A一个三角形中至少有两个钝角B一个三角形中至多有一个钝角C一个三角形中至少有一个钝角D一个三角形中没有钝角A课堂小结1等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内2利用反证法解题的一般步骤： (1)

23、假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确. 当堂小练1.在下列三角形中，若ABAC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()B当堂小练2.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .解：假设这五个数均小于 ，不妨设则有即这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于拓展与延伸如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，求证：DAB是一个锐角拓展与延伸假设DAB是一个直角或钝角，则DAB 90，ABAC，AD是BC边上的高，DAC

24、DAB 90.则BACDABDAC 9090180，BCBAC 180.这与三角形内角和为180矛盾，DAB是一个直角或钝角的假设不成立DAB是一个锐角证明：第一章 三角形的证明1 等腰三角形课时4 等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质 等边三角形的判定 含30角的直角三角形的性质.（重点、难点）学习目标新课导入 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别 为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度 相等新课讲解 知识点1 等边三角形的判定一个三

25、角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.新课讲解定理三个角都相等的三角形是等边三角形.定理有一个角等于60的等腰三角形是等 边三角形.新课讲解1判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形2应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法新课讲解例典例分析 如图，在等边三角形ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：OEF是等边三角形分析：从

26、题中条件看，利用三角形的外角性质易求OEFOFE60，从而证明OEF是等边三角形新课讲解E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，OEBE，OFCF.OBEBOE，OCFCOF.ABC是等边三角形，ABCACB60.又BO，CO分别平分ABC和ACB，OBEBOEOCFCOF30.OEFOFE60.EOF18026060.OEF是等边三角形证明：新课讲解练一练等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是()A有一个内角是60 B有一个外角是120C有两个角相等 D腰与底边相等C新课讲解2.如图，ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形()A2个 B3个 C4个

27、 D5个D新课讲解 知识点2 含30角的直角三角形的性质做一做用两个含30角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.新课讲解定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.新课讲解例典例分析已知：如图 (1)， ABC是直角三角形，C 90， A 30求证： BC AB.新课讲解证明：如图(2)，延长BC至点D，使CDBC，连接AD.ACB 90，BAC30.ACD90，B 60.AC AC,ABCADC ( SAS ).ABAD(全等三角形的对应边相等）.ABD是等边三角形（有一个角等于60的等腰三角

28、形是等边三角形） BC BD AB.新课讲解性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半要点精析：(1)适用条件含30角的直角三角形，(2)揭示的关系30角所对的直角边与斜边的关系新课讲解例典例分析求证：如果等腰三角形的底角为15，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在ABC中，AB = AC， B15，CD是腰AB上的高.求证：CD AB新课讲解在ABC中，ABAC，B15 ACBB15(等边对等角).DACBACB151530.CD是腰AB上的高，ADC 90.CD AC(在直角三角形中，如果一个锐角等 于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半).CD

29、 = AB.证明：新课讲解例如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.(1)求F的度数； (2)若CD2，求DF的长分析：(1)根据平行线的性质可得EDCB60，根据三角形内角和定理即可求解；(2)易证EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解新课讲解(1)ABC是等边三角形，B60.DEAB，EDCB60.EFDE，DEF90.F90EDC30.(2)ABC是等边三角形，ACB60.又EDC60，EDC是等边三角形EDDC2.DEF90，F30，DF2DE4.解：新课讲解练一练如图，在RtABC中，ACB90，B60，

30、CD是ABC的高，且BD1，求AD的长.因为CD是ABC的高，所以BDC90.又因为B60，所以BCD30. 所以BC2BD2.在ABC中，ACB90，B60，所以A30. 所以AB2BC4.所以ADABBD413.解：课堂小结等边三角形的判定方法：定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.定理 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形(2) 含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半当堂小练1.如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2. 若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有()A1个 B2个 C

31、3个 D3个以上D当堂小练2.如图，已知在ABC中，ABAC，C30，ABAD，则下列关系式正确的为()ABDCD BBD2CDCBD3CD DBD4CDB拓展与延伸已知AOB30，点P在AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是()A直角三角形 B钝角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形D拓展与延伸分析：如图，连接PO.点P1与P关于OB对称，OP1OP，P1OBPOB.同理，OP2OP，P2OAPOA.OP1OP2，P1OP22POA2POB2(POAPOB)60.OP1P2为等边三角形第一章 三角形的证明2 直角三角形课时1 直角

32、三角形的性质与判定 直角三角形中角的关系 直角三角形中边角关系 逆命题和逆定理.（重点、难点）学习目标新课导入三角形的分类按边分类按角分类新课导入锐角三角形直角三角形钝角三角形有一个角是钝角三角形按角的分类三个角都是锐角有一个角是直角 生活中用到直角三角形的例子很多三角形新课讲解 知识点1 直角三角形中角的关系想一想(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？新课讲解定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.新课讲解例典例分析如图，在ABC中，C70，B30，ADBC于点D，AE为BAC的平分线，求

33、DAE的度数新课讲解由题意可知，BAC180BC180307080.AE为BAC的平分线，CAEBAE BAC40.ADBC，ADC90.CAD90C907020.DAECAECAD402020.解：新课讲解练一练1.小明把一副含45，30的直角三角尺如图摆放，其中CF90，A45，D30，则等于()A180 B210 C360 D270B新课讲解 知识点2 直角三角形中边角关系勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.ACB新课讲解 知识点2 直角三角形中边角关系勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.ACB新课讲解证明：如图(2) ，作Rt ABC ，使A90

34、 ABAB, ACAC,则AB 2AC 2 BC 2（勾股定理）.AB2AC2BC2 ，BC2 BC 2.BC BC.ABC ABC (SSS). AA90(全等三角形的对应角相等）.因此， ABC是直角三角形.新课讲解例典例分析如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是()A新课讲解分析：方法一：C90，AB2AC2BC292122225. AB15.过点C作CDAB于点D，设ADx，则BD15x.在RtACD中，CD2AC2AD292x2.在RtBCD中，CD2BC2BD2122(15x)2.92x2122(15x)2，解得x5.4.CD2925.4251.84.

35、CD7.2 ，即点C到AB的距离为 .新课讲解方法二：过点C作CDAB于点D，则SABC ACBC ABCD，ACBCABCD.又由方法一知AB15，CD ，即点C到AB的距离为.新课讲解练一练1.在ABC中，已知AB45，BC3，求AB的长.因为AB45，所以ABC为等腰直角三角形所以ACBC3.所以解：新课讲解2.已知：在ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm. 求证：ABAC.如图，因为AD是BC边上的中线，所以BD BC 10 5(cm)解：新课讲解在ABD中，因为AB13 cm，AD12 cm，BD5 cm，所以AB2AD2BD2.所以ABD为直角三角形所以

36、ADBC.在RtADC中，AC 13(cm)，所以ABAC.新课讲解 知识点3 逆命题和逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.新课讲解（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.新课讲解1在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个

37、命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题2如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理新课讲解例典例分析判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果ab，那么a2b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab0，那么a0，b0.分析：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假新课讲解解：(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆

38、命题是真命题(2)原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么a b.逆命题是假命题(3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题(4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0， 那么ab0.逆命题是真命题新课讲解例定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由分析：先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可解：定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可以证明其为真命题，所以它是原定理的逆定理理由如下：已知：如图，PEOA，PFOB，垂足分别为E，F，且PEPF.求证：OP是AOB的平分线新课讲解证明：PEOA，

39、PFOB，OEPOFP90.在RtPOE和RtPOF中，由勾股定理易得OEOF，POEPOF.AOPBOP，即OP是AOB的平分线 即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 平分线上 故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相 等” 有逆定理新课讲解说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab0，那么a0，b0.(1)逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真， 逆命题真(3)逆命题：如果 a0，b0，那么ab0. 原命题假， 逆命题真解：练一练课堂小结直角三角形角的关系：定理直角

40、三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.(2) 勾股定理及其逆定理：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(3) 互逆命题、互逆定理：当堂小练1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(ab)221，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A3 B4 C5 D6C当堂小练2.下列说法正确的是()A每个定理都有逆定理B每个

41、命题都有逆命题C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D真命题的逆命题是真命题B拓展与延伸一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()A5 B.C. D5或D第一章 三角形的证明2 直角三角形课时2 直角三角形全等的判定 判定两直角三角形全等的方法判断两三角形全等方法的综合应用.（重点、难点）学习目标新课导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？新课讲解 知识点1 判定两直角三角形全等的方法问题任意画一个RtABC，使C =90，再画一个RtABC，使C=90，BC=

42、BC，AB=AB，然后把画好的RtABC剪下来放到RtABC上，你发现了什么？新课讲解ABC(1)画MCN =90；(2)在射线CM上取BC=BC；(3)以B为圆心，AB为半径画弧， 交射线C N于点A；(4)连接AB现象：两个直角三角形能重合说明：这两个直角三角形全等画法：NMCB新课讲解定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图,在 ABC与ABC中，CC90，ABAB，求证： ABCABC新课讲解在ABC中，C 90,BC2 AB2AC2 (勾股定理).同理， BC 2AB2AC 2. ABAB， ACAC，BCBC ABCABC(SSS).证明：新课讲解1斜边和一条

43、直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)2(1)书写格式：如图，在RtABC和RtABC中， RtABCRtABC.(2)注意点：书写时必须强调直角三角形新课讲解例典例分析如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？新课讲解根据题意，可知BACEDF90，BCEF，ACDF，RtBACRtEDF (HL).BDEF (全等三角形的对应角相等).DEFF90，(直角三角形的两锐角互余)，BF=90解：新课讲解例典例分析分析：如图，在ABC中，ABCB，ABC90，F为AB延长线上一点，点E在

44、BC上，且AECF.求证： RtABERtCBF.根据ABCB，ABECBF90，AECF，可利用“HL”证明RtABERtCBF.新课讲解证明：ABC90，CBFABE90.在RtABE和RtCBF中，AECF，ABCB，RtABERtCBF(HL)新课讲解练一练1.如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木粧上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.两个木桩离旗杆底部的距离相等理由如下：在RtABO和RtACO中，所以RtABORtACO(HL)所以BOCO.故两个木桩离旗杆底部的距离相等解：新课讲解2.如图，CD90，添加一个条件，可使用“

45、HL”判定RtABC与RtABD全等以下给出的条件适合的是()AACAD BABABCABCABD DBACBAD A新课讲解 知识点2 判断两三角形全等方法的综合应用 直角三角形全等的判定既可以用“SSS” “SAS” “ASA”和“AAS”,有可以用 “HL”.新课讲解例典例分析如图，已知BC，添加一个条件使ABDACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是_分析：本题给出BC，再加上公共角A，有两个条件满足全等，根据全等三角形的判定方法，有两个角全等的判定方法有AAS，ASA，只要添加其中任意一个角的对边相等即可，即ABAC或ADAE或BDCE；如果从已知给定的全等条件中，通

46、过添加另外一个条件能够得到ABAC或ADAE或BDCE中任意一个条件也可以，即BECD.ABAC或ADAE或BDCE或BECD(写出一个即可)新课讲解证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况： (4)已知一边及其对角，只能找任意一角新课讲解练一练判断下列命题的真假，并说明理由： (1)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； (2)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； (3)一条直角边相等且另一条直角边上的中线相 等的两个直角三角形全等.新课讲解(1)假理由：如图， 在RtABC和RtABC中， AA，ABCABC， 但RtABC与RtABC不全等(2)

47、真理由：因为该命题满足“AAS”公理的条件(3)真理由：因为该命题满足“SAS”公理的条件(4)真先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半 相等，也即该直角边相等，再根据“SAS”公理可 判定两个三角形全等解：课堂小结1直角三角形的判定方法： 边边边、边角边、角边角、角角边、 斜边、直角边.2. 判定直角三角形全等的“四种思路”：(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS

48、”判定 当堂小练1.如图，在RtABC中，C90，B30，AB4，则下列各图中的直角三角形与RtABC全等的是() A当堂小练2.如图，在ABC中，ADBC，D为BC的中点，以下结论：ABDACD；ABAC；BC；AD是ABC的角平分线其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个 D拓展与延伸如图，AD，BC相交于点O，ADBC，CD90，(1)求证：ACBBDA；(2)若ABC35， 则CAO_.20拓展与延伸CD90，ACB和BDA都是直角三角形在RtACB和RtBDA中，BCAD，ABBA，RtACBRtBDA.(1)证明：第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时1 线段的垂直平分

49、线 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）学习目标新课导入线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？新课讲解 知识点1 线段的垂直平分线的性质 探究 如图, 直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, 是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, 到点A与点B的距离之间的数量关系.ABlP1P2P3新课讲解 可以发现，点 P1，P2, P3,到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B都是重合的，因此它们也分别相等.新课讲解线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上

50、的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.新课讲解例典例分析如图,直线lAB，垂足为C，AC = CB，点P在l上.求 证PA=PB.证明： l AB， PCA=PCB. 又 AC=CB, PC=PC， PCA PCB (SAS). PA=PB.ABPCl新课讲解定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.新课讲解已知：如图,直线MNAB垂足为C，且ACBC，P是MN上的任意一点.求证：PAPBMNAB， PCA PCB90. ACBC，PCPC,PCA PCB ( SAS ). PAPB (全等三角形的对应边相等）证明：新课讲解1性质：线

51、段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端点的距离相等表达方式：如图，lAB，AOBO，点P在l上，则APBP.2作用：可用来证明两线段相等新课讲解例典例分析如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()AABADBAC平分BCDCABBD DBECDECC新课讲解分析：根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解AC垂直平分BD，ABAD，BCCD.又ACAC，ABCADC.BACDAC，BCADCA.又BCDC，CECE，BECDEC.选项A，B，D正确新课

52、讲解例典例分析如图，在ABC中，AC5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.(1)若BCD的周长为8，求BC的长；(2) 若BC4，求BCD的周长分析：由DE是AB的垂直平分线，得ADBD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求BCD的周长新课讲解解：DE是AB的垂直平分线，ADBD.BDCDADCDAC5.(1)BCD的周长为8，BCBCD的周长(BDCD)853.(2)BC4，BCD的周长BCBDCD549.新课讲解例典例分析如图，在ABC中，A40，B90，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则BCD_分析：在

53、ABC中，B90，A40， ACB50.MN是线段AC的垂直平分线，DCDA.DCEA40.BCDACBDCA504010.10新课讲解练一练1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证ECFEDF.证明：因为AB是线段CD的垂直平分线，所以ECED，FCFD.在ECF和EDF中，所以ECFEDF(SSS)所以ECFEDF.新课讲解2.如图，在ABC中，AD垂直平分BC，ACCE，点B，D，C，E在同一直线上，则ABBD与DE的关系是()AABDBDE BABDBDECABDBDE D不能确定C新课讲解 知识点2 线段的垂直平分线的判定想一想你能写出上面这个定理的逆

54、命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以 证明.新课讲解定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上新课讲解1判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上2条件：点到线段两端点距离相等；3结论：点在线段垂直平分线上4表达方式：如图，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上5作用：作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等新课讲解例典例分析已知：如图，在ABC中，ABAC是ABC内一点，且OBOC.求证：直线AO垂直平分线段BC.新课讲解证明： ABAC，点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上）.同理，点

55、O在线段BC的垂直平分线上.直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定 一条直线）.新课讲解练一练如图，ACAD，BCBD，则有()AAB垂直平分CD BCD垂直平分ABCAB与CD互相垂直平分 D以上都不正确A课堂小结线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等.判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.当堂小练1.如图，已知ABC中，AB10，AC8，BC6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于()A3 B4 C4.8 D5D当堂小练2.如图，已知ACBC，

56、BDAD，AC，BD相交于点O，如果ACBD，那么下列结论：ADBC；ABCBAD；DACCBD；点O在线段AB的垂直平分线上其中正确的是()A BC DD拓展与延伸在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50，则B_.70或20分析：分情况讨论：如果ABC是锐角三角形，如图所示，可得A40，所以BC70；如果ABC是钝角三角形，如图所示，可得EAB40，所以BC20.故B70或20.第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时2 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线线段垂直平分线的作图及应用.（重点、难点）学习目标新课导入线段的垂直平分线的性质

57、与判定的内容是什么？新课讲解 知识点1 三角形三边的垂直平分线例求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图,在ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P， 且PAPBPC.新课讲解点P在线段AB的垂直平分线上， PA = PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等）. 同理，PB PC.点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上）， 即边AC的垂直平分线经过点P.证明：新课讲解三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的

58、距离相等锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部新课讲解钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处新课讲解例典例分析如图，在ABC中，BAC52，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么OCB_38新课讲解分析：如图，连接OA，O为AB，AC的垂直平分线的交点， OAOBOC.12，34，56.1423BAC52.56180(1234)18025276.6 7638，即OCB38.新课讲解练一练如图，在ABC中，BC2，BAC90，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求AEF的周长.BEA

59、E，AFCF.AEF的周长为AEEFAFBEEFFCBC2.解：新课讲解 知识点2 线段垂直平分线的作图及应用议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一 个等腰三角形吗？新课讲解用尺规作已知线段的垂直平分线的方法：已知：线段AB(如图)求作：线段AB的垂直平分线作法：分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D.作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线(如图)新课讲解例典例分析已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个

60、等腰三角形.已知：如图 (1),线段a，h.求做：ABC,使ABAC，且BCa，高 ADh.新课讲解作法：(1)作线段BCa (如图(2).(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.(3)在l上作线段DA使DAh.(4)连接AB，AC.ABC为所求的等腰三角形.新课讲解例典例分析如图，河流AB的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P供水，要使供水路径最短，求作供水站M的位置新课讲解解：如图，作法：以P为圆心，以适当的长度为半径画弧，交直线AB于C，D两点作线段CD的垂直平分线MN，交CD于M，M点就是所求作的点新课讲解练一练如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图