通信原理第3章随机过程的知识

1、通 信 原 理 电 子 教 案第3章 随机过程8/15/20221*第三章 随机过程 本章是本书的数学基础。 3.1随机过程的基本概念 3.2平稳随机过程 3.3高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5窄带随机过程 3.6正弦波加窄带随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结8/15/20222*通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。 随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不可预测，不能用确定函数表示的信号。 随机噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪声）。简称噪声。 随机过程：从统计学的观点看，随机信号

2、和 随机噪声统称为随机过程。 统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。8/15/20223*3.1随机过程的基本概念考察： 假设有无数台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。 得到一系列噪声波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t)、.。理想时，波形应一致，但实际不然找不到两个完全相同的波形。8/15/20224*讨论：每一条曲线i(t)都是一个随机起伏的时间函数样本函数（确知信号）。无穷多个样本函数的总体在统计学中称作随机函数的总集随机过程(t) 。每一条曲线i(t)都是随机过程的一个实现/样本。在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值(t1) ，发

3、现他们的值是不同的 是一个随机量（随机变量）。8/15/20225*概括： 随机过程(t)的含义属性有两点： （1）(t)是t 的函数，是由所有的样本函数构成的； （2）(t)在任一时刻 t1上的取值(t1)不是确定的，是一个随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。故随机过程可以看做是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。概率论：随机变量分析分布函数和概率密度8/15/20226*3.1.1 随机过程的分布函数. 分布函数和概率密度（1）一维描述 一维分布函数 随机过程(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量(t1)，则随机变量(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1

4、，t1）=P(t1) x1 （3.1.1） 叫做随机过程(t)的一维分布函数。8/15/20227* 一维概率密度函数 若一维分布函数对x1的偏导数存在，则 叫做随机过程(t)的一维概率密度。 （2）二维描述随机过程不同时刻取值之间的相互关系 二维分布函数 若随机过程(t)在时刻 t1 的取值是随机变量(t1)，而在时刻t2的取值是随机变量(t2)，则(t1)与(t2)构成一个二元随机变量(t1)，(t2)，称 F2（x1，x2；t1，t2）= P(t1)x1；(t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数8/15/20228*二维概率密度函数 若二维分布函数对x1和x2二阶偏导数存在，则叫做随

5、机过程(t)的二维概率密度。同理，可以定义随机过程的多维分布函数及多维概率密度分别为8/15/20229*统计独立 对于任何n个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn）则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。意义： 可以把随机过程(t)当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。 显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。8/15/202210*3.1.2.随机过程的数字特征引

6、言 问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。 方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时间平均”两种。 统计平均: 对随机过程(t)某一特定时刻不同实现的可能取值(ti)随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。 时间平均:对随机过程(t)的某一特定实现即样本函数i(t) ，用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。8/15/202211*（一）统计平均1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量(t)的均值称为随机过程的均值，也称为统

7、计平均或数学期望。即注：t1t，x1 x 物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。2.均方值 随机变量(t)的二阶原点矩称为随机过程(t)的均方值。相对于横轴的振动程度 。8/15/202212*3.方差 随机变量(t)的二阶中心矩称为随机过程(t)的方差。 相对于均值的振动程度 。8/15/202213*4.协方差与相关函数随机过程不同时刻取值之间的相互关系 衡量随机过程(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量(t1)和(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相关函数R(t1，t2)来表示。（1）相关函数 (t1)和(t2)的二阶原点混合矩称为随机过程(t)的相关函数。

8、（2）协方差函数（3）协方差与相关函数的关系8/15/202214*称为随机过程(t)的协方差。（3）协方差与相关函数的关系 显然，有以上两式可得 B(t1，t2)=R(t1，t2)-E(t1)E(t2) 若E(t1)或E(t2)为零，则B(t1，t2)= R(t1，t2) 这里的R(t1，t2)及B(t1，t2)由于是衡量同一过程的相关程度，因此又常分别称为自相关函数和自协方差函数。 （2）协方差函数(t1)和(t2)的二阶中心混合矩8/15/202215*5.互协方差与互相关函数不同随机过程间的关系（1）互相关函数 设(t)与(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为R(t1，t2)=

9、E(t1)(t2) 如果两个随机过程的互相关函数为零，即下列条件成立R(t1，t2)= 0 则称它们是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相关的。（2）互协方差 互协方差定义为 B(t1，t2)=E(t1)-a(t1)E(t2)-a(t2) 若 B(t1，t2)= 0 则两个过程是不相关的。8/15/202216*（二）时间平均 非周期函数平均值1.平均值（或直流分量） 设i(t)是随机过程(t)的一个典型的样本函数，则样本函数的时间平均为注：结果与时间无关，为常数。2. 均方值（或总平均功率）8/15/202217*3.方差（或交流功率）4.自相关函数 样本函数i(t)的自相

10、关函数定义为8/15/202218*自相关函数的性质：均方值（平均功率）这是当然偶函数8/15/202219*3.2 平稳随机过程3.2.1定义1.狭义平稳随机过程 假设一个随机过程(t)，如果它的任何n维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和，随机过程(t)的n 维概率密度函数满足fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）则称(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。8/15/202220*显见，平稳随机过程具有如下特点：统计特性将不随时间的推移而不同。它的一维分布与t无关，二维分布仅与时间间隔有关。数字特征变

11、得“平稳”、简单：数学期望与 t 无关：a(t)= a ；自相关函数只与有关：R(t1，t1+)=R().fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =fn（x1，x2，.，xn；t1+，t2+，.，tn+）8/15/202221*2.广义平稳随机过程 一随机过程(t)，如果它满足： （1）数学期望与 t 无关，即：a(t)=a ； （2）自相关函数只与时间间隔有关，即： R(t1，t1+)=R()。 则称(t)是广义平稳的随机过程。意义：平稳随机过程具有各态历经性十分有趣，非常有用。通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳的随机过程。8/15/202222* 则说(t)为具有各

12、态历经性（遍历性）的平稳随机过程.。 2.各态历经的含义 随机过程的任一实现（样本函数），都经历了随机过程的所有的可能状态。3.各态历经随机过程的特点好处 任何一个实现都能代替整个随机过程。给实际测量、分析计算带来极大方便。3.2.2 平稳随机过程的各态历经性1.各态历经随机过程 假设(t)是一个平稳随机过程，如果有下列式子成立8/15/202223* 例3-1 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。分析【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望8/15/202224*自相关函数令t2 t1 = ，得到可见， (t

13、)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。8/15/202225* (2) 求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。8/15/202226*3.2.3 平稳随机过程的自相关函数 特别重要，因为： （1）平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述； （2）相关函数揭示了随机过程的频谱特性。1.相关函数的性质 设(t)为实平稳随机过程，相关函数R()=E(t)(t+)具有如下性质：（1） R(0)=E2 (t)= s -(t)的平均功率。（2） R()=R(-) -R()是偶函数。 （3） |

14、R()|R(0) - R() 的上界。（4） R()=E2(t)=a2 -(t)的直流功率。（5）R(0)R()=2 -方差，(t)的交流功率。8/15/202227*3.2.4 平稳随机过程的自相关函数R()与功率谱密度P()的关系 -相关函数R()的又一重要性质。 设：(t)平稳，R()绝对可积则简记为：P()R()意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。8/15/202228*假设f(t)为时间无限信号（功率信号），若用 fT(t)代表f(t)在-T/2tT/2区间上的短截函数， 即只要T为有限值fT(t)就具有有限的能量。8/15/202229*功率谱密度定义对

15、于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为8/15/202230*功率谱密度的计算维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。8/15/202231*在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率

16、：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：即式中 8/15/202232*功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。 8/15/202233*归纳：时间平均验证平稳具有随机过程各态历经性：统计平均P() R()例3.2 某随机相位信号(t)=sin(0t+)，其中：0为常数，随机相位在（0，2）内均匀分布。求(t)的自相关函数、功率谱密度和平均功率。（1

17、） R(0)=E2 (t)= s -平均功率（2） R()=E2(t)=a2 -直流功率/均值（3） R(0)R()=2 -方差，交流功率8/15/202234*解：（1）验证(t)的平稳性-与t无关。 -仅与有关。 故(t)是广义平稳的随机过程。例3.2 某随机相位信号(t)=sin(0t+)，其中：0为常数，随机相位在（0，2）内均匀分布。求(t)的自相关函数、功率谱密度和平均功率。8/15/202235*（2）根据平稳随机过程的性质，得8/15/202236*3.3 高斯过程3.3.1 定义 一随机过程(t)，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则称其为高斯过程。又称正态随机过程。 数学表

18、达式 一维时：8/15/202237*3.3.2 性质由定义可分析出（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。（2）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间若不相关，则它们也是统计独立的。 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） f1（x1，t1）f1（x2，t2）.，f1（xn，tn） （3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线性系统）角度。8/15/202238* 则称为服从正态分布的随机变量3.3.3 高斯随机变量随机变量研究1.一维概率密度函数若随机变量的概率密度函数可表示成8/15/202239*（

19、2）性质1）对称于直线x=a; 2）在 内单调上升，在 内单调下降，且在a点处达到极大值;3） 4）a 表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中的程度。5）当a0 ， 时，相应的正态分布称为标准化正态分布： 8/15/202240*2.正态分布函数（1）一般表示式已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为： 这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数（可查表）来表述。8/15/202241*（2）用概率积分函数表示 定义概率积分函数(简称概率积分)为则正态分布函数可表示为 8/15/202242*（3) 用误差函数表示 正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。 1）误差函数定

20、义误差函数：互补误差函数：8/15/202243*2）误差函数的性质误差函数是递增函数，它具有如下性质： 互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：8/15/202244*3）用误差函数表示正态分布函数 xa 时：8/15/202245* xa综上：8/15/202246*3.4 随机过程通过线性系统3.4.1 线性系统-复习 设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为 ：h(t)、H()，则：H()h(t)。周知：线性系统响应v0(t)等于输入信号vi(t)与冲击响应h(t)的卷积，即：8/15/202247*系统满足物理可实现条件: h(t)=0，t0；输入有界（满足狄里赫利条件）。则有：理解：

21、上式对于确知信号是没有问题的。当输入是随机过程 (t)的一个实现i1(t)随机函数时，便有输出随机过程o1(t)。进一步：当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程o(t)。且有： 8/15/202248*任务：假设i(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求0(t)的统计特性。注：考察一个实现就够了。8/15/202249*3.4.2 0(t)的统计特性 1.0(t)的平稳性（1）均值-与t无关。结论：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H(0)相乘。且E0(t)与t无关。8/15/202250*其中：根据平稳性 Ei(t-)i(t+-)=Ri(+-)（2）相关函数仅与有关。仅与时间

22、差有关。8/15/202251*综上: 0(t)平稳。即：2. 0(t)的功率谱密度及分布函数（1） 功率谱密度 因为 0(t)广义平稳 所以 P0 ()R0() 可证得 P0()=H()2Pi()8/15/202252*输出过程o(t)的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：得出令 = + - ，代入上式，得到即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro() 8/15/202253*（2）分布函数一个十分有用的结论：若线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理看， 可以表示为： 由于已假设i

23、(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。8/15/202254*例3.3 功率谱密度n0/2白噪声，经LPF：求输出的： Pno()、Ro()、噪声功率N。解：8/15/202255*3.5 窄带随机过程窄带过程1.什么叫窄带随机过程？ 频谱: 所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫。 时域：用示波器观察，看到某个实现（样本函数）的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正

24、弦。8/15/202256*问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的? 2. 表达式两种！8/15/202257*3.5.1 c(t)、s(t)的统计特性数学期望：对下式求数学期望：得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t) = 0 ，所以 8/15/202258*(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式式中8/15/202259*因为(t)是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。 因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为因与时间t无关，以下二式自然成立8/15/202260*所以，上式变为再令 t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，

25、若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。进一步分析，下两式应同时成立，故有上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。8/15/202261*根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函数，所以同理可证 将代入下两式得到即上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 8/15/202262*根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。根据可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又

26、由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。 8/15/202263*结论1若(t)：均值为0、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过程。则：（1）c(t)、s(t)同样是平稳高斯随机过程；（2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同(都为0)； （3）c2=s2=2=2方差相同，同于(t) ；（4）在同一时刻（即=0）上得到的c及s互相关函数为0，即c与s互不相关，或说统计独立。8/15/202264*3.5.2 a(t)、(t)的统计特性联合概率密度函数 f (a , )根据概率论知识有由可以求得8/15/202265*式中a 0, = (0 2)8/15/202266*a

27、的一维概率密度函数利用边际分布可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。8/15/202267*的一维概率密度函数同样利用边际分布可见， 服从均匀分布。8/15/202268*结论2若(t)：均值为0、方差为2、窄带平稳高斯随机过程。则： （1）其包络a(t)的一维pdf 呈瑞利分布；（2）其相位(t)的一维pdf呈均匀分布；（3） a(t)与(t)统计独立。8/15/202269*3.6 正弦信号加窄带高斯噪声3.6.1 合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为：其中：-正弦载波:假定A、c为常数;为随机变量，其一维pdf 均匀分布，即： f()=1/(2)， 02-窄带随

28、机过程: nc(t)-n(t)之同相分量； ns(t)-n(t)之正交分量。8/15/202270*代入，整理：其中：8/15/202271*3.6.2 统计特性（1）同相分量和正交分量的统计特性结论1若：n(t) 均值为0、方差为2、窄带平稳高斯随机过程; 给定。则：（1）zc(t)、zs(t)同样是窄带平稳高斯随机过程；（2）且zc2=zs2=n2=2方差相同，同于n(t) ；（3）但：Ezc(t)= Ezs(t)=（4）在同一时刻（即=0）上得到的zc及zs互相关函数为0，即zc与zs互不相关，或说统计独立。8/15/202272*包络的概率密度函数 f (z)利用上一节的结果，如果值已

29、给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为(2) 包络和相位的统计特性8/15/202273*利用与上一节分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间的随机变量关系可以求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数8/15/202274*然后求给定条件下的边际分布， 即由于故有式中I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数8/15/202275*因此由上式可见，f (, z)与无关，故的包络z的概率密度函数为称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。 8/15/202276*讨论1）当信号很小时，即A 0时，即信号功率与噪声功率的比值(A2/2n2) 0，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。2）当A2/2n2很大时，有这时上式近似为高斯分布，即8/15/202277*图3-5