实变函数试题库及参考答案

1、实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题.设A,B为集合，则ABUBAUB（用描述集合间关系的符号填写）.设A是B的子集，则AB（用描述集合间关系的符号填写）.如果E中聚点都属于E,则称E是.有限个开集的交是.设Ei、E2是可测集，则mE1UE2mEimE2（用描述集合间关系的符号填写）.设E?n是可数集，则m*E0.设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a?1,Exfxa是,则称fx在E上可测.可测函数列的上极限也是函数.设fnxfx,gnxgx,则fnxgnx.设fx在E上L可积，则fx在E上二、选择题TOC o 1-5 h z.下列集合关系成立的是（）.若ERn是开集，则（）.设fn

2、x是E上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）.设E0,1中无理数，则（）AE是不可数集BE是闭集.设E?“是无限集，则（）AE可以和自身的某个真子集对等.设fx是E上的可测函数，则（A函数fx在E上可测CE中没有内点DmE1BEa（a为自然数集的基数）Bfx在E的可测子集上可测Cfx是有界的Dfx是简单函数的极限.设fx是a,b上的有界函数，且黎曼可积，则()Afx在a,b上可测Bfx在a,b上L可积Cfx在a,b上几乎处处连续Dfx在a,b上几乎处处等于某个连续函数四、判断题.可数个闭集的并是闭集.().可数个可测集的并是可测集.TOC o 1-5 h z(

3、).相等的集合是对等的.().称fx,gx在E上几乎处处相等是指使fxgx的x全体是可测集.()五、定义题.简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.简述点集的边界点，聚点和内点的关系.简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？.a,b上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题x2xE.设fx3，其中E为0,1中有理数集，求fxdx.TOC o 1-5 h zx3x0,1E0,1.设rn为0,1中全体有理数，fnx1xr1,r2，Lrn,求limfnxdx.0 x0,1r1,r2,Lrnn0,1七、证明题.证明集合等式：(AB)UBAUB.设E是0,1中的无理数集，则E是可测集，且mE

4、1.设f(x),g(x)是E上的可测函数，则Ex|f(x)g(x)是可测集.设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a0,有mEx|f(x)|a-|f(x)dxaE.设f(x)是E上的L可积函数，En是E的一列可测子集，且limmEn0,则n实变函数试题库及参考答案(1)本科、填空题1尸2._3.闭集4.开集5._6尸7.可测集8.可测9.fxgx10.可积二、单选题ABB三、多选题ACDABABDABC四、判断题xVVV五、定义题.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A,A的募集2A的基数大于A的基数.答：内点一定是聚点，边

5、界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限TOC o 1-5 h z.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为mE0,所以fxx3,a.e于0,1,于是fxdxx3dx,0,10,1而x3在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系,一一1因此fxdx-.0,142.解：显然fnx在0,1上可测，另外由fnx定义知，fnx0,a.e于0,1n1所以fnxdx0dx00,10,1因此limfnxdx0n0,1七、证明题.证明.证明设F是0,1中的有理数集，则F是可数集，从而mF0,因此F是可测集从而Fc可测，又E0,1F0,1IFc,故E是可测集.由于EIF,所以1m0,1m(EUF)mEmF0mF,故mF1.证明设7为全体有理数所成之集，则因为f(x),g(x)是E上的可测函数，所以Ex|f(x)%,Ex|g(x)rn是可测集,n1,2,L，于是由可测集性质知Ex|f(x)g(x)是可测集.证明因为f(x)在E上可测，所以|f(x)|在E上非负可测，由非负可测函数积分性质，而adxamEx|f(x)|a,所以Ex|f(x)|a.证明因为limmEn0,所以0,N1