考研数学历年真题答案解析-2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试卷

1、1当工.0时，若x-lanx与小是同阶无穷小，则左=()B.2C.3D.4参考答案C答案解析X5 7 x3.x-tanx一,lira-二一一lim三二cO 所以左=3.故选 C 3 0 -310./)已知方程x$-5x十左=0有3个不同的实根，则的取值范围()A.(-s,-4)(4,十 s)-4,4D.(-4,4)参考答案D答案解析 #方法一：直接令片为0，则5工二工(-5) = 0正好三个解x = 0、工=士5,.所以才=0满足题意，故选D.方法二：令/(工)=.一一5弋+上，则/(k) = 5/一 5 ,令(工)=0得 出工=1.当 T (-1,1)时，/(A) 单调递增.所以/(.V)有

2、极大值/( 1) = -1 + 5 +A=4 +上，极小值/(1) = 1一5 +8=左一4.又因为 lim fx = oo, lim f(x) = +oo.若要一一5十无=0有3个不同的实根,则有/(1)0,/(1)0.1一40.所以一4无4,故选D.3己知微分方程y 4-夕 +如=CQr的通解为旷=(q + C2x)ex 4- 0，.则,c依次为()A. 1,0.1B.L0,2C.2,1,3D.2,1.4参考答案D答案解析 5 由题知，齐次方程的通解为y=（G + C?、），非齐次方程的特解为/=因而特征方程外十十。二0有二重根 =/L=-l,所以4=也二-1为特征方程（/+1）? =0

3、,即无十22+1二0的解,所以 4 = 2,1 = 1.把/二，代入方程V + 2/ + y=城得c = 4.故选D.400OC若Z “绝对收敛，条件收敛，则（）1=4 条件收敛绝对收敛n=lc.（-y.）收敛nAD$（+J 发散7参考答案B答案解析由%条件收敛，由级数收敛的必要条件知lim%=0,从而数 TOC o 1-5 h z T if列上，有界.即存在河0.对于任意的正整数,有殳 7111因为I /=V初77 J又由己知X I ” I收敛，根据比较308判别法可得2犷|收敛,即2%绝对收敛,故选b 刀=Jn=设是四阶矩阵，/是A的伴随矩阵，若线性方程组4V = 0的基础解系中只有2个向

4、量，则，(/)=()A.0B.1C.2D.3参考答案A答案解析因为线性方程组上=0的基础解系中只有2个向量，所以4一/01) = 2.= /(4)=2 , r(/)3.故/01) = 0 ,故选 A.6设N是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若/+,4 = 2上.且|且|=4,则二次型*乙公的规范形为()By：十 * -ylCj-专-J3参考答案C答案解析由M + z =可知矩阵的特征值满足方程/ + 4-2=0,解得2=1或彳=一2.再由| N |= 4 ,可知4 = L 4 = 4 = -2,所以规范形为p； - V2 -yi 故选C.设48为随机事件，则尸。)二尸(3)的充分必要条件是(

5、)A,尸U5)二尸(+尸(8)B .尸(48) =尸(.4)尸(5)C.P(由二 P(BD.P(AB)=P(AB)参考答案C答案解析P(A 5)=尸(.4)-P(A B),P(b2)=尸(B) - PQB).因此?(45)二尸(8/)0尸(4)=尸(3),故选C.)设随机变量X与y相互独立，且都服从止态分布NQ/.b2),则PX-Y1()A.与/无关，而与，有关B.与“有关,而与，无关C.与,b2都有关D.与/人。2都尢关参考答案A答案解析因为XN3. W),NG【d，且X. Y相互独立, Y所以 X - V N(0.2b，一 N(0.1). x/2a所以尸|丫_门 1=尸因此与人有关，与无关

6、g故选A. # 11 -412 2-35+ DJ2参考答案e 答案解析r11 111111 十十 +1-2 2-3107T曲线 y = xsiii .r+2 cos .r(- x =xsiii x+ 2cosx 得出 (0,2),(D.当一(工0时，)0，当0 x :时，yr 0,故(0.2)不是 22曲线的拐点.当工 .丫(万时，yf 0,当;70,故(7.一2)是22曲线的拐点.综上，曲线的拐点为5,-2).已知函数八x）=,H7d3贝I1/小-二1-20参考答案18答案解析卜力加1 1*1c11 fl Q二.1%”（亡）=ya）以- 卜7 a）小=-；卜，/，（工）dx = - ；1；%

7、” 也十 x小1 1 2八屋二一一 一(1 +X )4 3 31-201812以 4,分别表示工方两种商品的价格,设商品工的需求函数为 QA=500-pA2-pAp2p2f 贝 ij 当2=10,幺=20 时，商品月的 需求量对自身价格的弹性7a” 0）为.参考答案04答案解析 商品A的需求量对自身价格的弹性恐 Pa 2Pa+PaPb I. ,dp & Qa 500- 一 pAps + 2ps当 pA 10,外二2。时，7.14 。4131 0-1、（O已知矩阵彳=1 1-1 .b=1 .若线性方程组4r=0有无0 1 a2-1）匕穷多个解，则=. 参考答案答案解析 因为七=b有无穷多解，故7

8、(4) = N4/)E-1 =.2参考答案3答案解析由条件01 知 EX - jj.x/(、)K二；二杰=g.0,工 0,2由 F(x) = j： ,得 F(x) = 1-, xX。 = 1 小=g.15fx 0己知八的二. 求/(X),并求/(X)的极值.W + 1,2xr (l+lnx),.t0, f (x)-+ 工 vO,i i _2极大值J(O)= L极小值 /(T) = 1_=e 参考答案e 答案解析当 K 0 时，/= (+，= /也丁2 In K + 2x -) = 2x2x(1 + 111 A ); X当 x 0 时,/(x) = (xex + l)f = ex + xe =

9、ex(x +1).当”0时,rr T r -1 2.%lnx(O)=lim“ 八，二 lim二 bm二 hm二 y ,Y-O* X r-rfT x r-MT 工 r-T x即/(O)不存在.因此,(、)j2/(l + h0e (x+1), x 0,令 / V) = 0 得驻点.v =-l,x =当工 -1 或 0 x L 时，/(x) 0 ;e当T 工1时.f (a ) 0.e所以/()在区间(7,-1)和(0)内单调减少.在区间(-LO)和(4,+0C)内单调增加. e_2从而/(工)的极小值为/(-1) = 1-,/(-) = /，极大值为/(0) = 1.e q16设函数/(,v)有二阶

10、连续偏导数.函数g(“)=咛-/(工Wy)，求兽 dx dxdy dy参考答案1-3代一指答案解析由题意知,十二y-月(x + y,I -丁)一 方(二+筋v-y).CX=k _ ZU+y,工 _ y)+/ 0+ x - y).QV因为/()有二阶连续偏导数，故允二R.因此，驾=-5/a-wa-fm dx.巽二1一(左一九)(对一左)二1一尤十左，班乃，* =-皿-)十(力-加)=-工；十2-元所以电+总+总 +3左-及ox cxcy cy17设函数y(x)是微分方程v-xv =段满足条件y(l)=&的特解.(1)求 v(X)：(2)设平面区域。=(x,y)|l x 2,0 j，、，一”,、=

11、 (-l) e sinxrfv = (-1) ,(cosx + sin.v) J次2=-1e1)x +1= 淖,221 + 0 一万 8I4/万/ + 1则s=上一y ” = 我=:2 七 2(1-)2(ex -1)19设a” =卜*7 J-*，乩(77= 0.1,2. ).n 1(1)证明：数列%单调减少,且勺=4_2( = 2,3,);十2(2)求参考答案答案解析C1)略：(2) 1.(1)当 OVkKI 时，awV1-x2 xa/1-.v2 ,则xnsjl-x:去 xyjl-x1 dx，即% 上 生+，从而数列 S” 单调 递减.I J 134二卜Ji -烝=-卜d(1-工)=- Q *

12、 K H 卜 I (1-工 2 族 dx3o 3=? J： Q )-二小二一产57 aLe匚?小 从而有卬=*( = 2,3,).77+2(2)由于凡单调递减，且生0,则2一生% = 1.4-2%又山11乌-=Hui- = L由夹逼定理得11111乌_ =1.4T 非F + 27 f %20 已知向量组I： %=（L1,4）“ =（LO,4）T,0 =（1,2,/ + 3）T；n： A = Q. 1, a + 3）M氏=（0,2,1 -）T次=Q.3, / + 31.若向量组I和向量组II等价，求的取值，并将旦用4,%生线性 表示.七 一1 :当 时，旦=（3 2上）+（2+六）4 +女生，（

13、攵为任意常数）;参考答案当4工1时，03 =加一%答案解析令幺= （%）, = （自血血），贝”/|=1一.|平=2（一1）,因向量组I与II等价,故7(4) = 7伊)=7(45),对矩阵(4 3)作初等行变换,1因为（4刀）=1T 0、0 TOC o 1-5 h z 11101021234 。+ 3 a+3 14 。 + 3,11101 -110220C72 -1 t7-l 1-(7(72 -1当 q = 1 时，r) = r(48) = 2.当二一1 时.r(A) = 2jB) = 3.当 H 1 时.r(T) = 7(15) =尸(4 B) = 3.综上.-1时，向量组I与n等价.因为

14、对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.T 0 2 3 当a=l时，(%的%用)- 0 1-1-20 0 0 0 /故生=七a +七+.工3%的等价方程组为Xj = 3 -2k3,X? = 2十七故居二（3 2上）q+（2 + O% + hz”（上为任意常数）.10 0 1当。工 1 时，(%。3丹)T 010-10 0 11所以2 =6一 + %.21-2 -21 -2 1已知矩阵，二2 x -2与5 =0 -100-20 000相似.v(1)求 3;（2）求可逆矩阵P使得小匕?二6.17-4.1 1参考答案(1) x = 3,j = -2 ； (2) -2 -1 00答案解析(1

15、)因为矩阵j与3相似,所以加(4)=力(5),|/|=1方：,即俨了；解得 矩阵6的特征多项式为|/-用=(2-2乂4+14义+ 2),所以的特征值为2,-1,-2.由于M与8相似，所以.4的特征值也为2,-1,-2.A的属于特征值2的特征向量为。=(1,-2,0尸；A的属于特征值-1的特征向量为刍=(-2,1,O)T ；A的属于特征值-2的特征向量为以=(1-2,-4)t.2 00 记4二(几必备).于是二0-10,1。-2)B的属特征值2的特征向蜃为Q =(L0.0)，:B的属F特征值-1的特征向量为他二(1,-3,0)- ：B的属于特征值-2的特征向蜃为秘二(0.0,1).2 00 记为

16、=(小秘.小)，于是打一，即=0-10,I。4由 gT/4=P;BP，得(4T)t *4与T) = B则 147 = 5.22设随机变量矛与y相互独立，服从参数为1的指数分布，y 的概率 分布为 pr=-i = p. pr = i=i-p(op) 令 z = xr.(1)求z的概率密度；为何值时,X与Z不相关?X与Z是否相互独立？Z的概率密度为上二卜：百1参考答案不独立答案解析(I) z的分梯函数为Fz(z)=PZz=PXY .z Y = -lPr = -1 + PAT zY = 1PF 二 1=pPXp)PX z.当乙 -z) + (l-p)-O- /；当 z N 0 时,是二0 1 + (

17、1 - pPX z = l-(l-pyez.所以Z的概率密度为2(二)=理(?)二pe z 0.234 一零:设总体X的概率密度为/(；，)= 100,x 0是未知参数，4是常数，岗,*2,W 是来总体X的简单随机样本.求4；(2)求夕的最大似然估计量.J = J-； (2)参考答案 唧“x答案解析11)由L /(苍)去=1,得广田.4 一 g十工q田 1- . jZ7i= Q 2= 4 。- df = A, p -dt=A .J bJ。2 而 2所以(2)记知其,%为样本瞥,名,的观测值,则似然函数为o巴一 z，.一乃；I0,其他，对数似然函数为 111 (，) = -hili)cr -Uy (% -)2