小学几何五大模型

1、专业资料整理鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。一、鸟头模型的相关知识1定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。这个模型就叫鸟头模型。其中存在的比例关系就叫做共角定理。2核心：比例模型有：SABCABxACSAADEADxAEBC、鸟头模型的原理剖析证明：在三角形ABC中，连接BE,则有竺缪竺沁ABEABSAABE_AES/XABCAC利用等式的性质,左右两边分别相乘得:SAADESAABEADAEx=x=S/ABESABCAB1c即SAADEA

2、DxAES/XABCABxAC三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1：如图，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积？第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边ADXAE(小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边)大夹边ABXAC第三步：利用鸟头模型结论SAADE：SAABC二小夹边乘积:大夹边乘积=(2X3):(5X4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面

3、积是10份。第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6*3=2平方厘米/份；所求三角形ABC的面积是10份，2X10=20平方厘米。例2：如图，已知BC：CD=5:2,AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE的面积？第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CDXCE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CAXCB第三步：利用鸟头模型结论SACDE：SAABC二小夹边乘积：大夹边乘积=(2X1):(2X5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是

4、20平方厘米，对应5份，20*5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，4X1=4平方厘米。比例模型版块威力最大且最难掌握的就是风筝模型！风筝模型命题很容易拉开难度，既可以出基础题，也可以作为爆难的华杯赛全国总决赛题目（2013年18届华杯赛全国总决赛笔试二试第4题），所以筝模型是各大杯赛命题老师非常喜欢考察的第知识点。观察发现，可以用来算比值的都是这个角形！“风筝的骨架”，而能算的面积都是骨架连起来之后构成的三所以应用风筝模型的时候，第一步是找叉叉。“风筝的骨架”，第二步是把骨架连起来，即先找叉叉，再包命题老师最喜欢考的是标红的面积比，观察能力。因为这种大块的面积比较隐蔽，适合考察同

5、学们在图形中的cAAODAOSSyDOSyBO【题目】沙漏模型如图，正方形肿CD中，E分别是仞的中点.迂知正方形面积为匚求三角形MV的面积是多少?格+式专业资料整理【小升初奥数专题】几何之五大模型（已更新完）2015-12-1200:00一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等;几何五大模型2、所个，角形高相等面积之比等于底之比如图曲1/：；bsub2/sub=a:、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如/图所示，Ssub1/sub、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SsubACD/sub二SsubSsub2/sub=a:b；BCD/sub；反之，如果Ssub

6、ACD/sub=SsubB则可知直线AB平行于CDo例、如图，三角形ABC的面积是24,D、DEF的面积。BDE、F分别是BC、AC、AD1详彻SI?殻现（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形;格+式专业资料整理2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：SsubAABC/sub：SsubAADE/sub二（ABXAC）：（ADXAE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE,根据等积变化模型知，SsubAADE/sub：ABE/

7、su：CBE/sub二AE：CE,SsubABE/sub=AD：AB、SsubbSsub所以ABE/sub：(SsubAABE/sub+SsubCBE/sub)二AE：AC，因此SsubAADE/sub：SsubAABC/sub二(SsubAADE/sub：SsubAABE/sub)X(SsubAABE/sub：SsubABC/sub例、如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2,AE：ADE的面积为12平方厘米，求ABC的面积。【详解】根据鸟头模型可知：九皿沾3=|血?）儿炉冥血人（平方厘米人（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）订丿5：=$4（因为f

8、l所I丄Sgc-S泊聽S辺耽50（7帛:缶=a2:b2Sj:5q：5:：SA=a21b1iab.abjABCD,AB与CD平行，对角线AC、BD交于点0,已知AAOB、25平方厘米、35平方厘米，求梯形AB?CD=5：h所以為如：泗：仞订歩：725:4比即热而屯逊=也=巧平方厘米，所以梯形ABM的面树九25+35梯形S的对应粉数为（a+疔。BoC口的面积分别为2、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:（平方厘米人禺話:场或者邑縄胡細/GOC=（Si+S:S+SJ例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO

9、的长【详解】由任意四边形蝴蝶定理的性质知AO.OC=SzScd=1:3*OC=3AO=3X2=6,所以OCrOD=6:3=2:10牒关系与我们形供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似;2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。有似模型大致分为金字塔模型、

10、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都澤DE这样的一对平行线!例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少?AE【详解】如图所示连接环构造燕尾模型.根据燕尾模型性质可糾RD1竺_H1MBF(?份*L：护=4x现设-1你则酊二2份.S/2你纭心悅、5二=2.4所以比如0皿=2吃4=4.U优、=2-Sc-224,4X9=45(平方J1米)。等积变换模型的边长是中的E、F、G分别是正方ABCD三条边的三等分点，如果正方形格+式ABCD，BE二AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，ABCD与四边专业资料整理【详解把另外三个三等分点标出之后，正方形的

11、3条边了相等的三段把点H和这些分点*正方形的顶点连接.这割咸了9吓形状各不相同的三角形、同时我们把空白部分的标记1乜这9个三角形的底边都杲正方形边檢的三分之阴影的3个三角形。根据等积变换模型可知.S边上的阴影三角形的面积等*Bf边上的阴影三角形与第3/个三甬形相等；AB边JJ&个三角形相等总因此，阴影面积是空白面积的二分之一,之一.即=12X12-3=48.例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=P【详解】如图所示,连接C职DE?由于DQ*HE平行，5=5i同喪根据DC、辭平行，有S胡遊=$畑

12、；贸由于四边形ABCD为直角梯形，所以1卢甸i11=-(5+?X5+3-x5x5-7n7iSjTDf=S轉:-孔匠_5角形阿的面积为阪*鸟头(共角)定理模型例1、如图所示，平行四边形平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形格+式专业资料整理【详解】如图所示连接BD,由于在ABBAEBF中.厶迪C补，所以根据鸟头定理有S如肿1C_1PS曲FBEBFlxr因为Sgc平舒吐逼akd二所以S如尸=3*同理可得S2_2_18+8+15+3+2=36=1S例2、如图所示，ABC的面积为1,BC=5BD、AC=4EC、DG二GS二SE、AF二FG,求APGS的面积。【详解1首先根据等积变换模型知*二龟叱根

13、据鸟头定理有芒=欝=备乜所以比十沿=寫老“所以=2心对所以S“ADRDlx沁QDQ1x47所以也5；所以（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?详解】如图阳示，连接阴夥四边形的对角线，此时正六:纭如的面积为I他根据正六边形的特殊性质知，BC-2A1理标出各个三角形所占伪数，所以整个正六边形被分咸其中的8你即阴影部分面积粒189例2、如图，长方形别为2、5、8平方厘米,ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分如图所示.连接DBCFc在梯形EDCF中，狠据梯形蝴【详解】耗hoc=1x8=161即Sjj皿狼8+斗=12,霜乌虽例3、如图，已知正方形ABCD的边长

14、为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形10厘米，E为【详解】设我D与九的交点为6连接BE.DFo在梯形BCDE中*白理知，O;CO=Sjtoi7xl0 xl-6-2S（平方厘0:C（?=l:2o又因为F为CE的中点*航以E0-.F02：n在四边形BFM中由蝴蝶定理知，E0:F0=$s$叱（4）相似模型例1、如图，正方形的面积为1,E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC，求阴影部分的面积。格+式格+式专业资料整理120平方厘米，E是AB的中点，F是BC专业资料整理套详解】如图所示作阳垂直BC于点乩GI垂：SBC于点I：jffliCbCH=CG：CF=l：3i因为F是ED的

15、中点所以tBhBC二(6-1)；6=5:6-所认九加丄汎HE13例2、如图，长方形ABCD,E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H,0E垂直于AD,交AD于E点，交AF于0点，已知AH=5【详解】根据长方形的性辰知，AB平行于DF.再根据沙漏模型知码DF=AHHFm又因为丑为HQ的中点:.OS：FD=2、；:O-5:=1G:32利押相似三角形注质可箒AG;DO=AB:OEW:3燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是的中点，求四边形BGHF的面积。4(详解玻口图、连接BHo由于BE与CD平行根据沙曙现设3沁才份，根据燕尾模型知，吸=2粉、!ABCD就是：(1+2+2)X2=10(份)

16、。四边形BGHF占-12010 x2=14平方厘米人例2、如图，在AABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么AABC的面积是阴影GHI面积的几倍?【详解】如图，这接根据燕尾模型乳L也”2，址二血*S一血同理可知$“ci=RD:Djd2:1T所MxSjjcj:$d口AX貂=血住所以务甌创=(1fE、F是BC的三等分点，若ABC的面即AA&C的面和是阴AGHI面积的7倍中例3、如图，在ABC中，点D是AC的中点，点积是1，求四边形CDMF的面积。【详解】如图，辻接CHCNe根据燕屋模型知而=3込屮所以罠曲=4Sgsj*即BM-4DMu所认三、巩固练习1、如图，在角MON的两边上分别

17、有ABC、ABCD、ACDE、ADEF的面积都等于DCF的面积。A、C、E、B、D、F六个点，并且OAB、1，求厶2、如下图，ABCD为平行四边形，厘米，求三角形CDF的面积。EF平行AC,如果的面积为4平方3、如下图，在三角形DGFE面积占三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四边形ABC的几分之几？D/BEFC格+式格+式专业资料整理ABCD的面积为120平方厘米，EBGHF的面积。专业资料整理4、如图，四边形CB二BF、DC二CG、HD=DA，求四边形EFGH的面积是66平方米，EA二AB、ABCD的面积。5、边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF

18、，求三角形AGE的面积。11,三角形BCH7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的边在BC上其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少?8、如图，已知正方形是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形DEBCABCD的边长是12厘AGCD的面积。L)CAIjfB9、如图，正方形米，E、F分别是AB、BC的中点，AF与CE交于点G,求四边形10、如图，在四边形积是12,求平行四边形BODC的面积。ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四边形AE0F的面、巩练习详解lx如图.在角ION的漏边上分别有A

19、.C.E.BxD.卩六个点.井目AOAB+AABC.ABCD.AGUE.ADEF的面和都等于1.求ZdCT的面私驻【详解磁个題我们可以用等积变换来解.由于三角形OCD的面积是可以求岀的.所以只要求出皿DE就能求岀厶刚的面积鼻因为OD:DF=服5产四:1,所以Sg=卜3二扌。2、如下臥ABCD为平齐四边形.EF平行AC$U果AADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面札【谦解】如图所云连接血CE（因为平行四边形对边平行.翫以根据同底等高知SjBF=_!、jcdf$乂0局理*覩据AC、EF平仃所以S乂曙5土併所乩比砂=$远=4平方）1米in3如T图.在三角形ABC中，BD=2AD,AZ2CG,B

20、E=EF二FG求四边形DGFE和占三角形ABC的几分之几？BADAG所以.55赵寻胡Sgt1=-sc【详解】根据鸟头模型的性质有:也G二詈%詈Sgc=卜扌仏c二詁3cABAC3392，锻赎；J=九畛弘莎=Sqc4如图.四边形ABCD的面积廿H、fhfi边形EFGH的面积是66平方米，EA=ABxCB=BFIXHSHB=DAS求【详解】如图连接由鸟头模型知S沁CDBC1X1CXF!x23即$农严込5曲同理可得丄宓$沁；所以G+=?吐卫砧仞连接AC同理可得，S皿尸+孔呢“比腼沖所以S；=5电兰3*即弘护肋仞=66+2i32(半万米儿乩边长为1的正方形ABCD中.BAZEGFODF,求三角形AGE的

21、面黑【详解】这接即-况酣F二号跃亍黑)X空疋力旳凰血石氓方感册过2由蝴蝶定理可得：岭存,1=6瓦GQF=-132少=Eo血十dwia=2專活JL8CD_石沫亓屈=诈应a=亍【详解】连接E化显然四边形AD呵和吕CEF都是梯形于是三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积$三錯形BCH的面积等于三角形E阳的面积？所以四边形EGFH的面积为11+23-34仏如图.三角形ABC星一块锐角三角形余料.BO120WK.高AD=80札如图.方形被一些直线分成了若于个#或纬已知三角形ADG的面和为臺米廿规在要把它加工成一1正方瞬件”是正方形的一边在BC上.其余两个顶点分别在AB*AC,这个正方形零件的边长是多少*三现设正方形的边长为乂毫