回转薄壳应力分析

1、 第二节回转薄壳应力分析概念壳体：以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件壳体中面：与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）maxWl/10。薄壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/DiW1.2。厚壁圆筒：外直径与内直径的比值Do/Di1.2。3.2.1薄壳圆筒的应力1基本假设：壳体材料连续、均匀、各向同性；受载后的变形是弹性小变形；壳壁各层纤维在变形后互不挤压。图2-1薄壁圆筒在内压作用下的应力2B点受力分析：内压P（B点）：轴向：经向应力或轴向应力O圆周的切线方向：周向应力或环向应力Oe壁厚方向：径向应力Or三向应力状态f（o

2、、Oo）f二向应力状态e甲r因而薄壳圆筒b点受力简化成二向应力o屮和oe（见图2-1）3应力求解(a)(b)截面法图2-2薄壁圆筒在压力作用下的力平衡应力求解（静定，图2-2）兀轴向平衡一D2p=兀Dtc得pDc=-4申申4t,X圆周平衡2J2pRsinada=2tc得cpD0i002t解得c=2c0屮3.2.2回转薄壳的无力矩理论、回转薄壳的几何要素：回转薄壳：中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。母线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线,如OA极点：中面与回转轴的交点。经线平面：通过回转轴的平面。经线：经线平面与中面的交线,即OA平行圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为

3、平行圆。中面法线：过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径（K1B）等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B）平行圆半径r：平行圆半径。x、zrRiR2K2图2-3回转薄壳的几何要素同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。r与R1、R2的关系：r=R2sin二、无力矩理论与有力矩理论平行圆经线a.b.图2-4壳中的内力分量c.内力：薄膜内力：N、N、N、N无力矩理论或薄膜理论（静定）甲0甲66甲弯曲内力

4、：有力矩理论或弯曲理论（静不定）A、横向剪力Q屮、Q6B、弯矩转矩：M屮、M0、M屮0、M0屮、即无力矩理论:只考虑薄膜内力,忽略弯曲内力的壳体理论。有力矩理论:同时考虑薄膜内力和弯曲内力的壳体理论。无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。3.2.3无力矩理论的基本方程一、壳体微元及其内力分量微元体：abcd经线ab弧长：dl=Rd申11截线bd长：dl=rd02微元体abdc的面积：dA=Rrd甲d01压力载荷：p=p（申）5i图2-5微元体的力平衡二、微元平衡方程(图2-

5、5)微体法线方向的力平衡：atRsinqdqd0+atRdqd0sinq=pRRsinqdqd0申2eii2得+P(2-3)入RRti2微元平衡方程。又称拉普拉斯方程。oaDdropmmnnoo图2-6部分容器静力平衡三、区域平衡方程(图2-6)压力在0-0z轴方向产生的合力：V二2nlrmprdr0作用在截面m-M上内力的轴向分量：V二2兀ratcosamq区域平衡方程式：V二V二2兀ratcosa(2-4)mq求解步骤：由求轴向力V由(2-4)式求得aq将a代入(2-3)式求得aeqe无力矩理论的两个基本方程:微元平衡方程、区域平衡方程3.2.4无力矩理论的应用分析几种工程中典型回转薄壳的

6、薄膜应力：承受气体内压的回转薄壳：a球形薄壳b薄壁圆筒c锥形壳体 d椭球形壳体储存液体的回转薄壳：a圆筒形壳体b球形壳体一、承受气体内压的回转薄壳回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为：V=2兀Jrmprdr0=兀r2pm由式(2-4)得：c=V=pTm=墮(2-5)92兀rtcocs12cost2mR将式(2-5)代入式(2-3)得：c=c(2-2)(2-6)e申R1A、球形壳体球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R将曲率半径代入式(2-5)和式(2-6)得：c=c=c=(2-7)e2t结论a.c=c=pR2t受力均匀且小。所以大型储罐制成

7、球形较经济。b.变形后仍为球形。B、薄壁圆筒薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为：Rl=g；R2=R将Rl、R2代入(2-5)和式(2-6)得：c=空,c=竺(2-8)et92tc=2ce薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍。结论a.c=2c=pRt的应用：(a)开椭圆孔时，应使短轴轴线。e9(b)纵焊缝受ce仁强度I,薄弱,.质量要求(A类)eb.变形后仍为圆筒壳C、锥形壳体Rl=gR=xtgc2-9)由式(2-5)、(2-6)得：c=PR=pxtga=pretttcoc2t2tcocs离锥顶越远应力越周向应力和经向应力与X呈线性关系，锥顶处应力为零,大，且周向应力是经向应力的两

8、倍；锥壳的半锥角a是确定壳体应力的一个重要参量。当a-0。时，锥壳的应力一圆筒的壳体应力。当a-90。时，锥体变成平板，应力一无限大。变形后为准锥形。D、椭球形壳体推导思路：椭圆曲线方程一R1和R2由式（2-5）（2-6）-c,co屮)rpa4-x2(a2t2tb_ldl_)b2-10)pa4-x2(ab22tbcoa4-x2(ab)2又称胡金伯格方程-cc结论：pa22bt椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。在壳体顶点处(x=0,y=b)aR1A=R2A=-b椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴之比a/b有关，a=b时，椭球壳f球壳，最大应力为圆筒壳中c的一半，a/bI，

9、椭球壳中应力f,0如图2-9所示。椭球壳承受均匀内压时，在任何a/b值下：c恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐递减至最小值。0当%、迂时，应力将变号。从拉应力变为压应力。随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。(即:内压椭球有可能周向失稳)措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。变形后为椭球壳。工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2oc的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反：0即顶点处为P-；，赤道上为-P-；c申恒是拉应力，在顶点处达最大值为Pt变形后为一般椭圆形封头二、储存液体的回转薄壳与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层深度变化。a.圆筒形壳体（气

10、+液）联合作用图2-10储存液体的圆筒形壳筒壁上任一点A承受的压力：p=p+pgx0由式（2-3）得叮（P+PgX）R(2-11a)pR(2-11b)作垂直于回转轴的任一横截面，由上部壳体轴向力平衡得：2兀RQ=nR2p申0思考：若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向应力，如何求？b.球形壳体（仅受液压作用）任点M处的液体静压力为:P=pgRd-cos申）当99（支座A-A以下）:0由式(2-4)得c二叱(5+2COS29)96t1-cos9(2-13a)由式(2-3)得c=P3RL(1-6cos92C0S29)(2-13b)e6t1-cos9比较式（2-12）和式（2-13）,支座处（

11、9=9）0c和c不连续，9e突变量为：土2PgR（这个突变量，是由支座反力G引起的）。3tsin290支座附近的球壳发生局部弯曲，以保持球壳应力与位移的连续性。因此，支座处应力的计算，必须用有力矩理论进行分析，而上述用无力矩理论计算得到的壳体薄膜应力，只有远离支座处才与实际相符。三、无力矩理论应用条件壳体的厚度、中面曲率和载荷连续，没有突变，且构成壳体的材料的物理性能相同。壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用。壳体的边界处的约束可沿经线的切线方向，不得限制边界处的转角与挠度。对很多实际问题：无力矩理论求解+有力矩理论修正3.2.5回转薄壳的不连续分析：不连续效应与不连续分析的基本方法圆柱壳

12、受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解组合壳不连续应力的计算举例不连续应力的特性 图2-12组合壳一、不连续效应与不连续分析的基本方法：实际壳体结构（图2-12）-壳体组合一结构不连续1、不连续效应不连续效应:由于结构不连续，组合壳在连接处附近的局部区域出现衰减很快的应力增大现象，称为“不连续效应”或“边缘效应”。不连续应力:由此引起的局部应力称为“不连续应力”或“边缘应力”。分析组合壳不连续应力的方法，在工程上称为“不连续分析”。边缘问题求解由有力矩理论变形协调方程2、不连续分析的基本方法：（边缘应力）=薄膜解（一次薄膜应力）+弯曲解（二次应力）静不定）得w=ww

13、p+WQo+WM0=WP+WQo+WM12111222申=P申p+申Q0+申M0=pp+申Q0+申M012111222边缘力Q和边缘力矩Mf边缘内力（N,N,M,M,Q）f0090f应力以图2-13（c）和（d）所示左半部分圆筒为对象，径向位移w以向外为负，转角以逆时针为正。a.b.c.d.图2-13连接边缘的变形Q0、M0的特性：轴对称/自平衡/（边）内力系/线载/沿“边”平行园均布J自由变形不同，.互约产Q0、叫求变形协调方程00局部性成对出现/大小相等，方向相反/方向任定。二、圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解分析思路：推导基本微分方程(载荷作用下变形微分方程)I微分方程通解I由边界条

14、件确定积分常数I边缘内力I边缘应力1、求解基本微分方程轴对称加载的圆柱壳有力矩理论基本微分方程为(2-16)如+4卩4w=JL+丄N式中D壳体的抗弯刚度，Et312(1卩2)dx4DRDxw径向位移;7Vx单位圆周长度上的轴向薄膜内力，可直接由圆柱壳轴向力平衡关系求得;x所考虑点离圆柱壳边缘的距离;0系数；B=”吐凹R2t2对于只受边缘力Q0和M0作用的圆柱壳，p=0,且=0,于是式(2-16)可写为:(2-19)+404w=0dx42、求微分方程的解齐次方程(2-19)通解为w=e0 x(Ccos0 x+Csin0 x)+e0 x(Ccos0 x+Csin0 x)1234(2-20)式中C1

15、、C2、C3和C4为积分常数，由圆柱壳两端边界条件确定。当圆柱壳足够长时，随着x的增加，弯曲变形逐渐衰减以至消失，因此式(2-20)中含有项为零，亦即要求C1=C2=0,于是式(2-20)可写成：(2-21)w=e0 x(Ccos0 x+Csin0 x)34圆柱壳的边界条件为：(M)=-Dd2WIxx=o(dx2丿x=o利用边界条件，可得W表达式为:=M,(Q)二-D，|I二Qxx=odx3x=Odx3w=卩M(sinPx-cosPx)-QcosPx2P3Doo(2-22)最大挠度和转角发生在x=0的边缘上(w)=x=o(dw、jdx丿x=o(P)x=0=WM0=-M-1Q2P2D02P3D0

16、=丄M+)QPDo2P2Dfo(2-23)-M2P2DoP1屮。PDodMd3wQ=x=D其中xdxdx33、求内力将(2-22)式及其各阶导数代入WQo=1Q2卩3D。-Q2P2Do2-17)式，得内力：N=oxTOC o 1-5 h zN=-EtW+pN=2PRe-PxPM(cosPx一sinPx)+QcosPxerxooM=-Dd2W=学PM(cosPx+sinPx)+QsinPxxdx2PooM=-pMex2-24)Q=-Ddw=-e-Px2PMsinPx-Q(cosPx-sinPx)xdx3oo4、求应力正应力的最大值在壳体的表面上(z祜计)，横向切应力的最大值发生在中面上N12M=

17、x+xtt2N12M=e-+亠zett2=oz6Qt2T=x(-z2)xt34(z=o)，即：TOC o 1-5 h zN6M HYPERLINK l bookmark123 o Current Document ()=xxxmaxt+12N6M HYPERLINK l bookmark127 o Current Document )=x9maxt+12(T)xmax3Q2t-x2-18)横向切应力与正应力相比数值较小，故一般不予计算。三、一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解一般回转壳受边缘力和边缘力矩作用，引起的内力和变形的求解，需要应用一般回转壳理论。有兴趣的同学可参阅文献10第373页4

18、07页。四、组合壳不连续应力的计算举例现以圆平板与圆柱壳连接时的边缘应力计算为例，说明边缘应力计算方法。图2-14圆平板与wp=wQ0=wM0=0111Pp=PQ0=PM0=0111圆柱壳：边缘力和边缘力矩引起的变形可按式（2-23）计算。内压p引起的变形为:pR2wp=22EtPp=02根据变形协调条件，即式（2-15）得wp+WQ0+WM0=0222pp+PQ0+PM0=022020将位移和转角代入上式，得：解得：pR22Et12p2D7Q=0o;Q二0oM=p2D匹(2-p)0EtQ0利用式(2-8)、式(2-18)和式(2-24)，可求出圆柱壳中最大经向应力和周向应力为(Ec)=2.0

19、5空(在卩x=0处，内表面)2xmaxt(Ec)=0.62pR(在卩x=0处，内表面)2vmaxt可见，与厚平板连接的圆柱壳边缘处的最大应力为壳体内表面的轴向应力，远大于远离结构不连续处圆柱壳中的应力。五、不连续应力的特性局部性、自限性1、局部性：随着离边缘距离x的增加，各内力呈指数函数迅速衰减以至消失，这种性质称为不连续应力的局部性。例如，当兀p时，圆柱壳中纵向弯矩的绝对值为(M)X4-x=p=e-4M=0.043M已衰减掉95.7%；0一般钢材：pP1.2oi应力特征：应考虑径向应力，是三向应力状态；应力沿壁厚不均匀分布；若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。分析方法：静不定问题，需平

20、衡、几何、物理等方程联立求解。3.3.1弹性应力有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中的三向应力。A、压力载荷引起的弹性应力B、温度变化引起的弹性热应力po二一bapm0mcrn0rRRdcni图2-15厚壁圆筒中的应力r+歸dr卜po一、压力载荷引起的弹性应力1、轴向（经向）应力对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布：兀R2p兀R2ppR2-pR2C=H-i00=i_i00=A2-25)Z兀32R2丿R2R20i0i2、周向应力

21、与径向应力由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。a.微元体平衡方程C们C0几何方程（位移一应变，用位移法求解）物理方程（应变应力）平衡、几何和物理方程综合求解应力的微分方程（求解微分方程，积分边界条件定常数）.微元体如图2-15（c）、（d）所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度为1单位。.平衡方程G+de)(r+dr)d0rr0Crd02cdrsin=0r02解得=rrdrdr2-26)径向应变周向应变8r8d(w-wdrdwdr(r+w)d0-rddrdd2-27)变形协调方程d8=1(8-8)

22、drrrd2-28)图2-16厚壁圆筒中微元体的位移.物理方程Er+O)zEd-p(o+orz2-29).平衡、几何和物理方程综合求解应力的微分方程将式（2-28）中的应变换成应力并整理得到：r竺+3竺=0dr2dr解该微分方程，可得的通解。将r再代入式（2-26）八A+兰r2得9。232）边界条件为：当r二Ri时,二-P.；I，.几何方程（位移应变）当r二R时，r一P。由此得积分常数A和B为：周向应力径向应力*pR2-pR2A=ii00R2一R20ipR2pR2C=ii0+0R2R20ipR2pR2C=i_i0_0-rR2R20i(pp)R2R2B=i0i_0-R2R20i(pp)R2R21

23、i0i_0- HYPERLINK l bookmark202 o Current Document R2R2r20i(pp)R2R21i0i_0- HYPERLINK l bookmark220 o Current Document R2R2r20i233)2-34)轴向应力pR2一pR2C=ii00-zR2R20i厚壁圆筒的筒壁应力值称LameC拉美)公式表2-1p:情况仅受内压p=0丄o仅受外压Pi=0应任意半径r处内壁处r=R.i外壁处r=Ro任意半径r处内壁处r=R.i外壁处r=RoCr亠i酵K21r2丿一pi01K2-1R21-r.r2丿0一poC0亠1+酵K21r2丿PirK2+1

24、、K21丿川亠丿*K2-1丿-pK2厂0K2-1R2)1+rr2丿r2k2)一poK2-1丿K2+1)一poK2-1丿Czpri)QK21丿-。宀0K2-1丿z1z图2-17厚壁圆筒中各应力分量分布结论：从图2-17中可见，仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：周向应力a及轴向应力c均为拉应力（正值），径向应力c为压应力（负值）。9zr在数值上有如下规律：内壁周向应力a9有最大值，其值为：K2+1a=p9max1外壁处减至最小，其值为：2a=p9min1内外壁a9之差为佇径向应力内壁处为-p，随着r增加，径向应力绝对值逐渐减小，在外壁处a=0；ir轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力

25、与径向应力和的一半，即=2(ae+a)r除a夕卜，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。z以a为例，外壁与内壁处的周向应力a99K值愈大不均匀程度愈严重，之比为：(a)9r=Ri当内壁材料开始出现屈服时，外壁材料则没有达到屈服，因此筒体材料强度不能得到充分的利用。二、温度变化引起的弹性热应力1、热应力概念2、厚壁圆筒的热应力3、内压与温差同时作用引起的弹性应力4、热应力的特点5、不计热应力的条件6、减小热应力的措施1、热应力概念：因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。单向约束：at=-aEAty双向约束：aEAtat=at=-xy1p235)(236)

26、2K21 三向约束：aEAt237)2、厚壁圆筒的热应力分析方法：由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：(详细推导见文献11附录)周向热应力径向热应力轴向热应力QEaAT62(1-y)llnKEaATQT=R1lnKK2+1、RRK21丿lnKK21)2(1lnK+K；1EaAT(12lnK2(1-)lnK238)KKr筒体的外半径与任意半径之比，K=RRR厚壁圆筒各处的热应力见表2-2，表中Pp=EaAT2(1-p)At筒体内外壁的温差，At=tti0筒体的外半径与内半径之比K=RRi厚壁圆筒

27、中热应力分布如图2-20所示。表2-2厚壁圆筒中的热应力热应力任意半径r处圆筒内壁K=K处r圆筒外壁K=1处rP(+)TlnKk2_1Q6P1-InKrTlnKP(2r2TlnKk21PCTlnKpTlnKPttlnkK21PTlnK 结论:厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为：热应力大小与内外壁温差成正比kT,AtT,btT热应力沿壁厚方向是变化的内、外壁bt=o6=6r0z轴向应力为周向应力与径向应力之和bt=bt+bt丰constz0r(区别：bpi=-(bpi+bpi)=const)z20r内、外加热的热应力公式相同，只是符号相反内加热：maxbi,内壁为压应力拉外壁外加热：maxbi,外

28、壁为压应力拉内壁3、内压与温差同时作用引起的弹性应力b=b+bt,2-39)TOC o 1-5 h zrrrb=b+bt,000b=b+btzzz具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。表2-3厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力结论:由图可见内加热内壁应力叠加后得到改善，外壁应力有所恶化。外加热则相反，内壁应力恶化，外壁应力得到很大改善。注意工况:开车：仅p作用（未升温）i正常操作：p、At同时作用i突然泄压：仅A作用（未降温）4、热应力的特点热应力随约束程度的增大而增大热应力与零外载相平衡，是自平衡应力（Self-balancingstress）热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变可使

29、热应力降低热应力在构件内是变化的5、不计热应力的条件有良好保温层已蠕变的高温容器6、减小热应力的措施除严格控制设备的加热、冷却速度外a.避免外部对热变形的约束b.设置膨胀节（或柔性元件）采用良好保温层第三节厚壁圆筒应力分析3.3厚壁圆筒应力分析3.3.1弹性应力3.3.2弹塑性应力3.3.3屈服压力和爆破压力3.3.4提高屈服承载能力的措施3.3.1弹性应力3.3.2弹塑性应力弹性区Pc塑性区匕|Rc一、弹塑性应力塑性区塑性区f弹性区!弹性区2-22处于弹塑性状态的厚壁圆筒描述弹塑性厚壁圆筒的几何与载荷参数：R,P;R,P;R,Piiccoo本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力假设：a.理想

30、弹塑性材料圆筒体只取远离边缘区1、塑性区应力平衡方程：图2-23理想弹-塑性材料的应力-应变关系doco=rr9rdr2-26)2MiSeS屈服失效判据：o0-or飞os2-40)联立积分，得o=三olnr+Ar3s2-41)r=R:oir=-p内壁边界条件，求出A后带回上式得irolnpR-i2-42)将（2-42）带入（2-40）得rc2-43)结论:2Rolni+p3sR匚i=f(R,r/p/o)iiso,o=f(Inr)9o=1(o+o)丰constz2r9rT，oTr,0（区别：弹区C、r万丿ipi2-44)2-45)=i(o+o2r0)=const)弹性区内壁处于屈服状态：G&)=

31、RGrRcKc=Ro/Rc由表2-1拉美公式得出：2-46)bR2R2p=UccJ3R20与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系卩七(1R2c-R202-47)由(2-34)式(以p代替p)得cibR2(R2J3R21r20、b9c-R0Ji+R22-48)bR2b=3Lz、；3R20若按屈雷斯卡(H.Tresca)屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。各种应力表达式列于表2-4中结论：b=f(R,R,r/p/b)coisb，b=f(r)rTbT，bIr0r0b=1(b+b)=const与r无关z2r0二、残余应力当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内压力pi-残余应力思考：残余应力是如何产生的？卸载定理：卸载时应力改变量Ab=b-b和应变的改变量A8=8-8之间存在着弹性关系A8=AbjE。图2-24。思考：残余应力该如何计算？图2-24卸载过程的应力和应变基于Mises屈服准则的塑性区（RiWrWRc）中的残余应力为:IRo丿2r+2ln-RcR2R2一R20iIRo丿2“R+2lncRi一丿i、o,r2r-1+2ln