线性系统理论6极点配置与特征结构配置

1、第六章 极点配置与特征结构配置 16.1 线性系统的常规控制律6.1.1 线性定常状态反馈控制律为干扰信号， 线性定常系统 干扰输入矩阵。 线性定常状态反馈控制律 ：2系统在状态反馈律: 作用下的闭环系统为:命题6.1.1 状态反馈可以改变系统的极点集。其中:34命题6.1.2 设，且阵非奇异，保持系统的则状态反馈输入解耦零点，也即不能控振型不变。命题6.1.3 当，且阵非奇异，保持系统的能控则状态反馈性不变。 状态反馈可以保持系统的输入解耦零点和能控制性不变，不能保证系统的输出解耦零点和能观性不变。5例6.1.1 已知系统容易验证该系统为完全能观的，从而不存在输出解耦零点或不能观振型。但当取

2、了状态反馈律得闭环系统容易验证它具有一个不能观振型从而为不能观的。66.1.2 定常线性输出反馈控制律线性定常输出反馈控制律 ：当 时系统在输出反馈律: 作用下的闭环系统为:其中:78 阵可逆时，其输出反馈律保持其输入解耦零点和输出解耦零点不变，从而保持其能控性和能观性不变。 命题6.1.4 对于线性定常系统有以下结论： 1.其输出反馈律可以改变其极点集。 2.当，且96.1.3 线性定常输出动态补偿器 输出反馈律不含动态环节为静态输出反馈,动态补偿器含有动态环节,称为动态输出反馈。其一般形式为：其中: 为动态补偿器的状态向量, 称为动态补偿器的阶, 为外部输入信号, 为适当阶的参数矩阵。10

3、当系统 时，闭环系统的表达式为:其中:11注：动态补偿器增加了系统的动态环节。12命题6.1.5 线性定常系统（其中）在动态补偿器下的控制作用等效于增广系统 在如下静态输出反馈下的控制作用：136.2 极点配置问题及其解的存在性6.2.1 极点配置问题的描述 极点是定常线性系统所特有的概念； 极点配置问题也称为特征值配置问题； 考虑定常线性系统分别在:状态反馈律、输出反馈律、动态补偿器作用下的极点配置问题。14问题SPA 状态反馈极点配置问题 给定矩阵 及一组共轭封闭复数 （不必互异），求取矩阵 ，使得：15问题OPA 输出反馈极点配置问题 给定矩阵 及一组共轭封闭复数 （不必互异），求取矩阵

4、 ，使得：16问题DPA 动态补偿器极点配置问题 给定矩阵 及一组共轭封闭复数 （不必互异）和某正整数 ，求取矩阵 ，使得：176.2.2 状态反馈极点配置问题的解的存在性定义6.2.1 如果对于任何给定的一组共轭封闭复数，前述问题SPA可用状态反馈任意配置极点。 均有解，则称线性系统18定理6.2.1 定常线性系统可用状态反馈任意配置极点的充要条件是该系统完全能控。称为循环的，当且仅当其特征多项式等同于其最小多项式，或其Jordan标准型中相应于每个不同的特征值仅有一个Jordan块。 定义6.2.2 设，则矩阵19，矩阵则几乎对于任意的具有互异特征值，从而为循环矩阵。引理6.2.2 设且，

5、且 能控引理6.2.1 已知为循环的，则对几乎任意的，且 能控有能控。20例6.2.1 考虑下述既完全能控又完全能观的系统它在输出反馈律下的闭环系统为其闭环特征多项式为。从而当的值变化时，闭环系统的极点只能在复平面的实轴和虚轴上变化，不能任意配置。216.2.3 输出反馈极点配置问题的解的存在性 静态输出反馈亦称之为部分状态反馈，但较状态反馈包含了较少的信息，对于输出反馈的情况，即使系统完全能控和完全能观，闭环系统的极点也不可能被任意配置。定理6.2.2 设“几乎”总可以用静态输出反馈任意接近地配置则系统个极点。 22推论6.2.1 设“几乎”总可以用静态输出反馈任意配置极点。推论6.2.2

6、设则“几乎”总存在 阶动态补偿器，使得该系统在该补偿器作用下的闭环系统极点可以任意配置。且，则系统23定理6.2.3 记分别为系统的能控性指数和能观性指数，则存在 阶动态补偿器使得该系统在动态补偿器作用下的闭环系统的极点可以任意配置。 使得系统闭环极点可任意配置的动态补偿器的最小阶数是多少？到目前还是一个悬而未决的问题。 246.3 状态反馈极点配置问题的求解方法6.3.1 单输入系统的情形算法6.3.1 单输入系统的极点配置设计第一步：计算 的特征多项式，即第二步：计算由 所决定的多项式，即第三步：计算25第四步:计算变换阵第五步:求第六步:所求的增益阵26例6.3.1 给定单输入线性定常为

7、再给定期望的一组闭环特征值为易知系统为完全能控，故满足闭环极点可任意配置条件。现计算系统的特征多项式27再由指定闭环极点可得到希望的闭环特征多项式为于是可求得28再来计算变换阵并求出其逆29从而所要确定的反馈增益阵即为306.3.2 多输入系统的情形1.化为单变量系统的极点配置设计312. 利用能控标准型的设计32示例6.3.1 设某5维输入的9阶系统的Wonham第二能控规范型具有下述形式33即，且 。此时在算法的第二步中可以将期望闭环特征值34 分为三组，且计算它们对应的多项式为在算法的第三步中，我们可以取35此时易见36且示例6.3.2 设某3维输入的9阶系统的Luenberger第二能

8、控规范型具有下述形式37即 此时算法的第二步同示例6.3.1。在算法的第三步中可取38且由此即可导出396.4 状态反馈特征结构配置状态反馈极点配置问题的解不惟一。特征结构配置是给确定所有这样的控制律，使得闭环系统具有希望的特征值和重数，同时确定闭环系统对应的特征向量和广义特征向量。406.4.1 问题的描述状态反馈特征结构配置问题描述如下 :416.4.2 特征结构配置问题与Sylvester 方程426.4.3 问题的求解定理6.4.1 设 能控，则问题ESAS的一切解可由式 和公式 43迭代给出，或由式和公式 显示给出，其中为任何满足：约束6.4.1 44 为满足的右互质 多项式矩阵。约

9、束6.4.2 的参数向量； 而 满足的幺模阵45 为一组共轭封闭复数（不必互异），则满足关系推论6.4.1 设系统的矩阵由以下公式 46其中，为满足约束6.4.1且的任何一组参向量；而为满足右既约分解式的右互质多项式矩阵。47例6.4.1 考虑具有下述参数的完全能控系统由算法1.4.1易得48下面我们考虑几种不同的闭环特征结构配置。情形在这种情形下，矩阵和的一般表达式为如特别选取49则得从而对应得状态反馈增益阵为50情形在这种情形下矩阵和得一般表达式为如特别选取51则得从而对应的状态反馈增益阵为52情形 在这种情形下，矩阵和的一般表达式为如特别选取53则得从而对应的状态反馈增益阵为54情形在这种情况下，矩阵和的一般表达式为如果特别取55可得一组特解为从而对应的状态反馈增益阵为56约束6.5.1 6.5 输出反馈特征结构配置6.5.1