行列式概念和性质

1、关于行列式概念与性质第一张，PPT共三十一页，创作于2022年6月3.1 行列式的概念3.2 行列式值的和性质、记算3.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等)本章的主要内容重点内容 行列式的计算第二张，PPT共三十一页，创作于2022年6月1、概念2、性质3.1 行列式的概念和性质第三张，PPT共三十一页，创作于2022年6月一、 概念 对任一n阶矩阵用式子或用大写字母 D 表示, 常把上述表达式称为 A 的行列式 (determinant), 记作det A 表示一个与 A 相联系的数，而把相联系的那个数称为行列式的值.今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式.第四张，PPT共三十

2、一页，创作于2022年6月定义把删去第i 行及第j 列后所得的(n1)阶子矩阵称为对应于元 aij 的余子矩阵，并以Sij 记之. 对一n阶矩阵对 n = 2, 3, , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：def定义 一阶矩阵 a11 的行列式之值定义为数a11 ，即det a11 defa11第五张，PPT共三十一页，创作于2022年6月例 设def，计算该行列式的值解 因有 S11 = a22 , S12 = a21 , 故+第六张，PPT共三十一页，创作于2022年6月例 设, 计算 det A 的值.解def第七张，PPT共三十一页，创作于2022年6月若写出计算3 阶行列式值的

3、公式为第八张，PPT共三十一页，创作于2022年6月以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式 说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.第九张，PPT共三十一页，创作于2022年6月定义 对 n 阶行列式 det A，称det Sij 为元 aij 的余子式 , 称为元 aij 的代数余子式.例如第十张，PPT共三十一页，创作于2022年6月根据该定义，可重新表达行列式的值def其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A

4、的代数余子式.相当于把行列式按第一行展开注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式.第十一张，PPT共三十一页，创作于2022年6月定理1 行列式与它的转置行列式相等.说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2、性质定理 对n 阶矩阵 A ，有 行列式的值也可按第1列展开计算.第十二张，PPT共三十一页，创作于2022年6月例如推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.定理2 互换行列式的两行(列),行列式值反号. 定理3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式.第十三张，PPT共三十一页，创

5、作于2022年6月请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用 乘以此行列式.思考推论1 对 n 阶行列式A ，有 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零证第十四张，PPT共三十一页，创作于2022年6月推论3一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零定理4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 则 D 等于下列两个行列式之和 例如第十五张，PPT共三十一页，创作于2022年6月推论把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变例如 行列式等值变形法则第十六张，PPT共三十一页，创作于2022年6月定理 行列式等于它的任一行(列)的各

6、元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即或表达为若行列式按列展开，有定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即行列式的展开定理第十七张，PPT共三十一页，创作于2022年6月证将行列式按第 i 行展开,有如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有第十八张，PPT共三十一页，创作于2022年6月行列式含有两个相同的行, 值为 0 .综上所述,得公式第十九张，PPT共三十一页，创作于2022年6月注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含

7、有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的 利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质,可简化行列式计算：方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.第二十张，PPT共三十一页，创作于2022年6月例 计算行列式解 第二十一张，PPT共三十一页，创作于2022年6月定理 设 L 是有如下分块形式的 ( n +p ) 阶矩阵其中 A 是 n 阶矩阵， B 是 p 阶矩阵，则有在 A、B 是方阵时也成立定理 若A、B是两个同阶矩阵，则注意 公式中C 的元之具体值对

8、结果无影响.第二十二张，PPT共三十一页，创作于2022年6月例 设 证明 第二十三张，PPT共三十一页，创作于2022年6月证明 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为第二十四张，PPT共三十一页，创作于2022年6月证明：对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 对 D 的前 k 行作运算 ，则第二十五张，PPT共三十一页，创作于2022年6月对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 对 D 的后 n 列作运算 ，则第二十六张，PPT共三十一页，创作于2022年6月对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ，把 D 化为下三角形行列式故第二十七张，PPT共三十一页，创作于2022年6月例：设 , D的(i, j)元的余子式和代数余子式依次记作 Mij 和Aij ，求分析：利用及第二十八张，PPT共三十一页，创作于2022年