工程数学第3讲

1、工程数学第3讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择工程数学子目录)13 初等函数21, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数f(z)具有实函数中的指数函数ex的三个性质:i) f(z)在复平面内解析;ii) f (z)=f(z)iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)前面的例1中已经知道, 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)是一个在复平面处处解析的函数, 且有f (z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. f(z)称为指数函数.记作 exp z=ex(cos y+isin y).(2.3.1)等价于关系式: |exp z|

2、=ex,Arg(exp z)=y+2kp(2.3.2)3由(2.3.2)中的第一式可知exp z0.跟ex一样, exp z也服从加法定理:exp z1exp z2 = exp(z1+z2)(2.3.3)事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有4鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为了方便, 往往用ez代替exp z. 但是必须注意, 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用, 因此我们就有ez=ex(cos y+isin y)(2.3.4)特别, 当x=0时, 有eiy=cos y+isin y(2.3.5)由加法定理, 我们可以推

3、出exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k为任何整数.52.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程ew=z(z0)的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则eu+iv=reiq,所以u=ln r, v=q.因此w=ln|z|+iArg z由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记作Ln z=ln|z|+iArg z(2.3.6)6Ln z=ln|z|+iArg z(2.3.6)如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为一单值函数

4、, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此ln z = ln|z|+iarg z(2.3.7)而其余各值可由Ln z=ln z+2kpi(k=1,2,.)(2.3.8)表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值函数, 称为Ln z的一个分支.特别, 当z=x0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变数对数函数.7例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.解 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所以它的主值是ln(-1)=pi.在实变函数中, 负数无对数, 此

5、例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 利用幅角的性质不难证明:8对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当z0时,所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域-pv=arg z0)时, 由于ab具有q个值, 即当k=0,1,.,(q-1)时相应的各个值.除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值.12131415zn在复平面内是单值解析函数, (zn)=nzn-1.16

6、174. 三角函数和双曲函数 根据(2.3.5)我们有eiy=cos y+isin ye-iy=cos y-isin y将这两式相加与相减, 分别得到现将其推广到自变数取复值的情形, 定义当z为实数时, 显然这与(2.3.12)完全一致.18由于ez是以2pi为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2p为周期, 即cos(z+2p)=cos z,sin(z+2p)=sin z.也容易推出cos z是偶函数:cos(-z)=cos z而sin z是奇函数:sin(-z)=-sin z由指数函数的导数公式可以求得(cos z)=-sin z, (sin z)=cos z由(2.3.13),

7、 易知eiz=cos z+isin z(2.3.14)普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.19由定义可知三角函数许多公式仍然成立由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但当z为纯虚数iy时, 我们有20所以这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用.当y时, |siniy|和|cosiy|都趋于无穷大, 因此, |sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立. 其它复变数三角函数的定义如下:21与三角函数密切相关的是双曲函数, 定义分别称为双曲余弦,正弦和正切函数.chz和shz都是以2

8、pi为周期的函数, chz为偶函数, shz为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为:(chz)=shz,(shz)=chz(2.3.18)不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny(2.3.19)225. 反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数, 设z=cos w,则称w为z的反余弦函数, 记作w=Arccos z.23用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数, 并且重复上述步骤, 可以得到它们的表达式:24反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤, 可以得到各反双曲函数的表达式:它们都是多值函数.25第三章 复变函数的

9、积分1 复变函数积分的概念261. 积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线. 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 则将C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 设曲线C的两个端点为A与B, 如果将A到B的方向作为C的正方向, 则从B到A的方向就是C的负方向, 并记作C-. 常将两个端点中一个作为起点, 另一个作为终点, 则正方向规定为起点至终点的方向. 而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时, 邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方.27定义 设函数w=f(z)定义在区域D内, C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 把曲

10、线C任意分成n个弧段, 设分点为A=z0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO28在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一点k, 并作和式29容易看出, 当C是x轴上的区间axb, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.302,积分存在的条件及计算法 设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb(3.1.2)给出, 正方向为参数增加的方向, 参数a及b对应于起点A及终点B, 并且z(t)0, atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续, 则u(x,

11、y)及v(x,y)均为D内的连续函数. 设zk=xk+ihk, 由于Dzk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,所以,3132由于u,v都是连续函数, 根据线积分的存在定理, 我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对C的分法如何, 点(xk,hk)的取法如何, 上式右端的两个和式的极限都是存在的. 因此有3334上式右端可以写成如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲线首尾连接而成, 则我们定义35例1 计算 , 其中C为原点到点3+4i的直线段.解直线的方程可写作x=3t, y=4t, 0t1,或z=3t+i4t, 0t1.在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是36例2 计算 , 其中C为以z0为中心, r为半径的正向圆周, n为整数.z0rqz-z0=reiqzOxy37解