波尔共振等实验的改进方法及其Matlab实现

1、波尔共振等实验的改良方法及其Matlab实现论文摘要：本文首先分析大学根底物理实验用波尔共振仪研究受迫振动;所采用的测量方法的缺乏，接着具体阐述为尽可能提高精度而利用Matlab处理该实验时，所应用的初步线性回归-结合具体情况改良线性回归-原模型回归;这一依次回归的方法和相关原理与技巧，并进行了检验。进而以此为参考，将本文方法推广应用于其他可能的物理实验中以得到数据处理甚至测量方法上的改良。论文关键词：波尔共振,依次回归法,数据处理,测量方法1引言在大学根底物理实验中，有许多实验可以利用计算机借助应用方便且可视化功能强大的数学软件Matlab,通过一定的具体方法来进行测量方法的改良和数据处理的

2、精确化与可视化，从而提高实验的精度。本文以波尔共振实验为例，结合具体情况阐述将该软件应用于有关物理实验时，为了取得上述效果而应遵循的处理方法及应用的有关原理与技巧，使原实验得到相关改良。2实际中原实验方法的缺乏由于仪器制造工艺及材料性能等的影响，通过实际中屡次的实验可知，在摆轮振动过程中，振幅不同时系统的固有频率在小范围内变化。由相关的理论推导和实际试验皆可以知道，阻尼系数的测量值和系统固有频率的具体值有关，的不确定性会影响测量精度，尤其是在变化范围相对于不可忽略的情况下。再者，很重要的一点，对特性曲线的描绘，进行原实验时采取的是人为对离散数据作图，利用坐标确定点的位置、把有限的离散点连成曲线

3、时都会人为造成一定误差。假设再对幅频特性曲线峰值的进行求取点，找出对应的横坐标，那么更会带来许多偶然误差。并且由于随机取点作图的缘故而无法对结果的不确定度进行定量判断。3利用Matlab进行相关改良为了防止原实验方法中以上所述问题的出现，采用与计算机结合的方式，采取能够防止上述弊端的新的方法求解所需物理量，同时对曲线进行精确描绘。利用Matlab软件结合具体实验情况，采取一定的方法，能使结果同时到达上述效果。3.1初步线性回归该实验中所测量的物理量，理论上有精确的函数表达式和经过一定处理后得到的近似表达式。的变化为导致用原实验方法测量给结果带来误差的根源，故需设法将其误差消除。为此，我们可选取

4、文献【1】112页中的精确函数表达式(5)做出如下变形：(本文中以替换原文献中的由上述推导可看出，以作为自变量，以作为因变量,那么两者之间存在线性关系由该式知，此法利用作为因变量,对是否为常量不需要做出要求，在其为变量时亦可行，防止了原实验中的两种方法所带来的问题。采集相关数据，利用一般的图解法进行求解即可。为了尽可能提高精度，本文采取利用Matlab进行处理的方法。可以看出，利用此线性回归方法，除了可以直接求解出阻尼系数外，还可以求出具有一定物理意义的常量,其与同量纲。从下文可知，的量值对利用Matlab完本钱实验的精确曲线描绘是必须的，而此处即可求得其值。3.2针对具体实验情况，改良线性回

5、归形式1)依据自变量不确定度相对微小的原理确定最终形式由误差分析相关理论参考文献【2】,91-93可知，在进行曲线拟合时，自变量的精密度应比因变量的精密度高的多，以至可将根本无从防止的也带有一定不确定度的自变量看成是严格确定的，只有因变量带有某种不确定度，以便能在只需考虑因变量不确定度的根底上进行对最终结果不确定度的计算。具体到该实验中，可知所有数据点的直接测量值可认为都服从或近似服从高斯正态分布。故各物理量的各个测量值的不确定度相对于其真值相等。但此时分别作为自变量和因变量的间接测量量亦即合成量x和y,那么各个计算点的不确定度并不相同，可由误差传播与合成公式在仪器不确定度的前提下依据相关原理

6、【2】,40,53-57具体求出。在此处，仅为了简要说明选择依据，又不致影响最终结果确实定，可做出合理的假设，认为x和y的各计算值不确定度相同，分别为和。通过下文的程序运行结果可看出此时的自变量和因变量不确定度按标准有效位数应为。两者不确定度相对大小关系刚好与前述要求相反，故考虑选择适宜的因变量与自变量只需原先的两者相互变换即可，否那么应按上述原理重新进行合理的线性回归变换。经过以上分析可知，在此实验中应将式经过如下改良(将和互换)后再进行求解：那么至此，理论上即可准确的求解出阻尼系数和与同量纲的常数。2)线性回归编程及其意义本文中用Matlab里根本的多项式拟合函数polyfit(x,y,n

7、)令次数n=1完成对直线的最小二乘拟合，也可直接用多元线性回归函数regress(Y,X)(【3】,150)完成。两者的效果在此处相同。编写改良后的线性回归程序如附件所示。命令窗口运行结果为：y=-257.19*x+354.29beta=0.0624m=1.1737r1=0.9954r=1.0000-0.9977r2=0.9954sigma_x=0.4006sigma_y0=103.2761从运行结果可以看出所求得的物理量应为：在阻尼档为2的情况下，=beta=0.0624,m=1.1737，并且。即变量互换后数据不确定度满足实验的线性回归要求。此时的线性回归图形窗口那么显示如图1。由程序可知

8、，用于判断线性规划优度的判定系数可利用公式求解,亦可利用Matlab里的互相关系数矩阵函数corrcoef()求解。两者均很简洁。可以看出，此线性回归的判定系数(r为x和y之间的线性相关系数)很接近于1，故此线性回归的拟合度很好，证明了x和y在此实验中确实存在线性关系，也间接证实了此次实验中和m可认为是定值，不存在不同时刻相差很大的问题。同样可知，强迫力矩幅值M和摆轮转动惯量I的比值亦如此。故此法利用Matlab编程通过对线性回归方程的拟合，同逐差法一样，可测出阻尼系数。同时利用线性拟合优度判断标准线性相关系数r对线性回归合理性的检验，亦可作为实现的实时测量的理论根底，却不像逐差法那样作为该理

9、论根底时同样受到变化限制，尤其是在其不可忽略的情况下。这是本文中的线性回归法除了不存在理论误差和能以较高准确度求出常量和外的另一重要意义。3.3回归于原理论模型1)缘由由3.2可知，利用式进行线性回归，由于该方法本身不存在近似理论误差由下文知由于该方法本身采用线性计算，故而计算机数值计算截断误差亦不存在，其所得出的阻尼系数准确度较高。但在确定最终结果的不确定度时，并不能忽略自变量的不确定度，因为相对于原物理量其数据不确定性经过了放大。这样利用线性回归不确定度计算的理论公式【2】,106-110,在自变量不确定度也存在且不全相同的情况下,导出的最终测量量的不确定度的结果会很繁琐,且不易于简洁编程

10、实现。而且如前所述，其所采用的自变量与因变量均为合成量亦即间接测量量。具有一定不确定度的最初数据依据相关原理，进行不确定度的传播与合成，导致此时的合成量不确定度会增加，故而其最终结果的精密度不会很高，有必要对其进行进一步研究。2)利用回归函数nlinfit()和nlparci()基于以上考虑，需利用最初测量数据进行方法的改良，亦即所采取的方法应尽可能直接利用最初测量数据，以尽可能减小最终结果的不确定性。据此，结合利用Matlab处理实验的实情际况，可以利用其工具箱里所提供的非线性回归功能函数【3】,184-188来进行最终的处理。这些函数能够在非线性模型的情况下，直接利用最初数据求解出所需结果

11、，同时提高准确度与精密度。在此处可用非线性拟合的参数估计函数nlinfit()和给出参数估计值95%的置信区间的函数nlparci()进行,且效果很好。函数nlinfit()利用经过Levenberg-Marquardt修正的高斯牛顿Gauss-Newton算法,亦即梯度-展开算法【2】,224-226对参数进行最小二乘拟合并使局部得到收敛。由其算法收敛原理可知利用此函数对参数进行求解必须先估计参数的大致范围，并且最终结果会受此影响。经过实际的屡次试验亦可得出此结论。具体到该实验中，为了直接利用所有的最初有用数据以提高精确度，本文所采取的求解阻尼系数的方法理论依据选为未经过任何近似的函数表达式

12、3.1中的(5)式。在利用Matlab软件处理的前提下，利用上述功能函数对相互函数关系的实验数据进行与理论模型的比拟，以确定其中的未知量和。此时必须先估计出原式中的未知量和的大致范围，否那么由屡次实际试验可知可能出错而不是出现误差。此由上述算法在参数估计区间内局部收敛所导致，并且Matlab里所有非线性优化与拟合函数所基于的数值算法都无法防止此类问题。因此，把线性回归估计出的值=0.0624,m=1.1737作为参数初始值，利用上述函数进行相关编程，得程序运行结果为：bete=0.0628m=1.1791ci=U=0.00060.0077sigma=0.00030.0039R_NL=0.990

13、5FR=1.0000从编程和运行结果可以看出，由上述函数利用精确的测量量表达式回归，知此时可以用于该实验的判断曲线回归拟合优度的指标(R,FR)值为(0.9905,1.0000)。由于R分辨率与灵敏度很高，且此时很接近于1，故可知此时的拟合效果很好，应采用此时的结果。所以，由此时的运行结果知，在阻尼档为2的情况下，=beta=0.0628，m=1.1791，并且这两个测定量所对应的由函数nlparci()所给出参数亦即这两测定量的95%的置信区间分别为和，因此对应于置信水平为95%的扩展不确定分别为和。考虑到在该实验中所有物理量的观测值可认为均服从或近似服从高斯正态分布，而且最终结果不考虑仪器

14、不确定度的具体大小，故知此时对应于95%置信水平的扩展不确定度的包含因子，两测量量不计B类不确定的最终标准不确定度分别为，因此，由此回归得到的最终结果为4方法分析4.1主要误差来源由上文可以看出，采用本文所述方法，可以很好地排除的小范围变化给实验的测量所带来的影响。然而，我们知道，在所有的物理实验中，均存在着误差和不确定度，采用本文方法依然不例外。不考虑此实验中无法防止的仪器误差与偶然误差，此时由于全部计算均利用计算机进行，且利用了曲线进行回归的方法，故可知此时引入了原实验方法中不存在的计算机数值计算时的舍入误差与截断误差。在该实验中，由原始测量数据可以看出，该实验最终结果的有效数字最多为4位

15、。由于所用程序中，Matlab整个计算过程中数值按四舍五入保存4位小数，且由于计算步骤很少，与按物理实验原那么进行5;的舍入时相差很小以至可以忽略，且实验要求最终结果不确定度只保存一位有效数字即可。故由该实验的最终结果可知，Matlab数值计算中由于整个计算过程所保存的位数对于此实验已足够多而使舍入误差在此实验中不存在。因而在该实验中，采用本文所用方法，最终结果中的近真值与不确定度的具体值对于物理实验要求来说均为准确值，且近真值仅存在由于计算机数值计算中利用非线性函数回归时，需转化为线性函数求解所带来的截断误差，因而在该实验中，最终结果的不计入B类的不确定度由截断误差所导致。4.2回归检验与分

16、析由于该实验中所有物理量的观测值均服从或近似服从高斯正态分布，且所有量均为等精度测量，故在高斯正态分布下检验曲线拟合优度最终指标(【2】,180)在此处适用，且可直接简化为检验残差平方和的大小。而使其为最小正是利用最小二乘法拟合函数求出其参数的根本出发点。从原理上知，如果能够直接利用未经过变化的因变量与自变量之间的函数关系拟合得到参数值，此时即为原测量量的最正确估计值。故直接利用原表达式进行拟合的函数nlinfit()所得到的结果即为最正确结果。同样，实际中，由屡次试验上述非线性回归函数即可体会到，一旦确定了参数值的大致范围，参数初始值在此范围内变化时，所得到的结果绝对值一致，只是有时可能相差

17、一个正负号。由算法原理可知，这是由其数值算法本身所导致，但并不会影响物理实验的结果，只需依据事实对结果的正负进行判断即可。这是利用此法所需的技巧之一。将利用3.1中式回归编程表一几组不同接近最正确拟合值的和组合下的拟合效果比拟 m (R ,FR) 0.0622 1.1724 (0.9901,1.0000) 0.0145 0.0624 1.1737 (0.9903,1.0000) 0.0140 0.0628 1.1791 (0.9905,1.0000) 0.0135 0.0622 1.1737 (0.9900,1.0000) 0.0147 0.0622 1.1791 (0.9885,1.0000

18、) 0.0198 0.0624 1.1724 (0.9902,1.0000) 0.0144 0.0624 1.1791 (0.9896,1.0000) 0.0161 0.0628 1.1724 (0.9888,1.0000) 0.0188 0.0628 1.1737 (0.9893,1.0000) 0.0170 0.0638 1.1791 (0.9850,0.9999) 0.0334 0.0618 1.1791 (0.9853,0.9999) 0.0320 0.0628 1.1691 (0.9871,1.0000) 0.0249 0.0628 1.1891 (0.9875,1.0000) 0.

19、0234 然而，对特性曲线的描绘，必须依据文献【1】中(5)和(6)式变形后的表达式其中。由于不为定值，利用已测出的上述两值却并不能准确的完成，需结合在小范围内变化的的具体值，必须将表达式中的微小变量和看作整体的参数，同样利用nlinfit进行非线性函数拟合，以做出阻尼档为2时的幅频特性曲线和相频特性曲线分别如图2和图3所示。这是利用本文方法中所需的技巧之二。从图像可以看出，其效果很好，说明本文整体所采取的处理方法是很恰当的，结果很符合实际情况。4.3比照检验与分析在利用本文中所述方法全部完成该实验后，再按照文献【1】中所述的逐差法完成实验中阻尼系数的测量，所得数据表及处理结果如附表2。从实验

20、结果可以看出，利用逐差法进行测量的近真值要比采用本文方法进行测量得出的结果大，且用于判断近真值不确定性大小的绝对不确定度，以及判断同样条件下测量结果好坏的相对不确定度的情形亦如此。故可知，在相同的实验条件下，分别用这两种方法进行对阻尼系数的同样屡次测量，不排除与下述情况相异的很小的偶然性，可以认为，利用逐差法，依公式所得结果的近真值要大于用本文方法所得结果，且不确定性要高于采取本文方法所得结果的不确定性。这是由不同下有所不同对利用逐差法测量实际阻尼系数造成的影响，要高于计算机利用非线性函数进行拟合时，由于进行数值计算而存在的截断误差给测量结果带来的影响这一根源所导致的。因此，从这个意义上来说，

21、本文从既能够消除的变化带来的影响，又不会带来更大的新的影响这一根本角度出发，依据能满足此要求的文献【1】中的精确测量表达式(5)，考虑所有角度下的不同的之后再对阻尼系数进行求解，其近真值更加接近于实际情况，故而使原实验在此处得到了测量方法上的改良。至于利用Matlab强大的数据可视化功能描绘特性曲线，对于人为作图来说，其改良那么是显而易见的。因此，结合本文所述的初步线性回归-结合具体情况改良线性回归-原模型回归;的依次回归方法以及相关原理与技巧，利用Matlab进行处理，本实验同时得到了测量方法与数据处理上的改良。4.4适用范围由4.2开始局部所提到的基于最小二乘法亦即残差平方和最小的曲线拟合，只是从数据的函数关系角度考虑的。而具体到物理实验中，所测量的数据会有一定的不确定度，并且数据的观测值又会服从一定的分布。故利用Matlab里的拟合功能函数nlinfit()对物理量数据之间的函数关系进行基于最小二乘法的拟合时，需以观测数据点服从或近似服从高斯正态分布为根底，使为最小【2】,40-42,9