2019-2020年高二数学8.6抛物线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修

1、2019-2020年高二数学8.6抛物线的几何性质（备课资料）大纲人教版必修、怎样教学生讨论曲线的性质?答：在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：（1）确定曲线的范围由曲线方程F（x,y）=0.分别确定x与y的取值范围，从而分别判 断曲线的左、右与上、下部分的“顶点”的分布情况（2） 判断有没有对称性，在曲线方程 F（x,y）=0中，如果把x （或 y）换成-x（或-y）， 方程不变，那么曲线关于 y （或x）轴对称；如果把 x与y同时换成-x与-y,方程不变，那 么曲线关于原点对称（这时曲线关于 x轴或y轴却不一定对称）（3）求出在x轴上

2、的“截距”（即求出曲线与x轴的交点的横坐标） 和y轴上的“截距” （即求出曲线与 y轴的交点的纵坐标）.这可以通过解由F（ x, y）=0与y=0（或x=0）所组成的方程组求得.注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的“顶点”（4）判断有没有渐近线.对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等.二、参考例题例1:如图所示，过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点 M如何证明直线MQ平行于抛物 线的对称轴？ TOC o 1-5 h z 解：思路一：求出M Q的纵坐标并进行比较，如果相等，贝UMQ x轴，为此，将方程 y2=2px,

3、 y=k（ x-）联立，解出p ( p( Jk2 十1 +1)2p(1 + Jk2 +1) HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 厂(27 2k2kQ p（Jk2 +1 -1）2 p（1 _ Jk2 +1）、Q 2 , ）2k2k直线OP的方程为y=,即y=.令x=-，得M点纵坐标yM=yc得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题“如果过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y1、y2，那么y1y2=-p2”来证. HYPERLINK l bookmark46 o Current Docume

4、nt 2 2 2设 P（X1,y1）、Qx2, y2）、Mx3, y3），并从 y =2px 及 y=k（ x-）中消去 x,得到 ky -2 py-kp =0,2 2则有结论y1y2=-p，即y =.又直线OP的方程为y=x,含x=-,得y3=-.因为P （X1,yJ在抛物线上，所以2x1=.从而 y3=-=（- py =y2.这一证法运算量较小.思路三：直线MQ勺方程为y=yo的充要条件是 M（ -, yo） , Q, yo）.将直线MO勺方程y=-和直线QF的方程y=（x-）联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消 去y,可得y2=2px，可知直线 MQ勺方程为y=y的充要条件是点 P在

5、抛物线上，得证.这一 证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小注：本题中过抛物线焦点的直线与 x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立以上摘自中学数学教学参考xx年11期例2已知过抛物线y2=2px(p 0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A B两点,点R是含抛物线顶点 0的弧AB上一点，求 RAB勺最大面积.分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以|AB为三角形的 底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为y=x-.将其代入抛物线y2=2px,得y2-2 py- p2=0|AB=| y1-y2|= .(% y2)2 -4yy =4p当过R的直线I平行

6、于AB且与抛物线相切时， RAB勺面积有最大值设直线I方程为y=x+b. 代入抛物线方程得 y2-2 py+2pb=0由 =4p -8 pb=0，得 b=这时R( ,p).它到AB的距离为h=p RAB的最大面积为|AB h=p2.例3直线11过点M(-1 , 0),与抛物线y2=4x交于R、P两点，P是线段PP2的中 点，直线丨2过P和抛物线的焦点 F,设直线I 1的斜率为k.(1)将直线12的斜率与直线11的斜率之比表示为 k的函数f (k)；(2)求出f (k)的定义域及单调区间.分析：丨2过点P及F,利用两点的斜率公式，可将12的斜率用k表示出来，从而写出f(k)，由函数f(k)的特点

7、求得其定义域及单调区间.解：(1 )设11的方程为：y=k(x+1).将它代入方程y2=4x,得2 2 2 2k x +(2 k -4) x+k =0设 P1(X1,y、F2(X2, y2)、F(x, y)贝U X1+X2=将 x=代入 y=k(x+1),得：y=，即卩P点坐标为(,).由y =4x,知焦点F (1, 0)2直线I 2的斜率k2=k2 -k2 -1k2函数 f (k)=.(2) T I 1与抛物线有两个交点，224心 0 且厶=(2k -4) -4 k 0解得-1 v k v 0 或 0 v k v 1函数f (k)的定义域为k|-1 v kv 0 或 0v kv 1当k (-

8、1,0)及k (0,1)时，f ( k)为增函数.例4设定长为L (L 1)的线段AB的两个端点在抛物线y=x2上移动，求AB中点到x轴距离的最小值.分析：设M(xo,y。)为线段AB的中点，由|AB|=L可构建关于x。、y。的方程，而y。即为 点M到x轴的距离，利用函数或不等式即可求出yo的最小值.解：设直线AB的方程为y=kx+b,A、B两点的坐标为(xi,yi)、(X2,y 2), AB中点M的坐标为(xo,y 0),由方程组消去 y 得 x2-kx-b=0. TOC o 1-5 h z 从而 xi+X2=2xo=k, x 1 X2=-b./ k=2xo.又(Xo,y o)在直线AB上，

9、/ yo=kxo+b.从而 b=yo-2x 0.2 2 2/ |AB|=L , L = (1+k ) (x 计X2) -4xiX2.把、代入得2 2 2 2 2 2L = (1+4xo ) (4xo+4yo-8xo) =4(1+4x o )(y o-x o ).2, yo=xo +22=(4x o +1)+-24(1 4xo )l2当且仅当=(4x o2+1),Xo=即当xo= 土时，yo取得最小值. 所以M点到x轴距离的最小值为.例5设过抛物线y2=2px( p o)的顶点0的两弦OA OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点(x

10、o, yo);待求得xo、yo的关系后再用动点坐标(x, y)来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算解法一：设 A (X1, y, B( X2, y2), N(xo, yo)，则y12=2px1, y22=2px2X1X2= OAL OBkOA - kO=-1 即 X1X2+y1y2=0+y1y2=0/ y1y2 0y1y2=-4 p2把N点看作定点，则 AB所在的直线方程为：y- yo=-( x-xo),显然 xoM 02X=代入y =2px,化简整理得：2 2 2Xoy +2pyoy-2 p( Xo +yo )=0Xo 丰 0y1y2=2 2 2由、得：-4p=.化简得 Xo +

11、yo -2 pxo=o( Xo 0)用x、y分别表示xo、yo得2 2x +y -2 px=0(x 丰 0)解法二：点N在以OA OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设A( 2pt2,2 pt),则以OA为直径的圆方程为：(x-pt2) 2+(y- pt) 2=p2( 14+t2)即x2+y2-2 pt 2-2 pty =0设 B （2pti2,2 pti） , OAL OB 贝U t it =-1 11=-在求以OB为直径的圆方程时以-代ti，可得12（ x2+y2）-2 px+2pty =02 2 2由+得：（1 + t ）（ x+y -2 px）=0/ 1+t2 工 02 2 x

12、+y -2 px=0（ x 丰 0）备课资料一、求直线与圆锥曲线的交点的一般方法是什么？答：在解析几何中，一般用解方程的方法来求出直线与圆锥曲线的交点的坐标.例如为了求直线Ax+By+C=0与椭圆的交点，可以解方程组Ax By C = 0=1这个方程组的解同时满足两个方程，因此以方程组的解为坐标的点是两个方程所对应的两条曲线的公共点，如果方程组无实数解，则表示直线与椭圆相离（无交点）；如果有且只有一个实数解，则表示直线与椭圆相切（有且只有一个交点）；如果有两个不同的实数解，则表示直线与椭圆相交（有两个不同的交点）那么，怎样让学生判断上面方程组的解的个数呢？可以告诉他们先从两个方程中消去一 个变

13、量（例如消去 y）,得到关于另一个变量（例如 x）的一个一元二次方程，然后利用根的 判别式 =b2-4ac来作判断，就是说，当 0时，方程组有两个不同的实数解；当 =0时, 方程组有且只有一个实数解 （不要说有两个相同的实数解，重根只对一元n次方程有意义）；当v 0时，方程没有实数解.二、与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点，这样的直线是否是抛物线的切 线？为什么？答：不是.与圆有且只有一个交点的直线，称为圆的切线，这一定义只适合于圆，当然2也可扩大到椭圆与其他一些曲线，但不适合于双曲线和抛物线 .例如,x轴与抛物线y =2px（p 0）显然有且只有一个交点， 但对于这条抛物线来说，y轴

14、是它的一条切线，x轴不是它的切 线.又如，在高等数学中可以证明， 平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且只有一个交点， 但它不是双曲线的切线.在高等数学中，曲线在某一点处的切线是这样定义的：如图，已知P是曲线C上的某一点，11是经过点P的一条割线，与 C相交于点Q.让 |1绕点P旋转到I 2的位置，| 2与C相交于点Q.将这一绕点P旋转的过程 继续下去，得到一系列割线 I 1, 12,它们与C的交点Q, Q,逐 步向点P靠近.那么，我们把这一系列割线的极限同置， 即图中的直线I , 叫做曲线C在点P处的切线.至于对直线与圆锥曲线的位置关系问题的处理，仍然是:直线方程;消去y圆锥曲线2 axbx

15、c = 0(a = 0)=0u相交判别式相切C0U相离.我们把这些数看成未知，通过解此方程(组)三、在解决与圆锥曲线有关的问题时，怎样帮助学生运用方程的思想? 答：有些与圆锥曲线有关的问题，最终归结为某些数值的确定 数，把题目中给定的条件、关系转换成这些未知数所满足的方程(组) 来确定这些数的取值，从而解决问题.这里的难点是未知数的确定、 列方程(组)及解方程(组).下面我们看一个例子.如图所示，已知正方形 ABCD勺两个顶点 A B在抛物线y2=x上, C D在直线l : y=x+4上，求正方形的面积.分析：为了求出正方形的面积，应该先求出边长，而边长与顶 点的坐标相关，于是本题归结为确定正

16、方形ABCD勺边长.另外，从对图形的直观分析可知， BD/ x轴，AC/ y轴.解法一：设A( yi2, yi), B(y22, y2)，正方形的边长为 d,贝U22D (y2-d,y2), C(yi, yi+d )/ C D在I上2 d2讨2 二目；- 2d 42*4(y；亠2)2(力 - y2)2由、，可知yi、y2都是t2-t+4-d=0的实数根，所以yi+y2=1, yi y2 =4-d又 y 仁 y2=yi2_ y22将代入，得(yi-y2)2=d2，所以(yi+y2)2-4yiy2=d22即 i-4(4- d)= d2 d -8 d+30=0(d-3)( d-5)=022d=i8

17、或 d =50从而正方形ABCD勺面积为18或50 (面积单位).解法二：设正方形ABC啲边长为d,则直线AB的方程为y=x+4-d，所以有方程组消去 X,得 y2-y+4-d=0弦长 |AB= ： (1 1)(yi y2)2 -4yiy22令=d则d -,以下同解法一.说明：解法一中的未知数为 yi、y2、d,解题思路是消去yi、y2,得到以d为未知数的方程；解法二只设一个未知数，根据抛物线的弦AB的长度d列出方程.以上均摘自中学数学教学参考xx年11、12期四、参考例题例1 ( xx年全国高考题)如图所示，直线 I 1和I 2相交于点M li丄I 2,点 N I i,以A B为端点的曲线段

18、 C上的任一点到I 2的距离与到点 N的距离相等， 若厶AMt为锐角三角形，|AM= , |AN=3，且| BN=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程 分析：因为曲线段 C上的任一点到丨2的距离与到点 N的距离相等.根据抛物线定义知,曲线段C为以N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系， 确定C所满足的抛物线方程解：以1 i为x轴，MN的中点为坐标原点 O建立直角坐标系由题意，曲线段 C是N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两个端点设曲线段C所满足的抛物线方程为y=2px(p 0)( xaW xw xb, y 0),其中 xa、xb 为 A

19、 B 的横坐标令|MN=p，则 M(-,0 )，N，0)|AM=,| AN=3由两点间的距离公式，得方程组P 2(Xa ) 2pxA =17 2p 2(Xa )2 PXA = 92解得 amf为锐角三角形 Xa贝U p=4,xa=1又B在曲线段C上， Xb=| BI=6-2=4则曲线段C的方程为y2=8x(1 w xw 4, y 0).例2: (xx年高考题)设抛物线y2=2px( p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于 A、B两点，点C在抛物线的准线上，且 BC/ x轴，证明：直线 AC经过原点O.2证法一：如图所示，因为抛物线y=2px(p0)的焦点为F(, 0), 所以经过点F的直线

20、AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程得 y2-2pmy-p 2=0.若记A (xi,yi) ,B(x 2,y 2),贝U yi、y2是该方程的两个根，所以2yiy2=-p .因为BC/ x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为(-,y2),故直线CO的斜率为y? _ 2 p _ yi_pyixi2即k也是直线OA的斜率，所以直线 AC经过原点O. 证法二：设 A (xi,y i) ,B(x 2,y 2).因为BC/ x轴，所以C (-, y2).因为A B在抛物线上，所以 yi2=2pxi,y 22=2px2.又因为直线AB过焦点F,所以kAF=KBF,即yiXi-P X2-P2 2

21、所以即 yiy2(y 2-y i)=p2(y i-y 2).2 因为 yiM y2,所以 yiy2=-p .因为ko= y22一 =，所以直线AC经过原点O.p-222证法三：设 A (2pti, 2pt i) ,B (2pt2,2pt 2) F(,0).因为 A、B F 三点共线, 所以 kAB=kAF,即 2pt2-2pti _ 2pti2pt2-2Pti2pti2即所以 4t i2-仁4t i(t i+t 2).所以 4t it 2=-i,即 11=-因为BC/ x轴，所以C (- , 2pt2) 所以kAO=2pt2p-4t2由kAO= k OO可知直线 AC经过原点O.证法四：因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为(，0),所以可设直线 AB的方程为 x=ky+.将代入 y2=2px 得 y2-2pky-p 2=0.所以 yA yB=-p .因为 A () C (-, yB),即 C (-,-),所以直线AC的方程为Ya化简得y=Ya2PYa显然，原点O适合此方程，所以原点O在直线A