中心极限定理数据

1、第五章 随机变量序列的极限概率论的基本任务是研究随机现象的统计规律性. 引进随机变量之后, 我们集中研究了随机变量取值的统计规律性. 在一个具体问题中, 这种统计规律性往往通过大量的重复观测来体现, 对大量的重复观测作数学处理的常用方法是研究极限.15.1 大数定律 law of large numbers在1.3中, 我们曾经提到频率的稳定性. 设随机事件A的概率P(A)=p, 在n重贝努利试验中事件A发生的频率为 .当n很大时, 将与p非常接近. 由验可能取不同的值, 因而需要对随机变量序列引进新于 本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试的收敛性定义.2定义5.1 依概率收敛设 是一个随

2、机变量序列. 如果存在一个常数c使得对任意一个正数 , 总有记作:则称随机变量序列 依概率收敛于c3定理5.1如果且函数在处连续, 则下面, 考虑频率的稳定性. P1214定理5.4 贝努里大数定律 设 是一个随机变量序列. 且每一个随机变量都服从0-1分布 , 则 证明关键步骤:5定理5.3 独立同分布情形下大数定律 设 是一个独立同分布的随机变量序列. 且证明关键步骤:则6定理5.2 切比雪夫大数定律 设 是两两不相关的随机变量序列. 且方差一致有界. 则证明关键步骤:75.2 中心极限定理在数理统计中经常要用到n个独立同分布的随机变量的和 的分布, 但要给出其精确分布有时很困难.正态分布

3、具有可加性，若则: 8标准化后得因此:9定理5.5 独立同分布的中心极限则对任意的 有设 是独立同分布的随机变量序列, 且 10 应用 当 充分大时n11例1 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他解 设第 段的测量误差为 所以累计误差为又 为独立同分布的随机变量, 由得分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从区间 上的均匀分布, 试求总距离测量误差的绝对值超过 厘米的概率. 12由独立同分布情形下的中心极限定理:13定理5.5中限定条件得到如下定理5.614定理 5.6则对任意的 有即当 充分大时, 近似服从标准正态分布.随机变量序列,且 令设 是一个独立同分布的

4、15例2. 在次品率为1/6的一大批产品中, 任意取出300件产品,利用中心极限定理, 计算抽取的产品中次品数在40到60之间的概率.解 以 表示300件产品中次品的总数, 由题意得此时, 由中心极限定理得16例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢不超过30根的概率.解 以 为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知:则17例4. 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用解 令 表示在时刻 时正在开动的机器数, 则 可以表示在400次相互独立的重复实验试验中事件“ ”发生的次电 瓦, 由于工艺关系, 每台机

5、器并不连续开动, 开动的时候只占工作总时间的 问应该供应多少瓦电力能99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.数, 由前面所讨论的知:18及 因 由中心极限定理知, 对由条件所设, 所求的概率为而 为标准正态分布的分布函数, 查表得任意的 有即:19从而即: 只要供应 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该车间的机器能正常工作.20例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件解 以 表示第 个部件的称量误差, 设分成n个部件 从而来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区间 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证机床的称量总误差的绝对值不超过10.21所以22例6. 某单位有200台分机, 每台使用外线通话的概率为15%, 若每台分机是否使用外线是相互独立的, 问该单位至少需要装多少多少条外线, 才能以95%的概率保保证每台分机能随时接通外线电话.解 以 表示在时刻 使用的外线数, 则此时有若以 表示安装的外线