信息技术2.0微能力：中学八年级数学下（勾股定理）实际应用-中小学作业设计大赛获奖优秀作品-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学八年级数学下（勾股定理）实际应用义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品- 1 -初中数学单元作业设计一、单元信息参评作品团 队 作 品基本信息学 科年级学 期教材版本单元名称数 学八年级第二学期人教版版勾股定理单 元组织方式自然单元课时信息序 号课时名称对应教材内容1勾股定理内容第 17.1(P22-24)2勾股定理的应用第 17.1(P25-26)3勾股定理的应用第 17.1(P26-27)4勾股定理的逆定理第 17.2(P31-32)5勾股定理的逆定理的应用第 17.2(P33-34)二、单元分析( 一)

2、课标要求通过探索勾股定理及其逆定理的过程，了解它们之间的联系与区别，对一些简单 的几何问题和实际问题能用这两个定理解决。结合一些具体的例子，对逆命题、逆定 理基本概念进行了解，学会识别互逆命题，对其真假做出判断。课标中“知识技能”要求：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程；掌握必要 的运算 (含估算) 技能。在“数学探索”中，让学生经历其探索和证明的过程，培养 学生发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯；围绕 勾股定理的证明，培养学生学习数学的自信心，培养其民族自豪感；在“数学思考”- 2 -方面：通过用代数式 等表述数量关系的过程，体会模型思想及学科间的联系，培 养

3、发散思维能力；感受从合情推理中探索出数学结论，通过演绎推理进行证明的过程， 锻炼推理能力；能独立思考，对数学的基本思想和思维方式进行体会。(二) 教材分析知识网络初等几何中，勾股定理是最重要的定理之一，它给我们揭示了在直角三角形中， 三条边之间的数量关系，对数量关系和几何图形之间起到了桥梁重要的作用。许多平 面几何中的计算问题可以用勾股定理和其逆定理来解决，它是解直角三角形的一个重 要依据，在微积分学、解析几何学、三角学中都是重要的理论基础，对现代数学的发 展也产生了重要而深远的影响。离开勾股定理，整个数学的大厦就难以建立起来。在 本单元的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，

4、对学生提出不 同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，也可以安排收集定理多种证法的数 学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数 学的自信心。研究方法上， 让学生经历“发现特殊的等腰直角三角形的性质研究比较特殊的直 角三角形陈性质一般直角三角形”等最后用赵爽证法加以证明的探索和证明过程，渗透类 比、特殊到一般和一般到特殊等研究问题的思想方法，发展数学抽象、数学运算、数学推理 等能力。通过本单元的学习，学生不仅能解决直角三角形的计算问题，还可以把生活中的实际问 题转化为几何问题来解决。同时培养了学生的观察和猜想能力。从勾股定理到其逆定理，学- 3 -生往往会从

5、直觉出发想当然认为逆定理一定成立。而从直觉上升到逻辑严密的思考和证明， 认识到有联系但不相同，认识到新的结论需要经过严格的证明，这是思维能力提高的体现。 所以逆命题也是本章的教学难点之一。(三) 学情分析从学生的认知规律看：在一元一次方程和二元一次方程组中，学生学会了如何引入未知 数、如何求未知数。在几何图形，三角形和三角形全等这几章中，学生体会了几何语言的魅 力，掌握了几何图形中的基本关系，推理能力得到很大的提高。在二次根式中我们学习过最 简二次根式，加深了对无理数的理解。这些学习都为勾股定理的学习，打下了思想方法基础， 让学生可以用方程来解决直角三角形的边长问题，感受到“数形通性”，并用代

6、数研究几何 的一般路径。从学生的学习习惯、思维规律看：八年级 (下) 学生已经具有一定的自主学生能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并渴望自己参与其中。但是，学生的思 维方式和思维习惯还不够完善，数学的运算能力、推理能力、证明能力尚且不足。因此， 应加强勾股定理证明的理解、及与几何图形之间的联系的应用练习，强化运用“勾股定理 和其逆定理”来解决生活中的实际问题。架通学生思维的“桥梁”，发展学生的发散思维， 提升学生的数学运算、代数推理、逻辑推理等能力。因此， 勾股定理和其逆定理的证明， 应用是本单元的学习重点；培养学生运算能力和严密审慎的思考习惯也是重中之重。三、单元学习与作业目

7、标1.通过探索勾股定理及其逆定理的过程，了解它们之间的联系与区别，对一些简 单的几何问题和实际问题能用这两个定理解决。2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，并把之应用于几何问题，体会数学 模型思想。3.通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题，知道原命 题与逆命题之间的关系，并会判断其真假。4.探索和交流勾股定理及其逆定理的发现，证明过程，培养学生数学学习的自信 心；通过介绍国内外在勾股定理的有关研究成果，体会知识无国界，培养民族自豪感。四、单元作业设计思路作业采用分层设计。每课时都设计“基础性作业”(面向全体，体现课标，抓住两基， 学生必做题)和“发展性作业” (体现个

8、性化，探究性、实践性，学科渗透性，学生有选择- 4 -的做) 。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时 (17.1 勾股定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 设a和b分别为直角三角形的两条直角边长,c为斜边长。已知a=8,b=15, 求c;已知b=7,c=25，求a;已知c=13,a=5, 求b;已知c=12,a=5 求b.(2) 仿照课本P24练习2，在网格纸上设计一棵“枝繁叶茂”的“勾股树” ，贴在班级宣传栏；(3) 如图，已知CD90 ，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用 面积法证明勾股定理。- 5 -2.时间要求 (15分钟以内)3.评价设计作业评价表评价指标等级备

9、注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题要求学生理解直角边和斜边，会用勾股定

10、理求斜边和直角边，加 深对勾股定理的理解和运用。其中，第小题已知两直角边求斜边，第小题已 知斜边和直角边，求另一直角边。作业评价时注意求出的b是二次根式；第 (2) 题 引导学生进一步理解勾股定理的由来，增加作业的趣味性；第 (3) 题要求学生会证 明勾股定理，能够加深学生对勾股定理多种证明方法的理解。- 6 -作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1) 下列说法正确的是 ( ) 。A ABC的三边长分别为a,b,c,则 a2 + b2 = c HYPERLINK l _bookmark1 2B RtABC三边长分别为a,b,c,则 a2 + b2 = c2C RtABC三边长分别为a,b,c

11、, ABC=900 ，则a2 + b2 = c2D RtABC三边长分别为a,b,c, ACB=900 ，则a2 + b2 = c2(2) 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CEa ，HGb ，则斜边BD的长是 ( ) 。A a+b B a b C D (3) 制作一份手抄报：勾股定理的相关数学史背景及不同种证明方法 (跨课时作业) 。2.时间要求 (第 (1) (2) 题5分钟以内，第 (3) 题30分钟)3.评价设计- 7 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误

12、、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题要求学生清晰地辨别勾股定理的表述；明确勾股定理成立的条件；第 (2) 题分类讨论：3和4都是直角边；4是斜边两种情况，理解直角三角形斜边是 最长边，要求学生具有分类讨论

13、的数学思维；第 (3) 题是跨课时作业，给学生充分 的时间，手抄报完成后组织学生进行交流、 自述活动，培养学生综合能力。- 8 -第二课时 (17.1 勾股定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 九章算术 “勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去 适一丈.问户高、广各几何. ”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角 线长1丈，那么门的高和宽各是多少 (1丈10尺，1尺10寸) ？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是 ( ) 。A2x+12 (x+0.68) 2 B2x+ (x+0.68) 212Cx2+1002 (x+68) 2 Dx2+ (x+68)

14、21002(2) 如图，一根竹竿立在墙角，其中ACB为直角，已知竹竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得竿竹下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，竹竿顶端A下滑_米。(3) 印度数学家什迦逻(11411225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清 可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离 原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？ ”请用学过的数学知识回答这个问题。2.时间要求 (15分钟以内)3.评价设计- 9 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正

15、确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题是考查学生勾股定理与方程的应用；第 (2) 题是考查学生两次运 用勾股定理进行计算；第 (3) 题同样是勾股 定理与方程的应用，同

16、时让学生感受中 国古代的数学文化。- 10 -作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1) 如图为某楼梯，测得楼梯的高3米，长为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地 毯的长度至少为( )A4米 B7米 C8米 D9米(2) 将一根25 cm的筷子，置于底面直径为17 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如 图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是_。(3) 如图，在RtABC中， C90 ，AB10 cm，AC6 cm，动点P在射线BC 上运动，从点B出发沿方向C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为ts。(1)求BC边的长；(2)当ABP为直角三角形时，求t的值。2.时间要求 (第

17、(1) (2) 题5分钟以内，第 (3) 题15分钟)3.评价设计- 11 -作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其

18、余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 (1) 题构建模型，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力；如 何抽象成“符号化” 。第 (2) 题比较灵活，主要考查学生利用已有的生活经验判断 有无直角三角形，筷子何时最长，最短？明确如何在实际问题中运用勾股定理来解决； 第 (3) 题的第 (1) 问，考察勾股定理的直接应用，代入计算即可解决，第 (2) 问 要分类讨论：当APB为直角时；当BAP为直角时，培养学生的综合能力。- 12 -第三课时 (17.1 勾股定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 如图，点A表示的实数是 ( )A. B. C. 一 D. 一 (2) 如

19、图，每个小正方形的边长为2，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有( )A0条 B1条 C2条 D3条(3) 已知等边三角形ABC的边长是6cm，求高AD的长和SABC2.时间要求(10分钟)3.评价设计- 13 -作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错

20、误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综 合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业 (1) 设计主要考察学生在数轴上利用勾股定理，可以作出的 (n是整数) 的线段，进而在数轴上画出表示 (n是整数) 的点。作业 (2) 考察的 是在网格中如何求出线段长。作业 (3) 就是勾股定理在等边三角形的应用，让 学生熟练掌握。- 14 -作业2 (发展性作业)1.作业内容(1)如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为 。(2) 如图1，两个小正方形 (边长

21、都为1) 沿对角线分别剪开，所得的4个直角 三角形拼成一个面积为2的大正方形 由此得到了一种能在数轴上画出无理数对 应点的方法1) 图2中A、B两点表示的数分别为_，_；2) 请你参照上面的方法：把图3中5 1 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形请在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，则正方形的边长a =_。 (注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙)在的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N 表示数a以及 a 一 3 。 (图中标出必要线段的长) 。- 15 -2.时间要求(20分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正

22、确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析及设计意图作业 (1) (2) 设计目的是发散学生的思维，让学生透过现象看本质。第 (1) 题把勾

23、股定理放在学生常见的长方体中，让学生学会融会贯通。第 (2)题既考查 无理数的表示方法，又要模仿题目中给出的解题方法类比求解;学生要深入对所 给解题的内容的精准理解，去发散求当由多个正方形组成的长方形要拼成大正方 形时，求其边长。- 16 -第四课时 (17.2勾股定理的逆定理)作业1 (基础性作业)1.作业内容(1) 以下列每组数分别为三条线段,能构成直角三角形的是( )。A.4,5,6 B.5,12,15C.5, 2 ， 3 D. 2 ，2 3 ， (2) 下列说法错误的是( )。 A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理C.真命题的逆命题一定是假命题D.任何命题都是由条件和结论构成

24、的(3) 下列四组数中,是勾股数的一组是( )。A.4,5,6 B. 4,5 C.7,24,25 D.10,60,612.时间要求 (6分种)3.评价设计- 17 -作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价

25、等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析及设计意图作业第 (1) 题要求学生会用三边长来判断三角形是否为直角三角形？作业 第 (2) 题要求学生正确理解互逆命题和互逆命题概念，并且会判断原命题和互 逆命题的正确与否。作业第 (3) 题主要考察对勾股数新概念的理解。- 18 -作业2 (发展性作业)1.作业内容(1) 如图，将ABC放在正方形网格图中 (图中每个小正方形的边长均为1) ，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么ABC中BC边上的高是 ( ) 。A B C D (2) 由下列条件不能判定ABC为直

26、角三角形的是( )。A. A: B: C=3:4:5 B. A- B=CC.a=1,b=2,c= 5. D. (b+c) (b-c) =a2(3) 已知 62 + 82 = 102 ，82 + 152 = 172 ，102 + 242 = 262 请写出勾股数(大于4的偶数)的规律_。课下请思考大于1且为奇数的勾股数的规律。(4) 阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决 了如下问题：如图ABC中， C90 ，M是CB的中点，MDAB于D ，请说明三条线段AD 、BD 、AC总能构成一个直角三角形。2.时间要求 (15分钟)3.评价设计- 19 -作业评价表评价指标等级备

27、注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析和设计意图作业第 (1) 题综合运用了勾股定理逆定理和求高的等积

28、法，当然学生也可 以用共边的双直角三角三角形来求，让学生自己去探讨何时用等积法求高。作业 第 (2) 题学生要全面了解直角三角形的性质，理解从角和边都可以判定三角形 是否为直角三角形。作业第 (3) 题明着是勾股数，暗含的是规律题，考察是学 生观察、总结、归纳能力。作业第 (4) 题考察勾股定理逆定理的应用，放在勾 股定理之后，主要关注学生发散思维的培养。- 20 -第五课时 (17.2 勾股定理的逆定理) 作业 1 (基础性作业)1.作业内容(1)A，B，C三地的两两距离如图所示，B地在A地的正西方向，问：B地在C 地的什么方向？(2)如图，是某房地基的平面图，按标准应为长方形，有人测量了一

29、下，发 现ABDC12m，ADBC8m，AC15m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是 否合格？(3)如图,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以30n mile/h的速度向北偏东 35方向航行,乙船以40 n mile/h 的速度向另-方向航行,1 h后,甲船到达C岛， 乙船达到B岛,若C,B两岛相距50nmile，则乙船的航行方向( ) 。A.东偏南35 B.东偏南55C.南偏东35 D.南偏东55(4) 如图,某开发区计划在一块四边形的空地ABCD上种植草坪,已知A 为直 角，AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,种植每平方米草皮的预算费用为240元,若草坪 的保养费用占种植草

30、皮总预算的3% ,求草坪保养费用。2.时间要求 (10 分钟)3.评价设计- 21 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为

31、B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图第(1)(2)(3)题，引导学生分析问题，如何把实际问题转化为数学知识，怎 样运用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形。探究解决实际问题，要抓住 其本质，理解其意图；从而激发学生学习兴趣，养成“已知三边求角，利用勾股 定理的逆定理”的意识。第(4)题，将几何信息标注到图上，构建几何模型; 将已知条件转化到几何 模型上,学生仔细观察，联想前后所学知识，综合运用勾股定理及其逆定理。培 养学生的语言表达能力、逻辑思维能力。- 22 -作业 2 (发展性作业)1.作业内容(1)在ABC中，AD为BC边的高，AB13，BC14，AC15，求CD

32、的长。(2)如下图所示，我国领海线为南北向MN，领海线以东为公海，某日上午9：50，我国反发现，有一走私艇C从正东方以13海里/时的速度偷偷向我领海开来， 走私A艇立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意。反走私艇A和走私 艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里， 若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？(3)如上图，已知等边ABC内一点P，PA3，PB4，PC5，求APB的度 数。2.时间要求 (15 分钟)3.评价设计- 23 -作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图第(1)题，主要是勾股定理的逆定理的应用，再进行转化，最后