高等数学 第一章

1、高等数学课程介绍1一、 研究对象 研究定义在实数集或实数集的子集上的函数性质。二、 基本内容 极限、微分学、积分学、向量代数与空间解析 几何、无穷级数、微分方程。其中主要内容是 微分学与积分学、2三、微积分学的发展历史 以研究函数的微分和积分及其应用为主的一门 数学分科。 十六、十七世纪，由于力学、航海、天文学 的发展，提出了两大类科学问题。一类是在研究物体的运动时要求出它在任一时刻的速度和加速度，或者在研究光线通过透镜的规律时要求出光滑曲线上给定点切线和法线，以及在研究炮弹射程时要求出函数的最大值和最小值等，由这些实际问题的研究产生了微分学。3 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨总结了前人的

2、经验，为许多不同的物理和几何问题提供了统一的数学方法。 另一类是研究曲线的长度、物体的体积、曲面的面积、以及天体间的引力等问题，从而产生了积分学。 后人都这样认为牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分。 牛顿的工作是将微积分与力学结合，在思想上更加深刻。 莱布尼茨的工作是使微积分便于表达和运算。4三、学习高等数学的意义、要求和方法 由于高等数学的主要内容微积分为具体科学的研究提供了重要的数学工具，离开了这个基础的工具，要想在（专业）具体科学上有什么突破是不可能的。 重点做到掌握高等数学的基本概念（定义） 重点做到熟练高等数学的基本运算 重点做到掌握高等数学的基本理论（定理及其运用）5 可以采用听课、阅

3、读教材并思考、做练习、参加 答疑辅导的循环过程来不断提高。 困难刚开始肯定会有，尤其初等数学运算能力弱的同学更加明显，这时候我们必须坚持，不能放弃。 困难在你的努力和老师的帮助面前它是弱小的， 尤其在你的努力面前它更加弱小。 每周四交作业、每周四晚上20：30至22：30在 F楼111答疑（当天没有交作业的必须参加答疑）。6780yxxy091011xx去心012 由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数1314151617X无穷多个有限多个有限多个181920212223240 xy0 xy25X0 x-X2627y01By0

4、x1Axy0y0y0 x282930313233343536373839404142434445464748补充例题1.注意：三角的和差化积公式49设 2.问： 假如极限存在，极限值是多少？是否存在？ 解：基本思路： （1）证明数列极限存在 (2) 求出证明数列有界： 假设 故数列有界。50证明数列单调： 根据极限存在准则2 存在两边取极限 （舍去） 513.已知 求 解则 时 则 时 52如果存在， 4.且满足 求解： 两边取极限 53545556575859练习中的问题当时， 1，问 等于多少， 使当 时， 解：假设 先限制 的范围， 从而限制 的范围 要使 取 当 有 602错误 不存在 正确的 无穷小与有界函数的乘积是无穷小错误 不存在 正确的 无穷小与有界函数的乘积是无穷小非零无穷小的倒数是无穷大 61 基础问题62补充例题如果 1存在， 且 求： 解：注意：常见等价无穷小代换63设当 2时 是比 而 高阶的无穷小， 高阶的无穷小， 是比求：正整数 的值。 故 解643求： 解65x0yx066676869解70717273解可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.74oyxoyx7576777879分析过程可不写出80818283mMabX1X2841.若区间是开区间,