高等代数(9287)自学考试大纲

1、高等代数（二）（9287）自学考试大纲一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。它与解析几 何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。 随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一）另一门就是本 课程一一高等代数（二）。高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数 的基本知识、基本理论、基本方法。本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一） 联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。（二）基本要求学习本课程应达到的总

2、体目标是：1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以 及证明方法；2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象 的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他 的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。（三）本课程与相关课程的联系本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为 抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。向量空间、线性变换的内容 和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏

3、空间和二次型的学习。二、课程内容与考核目标第一章向量空间（一）学习目的与要求理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中 第三章的n维向量的联系。掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关 系。理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数 公式并能应用维数公式证明问题。理解向量空间同构的意义和同构的条件。向量空间是以公理化形式引入的抽象代数概念，是本章的难点。自学时要熟练掌握 一些常见的向量空间的例子，以此为模型帮助理解

4、抽象的向量空间的有关概念。向量空 间中向量的线性关系、子空间是本章学习的重点。（二）课程内容1向量空间的定义及例子向量空间的定义向量空间的例子向量空间的简单性质2线性相关性线性相关、线性无关、线性组合、向量组等价等概念向量组的极大线性无关组的求法向量组线性相关、线性无关的证明3 维数、基和坐标基、维数、坐标的定义一些常见的向量空间的基和维数求向量在给定基下的坐标4 基变换与坐标变换过渡矩阵的定义求一个基到另一个基的过渡矩阵向量在两组基下的坐标之间的关系5向量子空间子空间的定义子空间的判定两个向量组生成相同子空间的条件子空间的交与和的定义，子空间交与子空间和的基，维数公式直和的定义与判定6映射、

5、向量空间的同构单射、满射、双射、逆映射，同构映射等概念。同构映射的基本性质两个有限维向量空间同构的条件（三）考核知识点向量空间：向量空间的定义和性质、向量的线性关系、维数、基与坐标基变换与坐标变换：过渡矩阵、坐标变换公式向量子空间：向量子空间的定义、子空间的判定、子空间的交、子空间的和、 维数公式，直和向量空间的同构：映射（单射、满射、双射、逆映射X同构映射、同构的条件（四）考核要求向量空间识记：能清晰准确地认识：线性相关、线性无关、线性表示、向量组等价、向量组 的秩等概念，掌握向量空间的简单性质，正确地作出判断。领会：理解维数、基、坐标的概念以及三者之间的关系，能正确地求出向量在给定 基下的

6、坐标。简单应用：能运用所学知识，证明一个集合是否构成向量空间，会求向量空间的基 与维数。基变换与坐标变换识记：能清晰准确地认识坐标变换公式，正确作出判断。领会：理解过渡矩阵是联系两个基之间的矩阵，能正确地作出解释。简单应用：能由一个基和一个基到另一个基的过渡矩阵求第二个基。向量子空间领会：理解子空间的定义和判断定理，能判别向量空间的子集是否构成子空间。简单应用：会求子空间的交、子空间的和的基与维数。综合应用：能运用所学知识证明子空间的和、直和及与之相关的问题。向量空间的同构识记：能清晰准确地认识映射、单射、满射、双射、逆映射，同构映射等概念，正 确作出判断。综合应用：能建立两个同构的向量空间之

7、间的同构映射，证明向量空间同构。第二章线性变换（一）学习目的与要求理解线性变换的概念，熟悉一些常见的线性变换的例子。了解线性变换的加法、数量乘法、线性变换的乘法等运算及其运算满足的算律。理解乃维向量空间的线性变换与阶矩阵之间的联系，能用矩阵来处理线性变换 的问题。理解线性变换的特征值、特征向量的概念。会求线性变换的特征值和属于各个特 征值的特征向量，了解特征值、特征向量在化简线性变换的矩阵时所起的重要作用。理解线性变换的不变子空间的概念，了解不变子空间在化简线性变换的矩阵时所 起的重要作用。了解复数域上向量空间的线性变换，知道可以在复数域上向量空间中选取一个适 当的基，使其在这个基下的矩阵是若

8、当形矩阵。线性变换是高等代数中线性代数部分的中心内容，也是高等代数（二）的中心内容。 本章的重点是建立线性变换与矩阵之间的联系，用矩阵来刻划和处理线性变换的问题。 这也是本章的难点之一，本章的另一个难点是线性变换的不变子空间。（二）课程内容 1线性变换的定义线性变换的定义线性变换的例子线性变换的基本性质2线性变换的运算线性变换加法、数量乘法以及这两种运算满足的运算律线性变换的乘法、可逆线性变换线性变换的多项式3 线性变换的矩阵线性变换对基向量的作用选定数域P上n维向量空间V的一个基之后，V的所有线性变换组成的集合 L（V）与数域P上n阶矩阵的集合pnxn之间存在一一对应，这个一一对应还保持运算

9、关 系。线性变换在不同基下的矩阵相似4 特征值与特征向量特征值与特征向量的定义线性变换的特征向量的求法特征多项式与最小多项式矩阵可以对角化的条件5 线性变换的不变子空间不变子空间的定义与例子线性变换在不变子空间上的限制线性变换的值域与核，线性变换为单、满变换的条件 6若当（Jordan）标准形介绍若当块与若当形矩阵复数域上向量空间的线性变换的若当标准形（三）考核知识点线性变换及其运算：线性变换的定义和性质、零变换、恒等变换、线性变换的加 法、数乘线性变换、线性变换的乘法、逆变换，线性变换的多项式。线性变换的矩阵：选定向量空间的一个基，一个线性变换确定唯一的矩阵。线性 变换的和对应相应的矩阵的和

10、，数乘线性变换对应数乘相应的矩阵，两个线性变换的乘 积对应相应的矩阵的乘积，可逆变换对应的矩阵可逆，线性变换的多项式对应相应矩阵 的多项式。同一个线性变换在不同基下的矩阵相似。特征值与特征向量：特征值与特征向量的定义，特征子空间的定义，求特征值， 特征向量的方法，特征多项式、最小多项式的概念，特征多项式与最小多项式的关系， 矩阵和线性变换可对角化的条件。线性变换的不变子空间：不变子空间的定义、线性变换在不变子空间的上的限制。 当向量空间能分解为不变子空间的直和时，线性变换的矩阵可以相似于准对角矩阵，线 性变换的值域与核及其维数公式，线性变换为单、满变换的条件。（四）考核要求线性变换及其运算识记

11、：能清晰准确地认识线性变换、线性变换的和、数乘线性变换、零变换、恒等 变换等，知道线性变换的简单性质，正确作出判断。领会：理解两个线性变换的乘积、可逆变换、线性变换的多项式的意义，能作出正 确的解释。简单应用：能运用所学知识证明向量空间的一些变换是否为线性变换。线性变换的矩阵识记：能清晰准确地认识线性变换在某个基下的矩阵，线性变换的多项式在某个基 下的矩阵，线性变换在不同基下的矩阵等，能正确作出判断。领会：理解线性变换的和、数乘线性变换、线性变换的乘积、线性变换的多项式、 可逆线性变换在线性空间的一个基下对应的矩阵分别是相应矩阵的和、数乘矩阵、矩阵 乘积、矩阵多项式、可逆矩阵，能正确地作出解释

12、。简单应用：能运用矩阵来刻划线性变换，证明线性变换的性质。特征值和特征向量领会：理解特征值和特征向量的意义，正确解释特征子空间。简单应用：能运用所学知识求线性变换的特征值、特征向量。综合应用：理解最小多项式与特征多项式的关系，能运用所学知识说明线性变换是 否能对角化。线性变换的不变子空间识记：能清晰准确地认识不变子空间，线性变换在不变子空间上的限制，正确地作 出判断。领会：理解线性变换的值域与核，维数公式，单、满变换的条件，能正确地作出解 释。综合应用：能运用所学知识化简线性变换的矩阵或说明线性空间能否分解为不变子 空间直和。第三章欧氏空间（一）学习目的与要求理解欧氏空间的概念，会求向量的内积

13、、长度、夹角和基的度量矩阵理解标准正交基的概念、性质，会求欧氏空间的标准正交基理解欧氏子空间及子空间的正交补的概念，会求欧氏子空间的正交补了解欧氏空间同构的意义及欧氏空间同构的条件理解正交变换的概念、性质，能判断欧氏空间的线性变换是否是正交变换理解对称变换的概念、性质，能判断欧氏空间的线性变换是否是对称变换，掌握 求欧氏空间的一个标准正交基，使其在这个基下的矩阵是对角阵的原理和方法了解酉空间的概念、及其基本性质欧氏空间是实数域上的定义了内积的线性空间，它具有线性空间的性质，还具有一 些与内积有关的性质，本章的重点是内积及其有关的性质，难点是对称变换的对角化。（二）课程内容 1欧氏空间的定义及基

14、本性质内积和欧氏空间的定义欧氏空间的基本性质向量的长度与夹角2 标准正交基标准正交基的定义，一个基是标准正交基的条件正交向量组扩充为正交基从欧氏空间的一个基出发，构造标准正交基正交矩阵及其性质3欧氏子空间正交补欧氏子空间的定义向量与子空间正交及子空间与子空间正交子空间的正交补的定义及性质4同构欧氏空间同构的定义欧氏空间同构的条件5正交变换1 .正交变换的定义正交变换的性质与判定正交变换的分类6对称变换1 .对称变换的定义对称变换的性质与判定3 .对称变换的对角化7酉空间介绍酉空间的概念酉变换的概念与性质厄米特变换的概念与性质（三）考核知识点欧氏空间的概念与性质：欧氏空的定义、欧氏空间的基本性质

15、、向量的长度与夹 角、基的度量矩阵，标准正交基的定义与判定，用正交向量组或任一个基来构造标准正 交基，欧氏子空间的正交补。正交变换：正交变换的定义、正交变换的性质与判定、正交变换的分类。对称变换：对称变换的定义，对称变换的性质与判定，对称变换的对角化。（四）考核要求欧氏空间的概念与性质识记：能清晰准确地认识欧氏空间、向量的内积、长度、夹角、基的度量矩阵，正 确地作出判断。领会：理解标准正交基，知道它与一般的基的区别，能正确地用度量矩阵解释欧氏 空间的基是不是标准正交基。简单应用：能运用所学知识，将欧氏空间的正交向量组扩充为标准正交基，能由任 一个基出发构造一个标准正交基。正交变换识记：能清晰准

16、确地认识正交变换，作出正确判断和分类。领会：理解正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，能正确地用正交矩阵解释 正交变换。简单应用：能运用所学知识证明欧氏空间的线性变换是正交变换。3 .对称变换识记：能清晰准确地认识对称变换，作出正确判断。领会：理解对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵，能正确地用实对称矩阵 解释对称变换。简单应用：能运用所学知识证明欧氏空间的线性变换是对称变换综合应用：能综合运用所学知识证明比较复杂的问题第四章二次型（一）学习目的与要求理解二次型及其矩阵的概念，二次型经过非退化线性替换化为标准形以及变换前 后二次型矩阵之间的关系。能熟练地运用配方法化为二次型为标准形，并能

17、写出替换的矩阵，了解初等变换 化二次型为标准形的原理。理解实数域上二次型的惯性定理及惯性指数，符号差等概念。理解正定二次型及正定矩阵的概念、性质和判定。熟练地掌握正交线性替换化实二次型为标准形的原理和方法。了解双线性函数的概念和简单性质，以及对称双线性函数与二次型的关系。本章的重点是二次型及其矩阵，难点是用正交线性替换化实二次型为标准形。（二）课程内容 1二次型及其矩阵表示二次型的定义及二次型的矩阵二次型经非退化线性替换化为标准形对称矩阵的合同2 二次型的标准形用配方法化二次型为标准形用初等变换化二次型为标准形3 复数域和实数域上的二次型复二次型的规范形实二次型的标准形与规范形实二次型的惯性定

18、理4正定二次型正定二次型的定义与判定正定矩阵的定义、性质与判定5主轴问题用正交替换化实二次型为标准形用特征值给出实二次型正定的条件 6双线性函数双线性函数的定义与简单性质双线性函数关于向量空间的基的矩阵对称双线性函数与二次型函数（三）考核知识点二次型：二次型定义，二次型的矩阵，非退化线性替换，化二次型为标准形，矩 阵的合同实数域上的二次型：实二次型的标准形与规范型，惯性定理，正定二次型，正定 矩阵，正交替换化二次型为标准形双线性函数，对称双线性函数（四）考核要求二次型识记：能清晰准确地认识二次型，二次型的矩阵，二次型的标准形，矩阵的合同， 正确作出判断。领会：理解二次型可以用非退化线性替换化为

19、标准形，正确地作出解释。简单应用：能运用所学知识，用配方法化二次型为标准形。实数域上的二次型识记：清晰准确地认识实二次型的标准形、规范形，正、负惯性指数、符号差，正 确作出判断。领会：理解惯性定理，能用惯性定理判定实二次型是否为正定二次型。简单应用：运用所学知识，能正确判定实二次型（实对称矩阵）是否为正定二次型（正定矩阵），能用正交替换化为实二次型为标准形。双线性函数识记：能清晰准确地认识双线性函数，正确地作出判断。领会：理解对称双线性函数与二次型函数的关系，正确地作出解释。三、关于大纲的说明与考核实施要求（一）自学考试大纲的目的和作用课程自学考试大纲是根据专业自学考试计划的要求，结合自学考试

20、的特点而确定的。 其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和规定。课程自学考试大纲明确了课程学习的内容以及深度和广度，规定了课程自学考试的 范围和标准。因此，它是编写自学考试教材和辅导书的依据，是社会助学组织进行自学 辅导的依据，是自学者学习教材、掌握课程内容知识范围和程度的依据，也是进行自学 考试命题的依据。（二）课程自学考试大纲与教材的关系课程自学考试大纲是进行学习和考核的依据，教材指出学习掌握课程知识的基本内 容与范围，教材内容是大纲所规定的课程知识和内容的扩展与发挥。大纲与教材所体现 的课程内容应基本一致。如果教材中有的内容与大纲要求不一致，应以大纲规定为准。（三）关于自学教

21、材与主要参考书教材：线性代数学概论，钱吉林编，华中师范大学出版社，2000年主要参考书：高等代数，李桃生、朱德高、费泰生编，华中师范大学出版社，2002年高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等教育出版社，1988 年第二版。全国高等教育自学考试教材高等代数，邱森主编，武汉大学出版社，1991年（四）关于自学要求和自学方法的指导本大纲的课程基本要求是依据专业考试计划和专业培养目标而确定的。大纲中还明 确了课程的基本内容以及对基本内容掌握的程度。基本内容中指出的知识点构成了课程 内容的主体部分。因此，课程基本内容要求掌握的程度、考核知识点是高等教育自学考 试考核的主要内容。本大纲

22、在自学要求中，对各部分内容掌握程度的要求由低到高分为四个层次，了解、 知道；理解、清楚；掌握、会用；熟练掌握。为有效地指导个人自学和社会助学，本大纲已指明了课程的重点和难点，在各章的 基本要求中也指明了各章内容的重点和难点。高等代数（二）共5学分。随着科学技术、生产的迅速发展，许多自然科学学科、工程技术、社会科学的重要 问题都要用到高等代数知识。正是由于它应用的广泛性，促使本课程必须要讨论一些带 共性的问题，因而其内容就要抽象到一般，这给自学者带来很大的困难，特提出以下建 议，供自学者参考。（1）在学习一些抽象概念（比如向量空间、线性变换、欧氏空间等）之前，要从已 学过的知识中（比如解析几何中

23、的空间、多项式的集合与运算，矩阵的集合与运算等）找一些具体的例子，以这些具体例子为背景和模型，帮助理解抽象的概念。（2）由于向量空间、线性变换、二次型等都与矩阵及其运算紧密相连，因而在学习 高等代数（二）时，必须熟练掌握已学过的矩阵知识。（3）高等代数（二）与高等代数（一）实际上是分成两个学期段开设的一门课程， 所以考核综合应用能力时必然要涉及高等代数（一）的基本知识、基本方法和基本理论， 希望自学者重视这个问题。（4）学习本课程时，要在理解掌握定义、定理的基础上做题，否则将会是事倍功半。（五）对社会助学的要求建议助学单位至少用90学时（复习、作业时间除外）组织自考生学习，并注意以下 几点：1

24、）要求学生重视基本概念的学习，真正理解概念和定理。2）应帮助学生尽可能地熟练掌握一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间的例子。3）注意培养和提高学生的利用所学知识分析问题和处理问题的能力。（六）对考核内容和考核目标的说明本课程要求考生学习和掌握的知识点内容都作为考核的内容。课程中各章的内容均 由若干知识点组成，在自学考试中成为考核知识点。因此课程自学考试大纲中所规定的 考试内容分解为考核知识点，自学考试将对各知识点分别按四个认知层次（识记、领会、 简单应用、综合应用）确定其考核要求。（七）关于试卷结构及考试的有关说明本课程考试采取笔式闭卷，时间150分钟，满分100分，60分及格。本课程考 试只允许带钢笔、圆珠笔、2B铅笔及橡皮。本大纲各章所规定的基本要求、知识点及其细目都属于考核内容，考试命题覆盖 到章，并适当考虑课程重点、章节重点，适当加大重点内容的覆盖度。其中重点部分占 60%，次重点占30%，一般内容占10% .命题不应超出大纲考核知识点的范围，考核目标不得高于大纲所规定的最高能力 层次要求。命题应着重考核自学