MATLAB实现非线性曲线拟合最小二乘法

1、非线性曲线拟合最小二乘法、问题提出设数据(x,y),(i=0丄2,3,4).由表3-1给出，表中第四行为lny=丁，可以iiii看出数学模型为yaehx，用最小二乘法确定a及b。i01234xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46yi1.6291.7561.8762.0082.135、理论基础根据最小二乘拟合的定义:在函数的最佳平方逼近中f(x)eCa,b，如果f(x)只在一组离散点集x,i=0,l,m,上给定，这就是科学实验中经常见到的实验i数据(x,y),i=0,1,m的曲线拟合，这里y=f(x)，i=0,1,m,要求一个TOC o 1-5

2、h ziiii函数y=S*(x)与所给数据(x,y),i=0丄,m拟合，若记误差ii8=S*(x)一y,i=0,1,m,=(6,6,，6)T，设(x),(x),(x)是Ca,biii01m01n上线性无关函数族，在=span(x),(x),(x)中找一函数S*(x)，使误差01n平方和2iii=0i=0S(x)ei=08|2=区62二S*(x)一y2=minS(x)一y2,这里S(x)=a(x)+a(x)HFa(x)(n0是a,b上的权函数，它表示不同点(x,f(x)处的数据比重不ii同。用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是求形如S(x)的一个函数y=S*(x)，使62=艺(x)S(x)-f(x

3、)2取得最小。它转化为求多元函数TOC o 1-5 h z12iiii=0I(a,a,a)=艺(x)工a(x)一f(x)201nijjiii=0j=0的极小点(a*,a*,a*)问题。再由求多元函数极值的必要条件，有01n=2Xw(x)工a(x)一f(x)(x)=0(k=0,l,n)daijjiikiki=0j=0此题中假设(x)=1，由已知所给数据点(x,y)画出图形，根据离散点的ii位置观察出它们所拟合的曲线图形应类似于指数函数的曲线图形，故设拟合曲线的函数为y=aebx。本题编程过程中，令f=y,z1=a,z2=b,令拟合曲线中对应x的函数值与y的差的平方和为J,即J=sum(fy42)

4、;分别求iiJ关于z1,z2的偏导，简化后并令其分别为0得一关于z1,z2的二元非线性方程组,最后利用fsolve命令求得z1,z2的值分别为z1=3.0751z2=0.5052故得到拟合曲线为y=3.0751e0.5052x为证明曲线拟合的正确性，我们将离散点(x,y)与所得的拟合曲线iiy=3.0751e0.5052x画于同一图形中，图形如下：8.5轴y例8的数据点(x(i),y(i)和拟合曲线y=f(x)的图形87.576.565.511.11.21.31.41.51.61.71.81.92x轴5四、结果分析根据实验内容求得拟合曲线yaebx中未知数a,b分别为a=3.0751b=0.5

5、052即拟合曲线为y3.0751e0.5052x。由图形知拟合成功！参考文献数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001,清华大学出版社(第四版)。数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社.附录程序1：symsz1z2x=1.00:0.25:2.00;y=5.10,5.79,6.53,7.45,8.46;f=z1*exp(z2.*x)fy=f-y;J=sum(fy42);Ja=diff(J,z1);Jb=diff(J,z2);Ja1=simple(Ja),Jb1=simple(J

6、b),程序2：functiony1,y2=fun(z)y1=2*z(1)*exp(2*z(2)-51/5*exp(z(2)+2*z(1)*exp(5/2*z(2)-579/50*exp(5/4*z(2)+2*z(1)*exp(3*z(2)-653/50*exp(3/2*z(2)+2*z(1)*exp(7/2*z(2)-149/10*exp(7/4*z(2)+2*exp(4*z(2)*z(1)-423/25*exp(2*z(2);y2=-1/200*z(1)*(-400*z(1)*exp(2*z(2)+2040*exp(z(2)-500*z(1)*exp(5/2*z(2)+2895*exp(5/4*z(2)-600*z(1)*exp(3*z(2)+3918*exp(3/2*z(2)-700*z(1)*exp(7/2*z(2)+5215*exp(7/4*z(2)-800*z(1)*exp(4*z(2)+6768*exp(2*z(2);作图程序：x=1.00:0.25:2.00;y=5.10,5.79,6.53,7.45,8.46;f=3.0751*exp(0.5052*x);plot(x