2022年上海高考数学专项复习：数列与数学归纳法

1、数列与数学归纳法专题 经典例题【例 1】已知数列an的前 n 项和为S ,且S nn5an85 ,nN*. 90 ,nN*；（ 1）证明：an1是等比数列；（ 2）求数列S n的通项公式,并求出访得Sn1S n成立的最小正整数n . 解： 1 当n1时,a 114；当n2时,anS nS n15 an5 an11,所以an15an11. a n1是以 15 为首项,5 为公比的等比数列 6. 6又a 11150,所以数列2 由1 知：a n1155n1,得an15n1从而S n755n1n666由S n1S n得5n12,nlog521149.,最小正整数n15. 62525b b 6【例 2

2、】 等差数列a n的前 n 项和为Sn,a 112,S 3932（ 1）求数列 an的通项a 与前 n 项和S ；（ 2）设b nS nnN,求证：数列 nb中任意不同的三项都不行能成为等比数列n解：（ 1）由已知得a 121,3 2,d2,3 a 13d9故a n2 n12,S nn n2（2）由（）得b nS nn2n假设数列 nb中存在三项b p,b q,br（ p, , 互不相等）成等比数列,就2 b q即q22p2r2q2p r 2qpr 20p, ,rN,q2prr0,p2r2pr,pr20,pr与 pr冲突2 qp0,所以数列 nb中任意不同的三项都不行能成等比数列a 为aaR,

3、 设 数 列 的 前n 项 和 为【 例3】 已 知 公 差 不 为0 的 等 差 数 列an的 首 项Sn且1,1,1成等比数列 . a 1a2a41,当n2时,试比较A 与Bn（ 1）求数列an的通项公式及S ；（ 2）记A n111,Bn111S 1S 2S na 1a 2a 22a2n的大小解：（1）设等差数列an的公差为 d,由1211,1. a2a1a4得a 1d2a 1a 13d. 由于d0,所以da所以anna 1,S nann1. 2（2）由于121n11,所以A n11121n11. SnanS 1S 2S na由于a 2 n12n1a,所以Bn111a111111n212

4、a1a2a2 2n 2a1a2n2当n2 时,2nC0C1Cnn1,nnn即1n1111. 2n所以,当a0 时A nBn;当a0 时AnBn. 【例 4】 已知1a2,点anan1在函数fxx22x的图象上,其中=1,2,3,（ 1）证明数列lg1an是等比数列；（ 2）设T n1a11a21an,求T 及数列an的通项；（ 3）记b n1an12,求数列bn的前项和 Sn,并证明S n21=1. an3 T n2 2解：（1）由已知 a n 1 a n 2 a ,a n 1 1 a n 1a 1 2 a n 1 1,两边取对数得lg1 a n 1 lg1 a n 1 2lg1 a n ,即

5、 2lg1 a n lg1 a n 是公比为 2 的等比数列 . n 1 n 1 2 n 1 2 n 1（2）由（）知 lg1 a n 2 lg1 a 1 2 lg3 lg3 1 a n 3（* ）T n 1 a 1 1 a 2 1+a n 3 2 03 2 13 2 2 3 2 n-13 1 2 2 2 +2 n-1= 3 2 -1 n2 n 1由（ *）式得 a n 3 12（3）a n 1 a n 2 a n a n 1 a n a n 21 1 1 1 1 1 2 .a n 1 2 a n a n 2 a n 2 a n a n 1又 b n 1 1b n 2 1 1a n a n 2

6、 a n a n 1S n b 1 b 2 +b n 2 1 1 1 1 + 1 1 2 1 1 .a 1 a 2 a 2 a 3 a n a n 1 a 1 a n 1a n 3 2 n 11, a 1 2, a n 1 3 2 n1 S n 1 2 n 2 .3 1又 T n 3 2 n 1S n 21 . 3 T n 1【例 5】 已知数列 a n 满意 a 1 0 , a 2 2,且对任意 m , n N *都有a 2 m 1 a 2 n 1 2 a m n 1 2 m n 2 .（ 1）求 a 3,a 5；（ 2）设 b n a 2 n 1 a 2 n 1 n N * ,证明：b n

7、 是等差数列；（ 3）设 c n a n 1 a n q n 1, q 0 , n N *,求数列 c n 的前n项和 S . 解： 1 由题意,令 m 2 , n 1 可得 a 3 2 a 2 a 1 2 6,再令m3 ,n1 可得a52 a3a 1820. 12. n, 2当nN*时,由已知 以n2代替m 可得a2n3a 2n12a2n18.于是a2n11a2n11a2n1a2n18,即b n1bn8 ,b 1a2a 16. 所以bn是以 6 为首项, 8 为公差的等差数列. 3 由12解答可知b n8n,2即a2n1a2n18 n另由已知 令m1 可得ana2n1a 1n12. 22那么

8、an1ana2n12a2n12 n18n22 n2于是cn2 nqn1. 当q1时,Sn2462nnn1；当q1时,Sn2q04q16q22nqn1. 两边同乘以 q ,可得qSn2q14q26q32nqn. 上述两式相减得1qSn21qq2nqqn12 nqnq21qn2 nqn21n1qnnqn1.q1q1qn21n1n1. 所以S n 1q 2综上所述,Sn21n1qn2nqn1,11qnn1,q1数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每道题4 分,满分 40 分）.,就1. 列an是首项为 1,公比为a3的无穷等比数列,且an各项的和为a,就a的值是 . 22. 等比数列 a n的前

9、n 项和为S ,已知S ,2S ,3S 成等差数列,就an的公比为 _ 3.函 数f xx 2,等 差 数 列 ax的 公 差 为 2 .如f a 2a 4a6a 8a 104log f a 1f a2f a 3f a 10 . N*设4. 知数列an、bn都是公差为1 的等差数列, 其首项分别为a 、1b ,且a 1b 15,a 1,b 1cnab n（nN*）,就数列cn的前 10 项和等于.1时 ,5. 知数列a n的首项a 10,其前 n 项的和为S ,且S n12 S na ,就 lim na n .S n6. 知 等 比 数 列a n满 足a n0,n1,2, 且a 5a2n522

10、nn3, 就 当nlog2a 1log2a 3log2a2n1.7. 差数列a n的前 n 项和为S n,已知am1a m1a20,S 2m138,就m.m8. 全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据以上排列的规律,第n 行（ n 3）从左向右的第3 个数为 . 有连续四项在集合9.a n是公比为q的等比数列,|q| 1,令b na n1 n1,2,如数列b n53, 23,19,37,82中,就6q= . a n,当a n 为偶数时,如a 1,就 m 全部可10. 知数列a n满意：a1m（ m 为正整数）,a n123 a n1, 当a n 为奇数时；

11、能的取值为 _.二、解答题（本大题共有5 题,解答以下各题必需在规定区域内写出必要的步骤）11. 设数列an满意a10 且11n111n1 .aa（1）求an的通项公式；a（2）设b n1a n1,记S nn1bk,证明Sna1.2,a 3中的任何两个数n12. 等比数列an中,a1,k1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且不在下表的同一列第一列 其次列 第三列第一行 3 2 10 其次行 6 4 14 第三行 9 8 18 （1）求数列 a n 的通项公式；n（2）如数列 b n 满意：b n a n 1 ln a n,求数列 b n 的前 n 项和 S .13. 设 d 为

12、非零实数,a n 1 C 1n d 2 C n 2d 2n 1 C n n 1d n 1nC n nd n, n N *.n（1）写出 a 1 , a 2 , a 3 并判定 a n 是否为等比数列；如是,给出证明；如不是,说明理由；（2）设 b n nda n , n N * ,求数列 b n 的前 n 项和 S .14. 设数列 a n 的前 n 项和为 S ,且方程 x 2a n x a n 0 有一根为 Sn ,1 n ,1 2 , 3 ,（ 1）求 a 1,a 2； （ 2）a n 的通项公式15. 已知有穷数列 A ：a a 2 , , a , n 2 .如数列 A中各项都是集合

13、x | 1 x 1 的元素,就称该数列a i a j为 数列 .对于 数列 A ,定义如下操作过程 T：从A中任取两项 a a ,将 的值添在 A 的最终,1 a a j然后删除 a a ,这样得到一个 n 1 项的新数列 1A 商定 :一个数也视作数列 . 如 A 仍是 数列,可连续实施操作过程 T ,得到的新数列记作 A ,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 A . 1 1（1）设 A : 0, , . 请写出 A 的全部可能的结果；2 3（2）求证：对于一个 n 项的 数列 A 操作 T 总可以进行 n 1 次；（3）设 A : 5,1,1,1 5 1 1 1 1 1,. 求 A 的

14、可能结果,并说明理由 9 .7 6 5 4 6 2 3 4 5 6数列与数学归纳法专题检测题答案 一、填空题1. 2 ； 2.q1 3； 3. 6； 4. 85； 5.1 2；6.n2；7. 10 ；8.n2n6；29. 9 （提示81, 54,36, 24）；10. 4 5 32；二、解答题11. 设数列an满意a10 且11n111n1Sn111aa（1）求an的通项公式；（2）设b n1a n1,记S nn1bk,证明nk解：（1）由题设11n111n1aa所以an即11n是公差为 1 的等差数列；又1111,故11naaa nn（2）由（ I）得b n1an1n1n111,Snn111

15、1bknn1nnnnk1a1,a2,a 3中的任何两个数12. 等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且不在下表的同一列第一列1其次列bn第三列Sn第一行3 2 10 其次行6 4 14 第三行9 8 18 （1）求数列an的通项公式；nlnan,求数列的前 n 项和（2）如数列bn满意：b nan解：（1）当a13时,不合题意；18时,符合题意；当a 12时,当且仅当a2,6a3当a 110时,不合题意 .因此a 12,a26,a318所以公式q3, 故an23n1（2）由于b nan1nlnan23n11nln23n123 n11nln2n1ln33=23n

16、11nln2ln31nnln31nn ln所以S n21332n11111nln2ln3123当 n 为偶数时,Sn213nnln33nnln31132221当 n 为奇数时,Sn213nln2ln3 n21nln33nn21ln3ln13综上所述,S nn 3nln31 ,n为偶数n 为奇数2n 3n21ln3ln2,13 ,13. 设d为非零实数,a n1C1d2 C2d2n1n C n1dn1n nC ndn,nN*nnn（1）写出a 1,a2,a3并判定an是否为等比数列；如是,给出证明；如不是,说明理由；（2）设bnndan,nN*,求数列bn的前 n 项和Sn解：（1）a1d,a2

17、dd1 ,a3dd1 2a n1C1d2 C2d2n1Cn1dn1nCndn,nN*nnnnnandd1 n1ann1d1a由于 d 为常数,所以an是以 d 为首项,d1为公比的等比数列；（2）bnnd2 1dn1S nd21d02d2 1d13 d21d2nd21dn1d2 1d02 1d13 1d2n1dn11 错位相减法得Sn1dn1 1dn.14. 设数列an的前 n 项和为S ,且方程x2anxan0有一根为Sn,1 n,12 ,（ 1）求 a 1,a 2； （ 2）a n 的通项公式解： 1当 n 1 时,x 2a 1 x a 1 0 有一根为 S 1 1 a 1 1,于是 a

18、1 1 2a 1 a 1 1 a 1 0,解得 a 1 1.2当 n 2 时,x 2a 2 x a 2 0 有一根为 S 2 1 a 2 12于是 a 2 1 2a 2 a 2 1 a 2 0,解得 a 2 12 2 62由题设 S n 1 2 a n S n 1 a n 0,S n 22 S n 1 a n S n 0 .当 n 2 时,a n S n S n 1,代入上式得 S n 1 S n 2 S n 1 0 由1知 S 1 a 1 1 , S 2 a 1 a 2 22 3由可得 S 3 34由此猜想 Sn n , n ,1 2 ,3,n 1下面用数学归纳法证明这个结论i n 1 时已

19、知结论成立ii假设 n k 时结论成立,即 Sk k .k 1当 n k 1 时,由得 S k 1 1, 即 S k 1 k 12 S k k 2故 n k 1 时结论也成立综上,由 i、ii可知 Sn n 对全部正整数 n 都成立n 1于是当 n 2 时,a n S n S n 1 n n 1 1 .n 1 n n n 1 又 n 1 时,a 1 1 1,所以 a n 的通项公式 a n 1, n 1 , 2 , 3 ,2 1 2 n n 1 15. 已知有穷数列 A：a a 2 , , a , n 2 .如数列 A 中各项都是集合 x | 1 x 1 的元素,就称该数列为 数列 .对于 数

20、列 A,定义如下操作过程 T：从A中任取两项 a a ,将 a i a j 的值添在 A 的1 a a i j最终, 然后删除 a a ,这样得到一个 n 1 项的新数列 A 商定 :一个数也视作数列 . 如 1A 仍是 数列, 可连续实施操作过程 T,得到的新数列记作 A ,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 A . （1）设 A : 0, 1 1, . 请写出 A 的全部可能的结果；2 3（2）求证：对于一个 n 项的 数列 A 操作 T 总可以进行 n 1 次；（3）设 A : 5,1,1,1 5 1 1 1 1 1,. 求 A 的可能结果,并说明理由 . 7 6 5 4 6 2 3 4 5 6解：（1）A 有如下的三种可能结果：A